Изгиб анизотропной эллиптической плиты Текст научной статьи по специальности «Физика»

в смеси примет известный вид. Аналогично представления об пзотермнч-ности возникают автоматически и при анализе распространения ударных волн, что также хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Общность и конструктивность применяемой формы дифференциальной термодинамической модели позволяют освободиться от излишних априорных предположений о характере внутренних процессов в смеси.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Иванов C.B., Ковалев А.Д. Об одной форме дифференциальной термодинамической модели // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. Вып. И. С. 107-110.

УДК 501.1

В.И. Копнина, Е.С. Губина ИЗГИБ АНИЗОТРОПНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПЛИТЫ

Рассмотрим упругое равновесие тонкой эллиптической анизотропной плиты, ослабленной одним эллиптическим отверстием. Центр отверстия совпадает с центром плиты. Толщина кольца равна толщине плиты h; ширина кольца достаточная, чтобы к кольцу можно было применить теорию изгиба плит.

Плита находится под действием изгибающих моментов интенсивности т, равномерно распределенных по внутреннему контуру. Внешний контур плиты жестко заделан. Определим напряженно-деформированное состояние такой плиты. Считаем материал пластинки анизотропным, обладающим одной плоскостью упругой симметрии, параллельной срединной плоскости плиты. Выберем систему координат следующим образом: пусть плоскость XOY совпадает со срединной плоскостью плиты, ось OZ направлена вертикально вниз.

Обозначим:

L0 — внешний контур плиты — эллипс с полуосями a0, b0;

Li — внутренний контур плиты — эллипс с полуосями ai, bi.

Задача об изгибе такой плиты сводится к определению функций W(x,y), представляющих прогиб ее срединной плоскости.

Искомые функции W(x,y) удовлетворяют однородному дифференциальному уравнению в частных производных 4-го порядка [1]:

d4W d4W д 4W d4W d4W

Du Vr + + 2(Di2 + 2D66)^W2 + D^^-W + D22 d-W. = 0 (1)

дх4 дх3ду дх2ду2 дхду3 ду4

и следующим граничным условиям [1]: 1) на контуре Ь0:

" = 0- =0; (2)

2) на контуре Ьх:

дН

Мп = т, N + —п = 0. (3)

-в

В уравнении (1) — жесткости материала, из которого изготовлена плита. В граничных условиях (2), (3) п — внешняя нормаль к соответ-

О т т

ствуюгцему контуру; Мп ^ изгибающий момент, N + — обобщенная перерезывающая сила, действующие в плите на площадке с нормалью п.

Для решения поставленной задачи используем метод комплексных потенциалов, предложенный С.Г. Лехницким, согласно которому искомые функции могут быть представлены в виде [1]

Ж(х,у) = 2Яв [^(¿х) + W2(Z2)] (з = 1, 2). (4)

Здесь Wj (zj) — произвольные аналитические функции, определенные в соответствующих плоскостях Zj = х + у , где Дп — комплексные параметры изгиба, характеризующие степень анизотропии материала. Функции будем находить из граничных условий (2) и (3), преобразовав их к виду [2]:

па контуре Ь0 :

2Яе[ЖХ (¿х) + Ж2 (¿2)] = 0; 2Яе\^[ (¿х) + М2 Ж2 (¿2)] = 0; (5) на контуре Ьх :

2Яв

^ жх (¿х) + ^ Ж2(^2)

_Мх М2

= -ту;

2Яв [дхЖх(¿х) + q2W2¿(¿2)] = -ту, (6) где р-, qj — постоянные, которые за висят от Djk .

Согласно В. В. Меглинскому [2], искомые функции Wj(zj) выбираем так, чтобы их производные имели вид

00

А п

00

к=х

(7)

к=х

Здесь , Спъ, — комплексные постоянные, подлежащие определению из граничных условий (5), (6). Остальные обозначения такие же, как в работе [2].

Поступая аналогично тому, как было сделано в работе [3], поставленную задачу можно свести к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений.

Для получения численных результатов поставленной задачи система уравнений была сокращена до 12 уравнений, что соответствует к =5. Это можно сделать, так как система квазирегулярна. Используя полученное решение, по известным формулам можно определить прогибы и изгибающие моменты в некоторых точках рассматриваемой плиты [2].

Численные расчеты были проведены для круглой плиты с круговым отверстием; для эллиптической плиты с эллиптическим отверстием. В обоих случаях варьировалась ширина кольца.

В качестве материалов плиты выбирались СВАМ (слабоанизотропный материал) [2] и трехслойная авиационная фанера (материал с сильной анизотропией) [2].

Для иллюстрации в таблице приведены значения прогиба изгибающих моментов Мг , Мо в точках на контурах плиты для случая, когда эллиптическая плита (а0 = 5 Ь0 = 2, ах = 1 Ьх = 0,5) изготовлена из фанеры.

Углы,0 Внешний контур Внутренний контур

W Мг Мо W Мг Мо

0 0.000 -0.017 -0.011 -2.016 1.030 -1.093

10 0.004 0.026 -0.002 -2.011 1.025 -0.876

20 0.012 0.094 0.058 -1.997 1.015 -0.285

30 0.018 0.132 0.152 -1.976 1.005 0.421

40 0.014 0.138 0.203 -1.951 0.997 0.703

50 0.004 0.134 0.164 -1.924 0.993 0.177

60 -0.002 0.137 0.085 -1.898 0.991 -0.840

70 0.004 0.137 0.049 -1.878 0.990 -1.781

80 0.013 0.125 0.053 -1.865 0.989 -2.372

90 0.017 0.117 0.059 -1.861 0.989 -2.568

Анализ полученных результатов в целом показывает, что граничные условия на внутреннем и внешнем контурах выполняются с достаточной степенью точности.

Прогиб достигает своего максимального значения в точках загруженного контура. При этом в эллиптической плите из фанеры значение максимального прогиба более чем в 10 раз превосходит соответствующее значение прогиба в плите из СВАМа.

Изгибающие моменты достигают своего наибольшего значения на за-

Мо

Мо

Оно примерно в 3 раза больше соответствующего значения этого же момента в такой же плите, изготовленной из СВАМа.

Геометрия плиты и степень анизотропии материала влияют на перераспределение напряжений в рассматриваемой плите.

Концентрация напряжения во всех изученных случаях наблюдается вблизи контура отверстия.

Таким образом, можно считать, что полученные результаты соответствуют физической постановке задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. М,: Гостехиздат, 1975.

2. Меглинский В. В. Некоторые задачи изгиба тонких многосвязных анизотропных плит // Некоторые задачи теории упругости о концентрации напряжений и деформаций упругих тел. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1967. Вып. 3. С. 97-113.

3. Копнина, В.И., Щербаков A.C. Изгиб эллиптической плиты с отверстием // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 179 182.

УДК 532.5:533.6.011.5

B.C. Кожанов

РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О СХЛОПЫВАНИИ ПУСТОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ КАВЕРНЫ

Предметом исследования статьи является процесс схлопывания пустой сферической каверны в сжимаемой среде с отношением удельных теплоемкостей 7. Проведено обобщение результатов Хантера [1] для диапазона значений 7 го интервала (2.4058,8.4635).

Предполагается, что процесс схлопывания полости протекает в рамках гомэнтропической модели. Свойство гомэнтропии означает, что энтропийная функция s = s(r,t) постоянна не только вдоль траектории частицы, но и во всей области течения (для всех траекторий). В таких условиях для описания течения достаточно двух уравнений газовой динамики [2]:

(c2)t + u(c2)r + (y - 1)c2(ur + 2u/r) = 0, ut + uut + (c2)r/(y - 1) = 0, (1)

где t - время, r - координата, u = u(r, t) - скорость частицы жидкости, c2 = c2(r,t) - квадрат скорости звука.

Перейдем к автомодельной форме, определяя связи (A = const),

u = -Anrl-l'nF(п), c2 = A2n2r2-2/nG(n), П = At/rl'n. (2)