CC BY
13
Оно примерно в 3 раза больше соответствующего значения этого же момента в такой же плите, изготовленной из СВАМа.
Геометрия плиты и степень анизотропии материала влияют на перераспределение напряжений в рассматриваемой плите.
Концентрация напряжения во всех изученных случаях наблюдается вблизи контура отверстия.
Таким образом, можно считать, что полученные результаты соответствуют физической постановке задачи.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. М,: Гостехиздат, 1975.
2. Меглинский В. В. Некоторые задачи изгиба тонких многосвязных анизотропных плит // Некоторые задачи теории упругости о концентрации напряжений и деформаций упругих тел. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1967. Вып. 3. С. 97-113.
3. Копнина, В.И., Щербаков A.C. Изгиб эллиптической плиты с отверстием // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 179 182.
УДК 532.5:533.6.011.5
B.C. Кожанов
РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О СХЛОПЫВАНИИ ПУСТОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ КАВЕРНЫ
Предметом исследования статьи является процесс схлопывания пустой сферической каверны в сжимаемой среде с отношением удельных теплоемкостей 7. Проведено обобщение результатов Хантера [1] для диапазона значений y го интервала (2.4058,8.4635).
Предполагается, что процесс схлопывания полости протекает в рамках гомэнтропической модели. Свойство гомэнтропии означает, что энтропийная функция s = s(r,t) постоянна не только вдоль траектории частицы, но и во всей области течения (для всех траекторий). В таких условиях для описания течения достаточно двух уравнений газовой динамики [2]:
(c2)t + u(c2)r + (7 - 1)c2(ur + 2u/r) = 0, ut + uut + (c2)r/(7 - 1) = 0, (1)
где t - время, r - координата, u = u(r, t) - скорость частицы жидкости, c2 = c2(r,t) - квадрат скорости звука.
Перейдем к автомодельной форме, определяя связи (A = const),
u = -Anr1-1/nF(n), c2 = A2n2r2-2/nG(n), n = At/r1/n. (2)
Здесь п - показатель автомодельпости, ? = ?(п) и О = О(п) - автомодельные представители функций и и с2 соответственно, п _ независимая автомодельная переменная.
Подстановка (2) в (1) дает систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) относительно функций ? и О:
П?(п) = Ах/До/(7 - 1) = (3п - 1)? - Аб/Ао/(7 - 1), (1 + п?)О(п) = ОА2/А0 = О [-2(1 - п)? + Аб/Ао] ,
До = (1+ п?)2 - п2О, Аб = (7 - 1)(1 + п?) [2пп? + 3п - 1] ? + 2(1 - п)пО.
Задача о схлопывании полости математически сводится к своеобразной задаче на собственные значения для нелинейного уравнения на фазовой плоскости переменных V = -п?(п), Я = п2О(п)
При заданном значении 7 требуется найти такое п, чтобы интегральная кривая ОДУ dZ/dV = А2(^ Я,7,п)/Ах(^ Я,7,п), выходящая из особой точки типа седло = 1,Ях = 0) вдоль сепаратрисы, прохо-
дила через особую точку типа узел Р3(У3, Я3) с координатами
V? = (-Вх + / (2В2), Яз = (1 - V?)2,
Вх = 7 - 3 - (37 - 5)п, В2 = 2(7 - 1)п, Во = 2(1 - п)
вдоль уса отдельного направления. Такой проход обеспечивает аналитичность функций ? и О на предельной характеристике (ПХ), которая представляет собой звуковую волну, приходящую в центр фокусировки вместе с границей полости. ПХ характеризуется значением п = п3? а на фазовой плоскости VZ ей отвечает точка Р3.
В основу расчетов были положены разложения функций ? и О в окрестности ПХ п = п3:
? = ? + О = О3 + п = п3 + 6, 6 << 1.
В таблице приведены показатель автомодельности, значения автомодельных представителей на ПХ и коэффициенты разложения р, ^ для пяти значений показателя адиабаты.
7 2.41 3.0 5.0 7.0 8.46
п 0.77676398 0.70856126 0.60088048 0.55521127 0.53527898
Пз -0.835240 -0.753657 -0.581142 -0.481214 -0.430373
Гз 0.967161 0.942845 0.869569 0.819936 0.792801
Сз 0.0529459 0.147470 0.724508 1.58293 2.34324
Р1 -0.309315 -0.364650 -0.402266 -0.392542 -0.381475
91 0.535782 0.928155 2.20141 3.44138 4.35758
Р2 -0.0706131 -0.0986944 -0.135258 -0.144106 -0.145698
92 0.0744925 0.171971 0.658430 1.30359 1.84798
Рз -0.0300842 -0.0493061 -0.0815538 -0.0930389 -0.0968312
9з 0.0338956 0.0947750 0.459084 0.994268 1.46585
0.959757 0.670408 0.365720 0.263572 0.221756
Для значений 7 € (2.4058,8.4635) построена интерполяционная формула, характеризующая зависимость п от 7:
_ -0.0009876272 + 0.457333047 + 0.62886285 П = 7 - 0.18884320 . ()
п
п
Рунге — Кутта, составляет не более 5 • 10-3%.
После фокусировки полости в центре возникает отраженная ударная волна (УВ), которая движется (от центра) навстречу набегающему на нее потоку. Предполагается такая модель отражения, что энтропия при переходе через УВ не меняется и во всей области за УВ остается равной своему первоначальному значению [1]. Основную трудность в построении решения на стадии отражения представляет определение положения ударного перехода
На рисунке даны распределения автомодельных представителей Г и С (по г) па обеих стадиях течения для пяти значений 7 (ПХ обозначена символом о, пунктиром указано положение ударного перехода)
Автор благодарит И.А. Чернова за внимание к работе.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хантер К. О захлопывании пустой полости в воде // Механика: Период, сб. переводов иностр. ст. 1961. № 3 (67). С. 77-100.
2. Брушлинский К.В., Каждан Я.М. Об автомодельных решениях некоторых задач газовой динамики // УМН. 1963. Т. 18, вып. 2 (110). С. 3-23.
УДК 624.131+5539.215
А. Г. Марку шин
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ИСТЕЧЕНИЯ СЫПУЧЕГО ТЕЛА С ТВЕРДЫМ ЗЕРНОМ
Сыпучее тело, отдельные зёрна которого не испытывают пластических деформаций ни при каких обстоятельствах его переработки, будем называть твердозёренным сыпучим материалом, или сыпучим телом с т,вёрды,м, зерном. Понятно, что предел текучести отдельных зёрен подобного сыпучего тела должен быть во много раз большим предела пропорциональности самого сыпучего материала. К таким материалам относятся все каменные породы мелкой фракции, пески и т.д.
Рассмотрим истечение сыпучего тела при разгрузке бункера в форме параллелепипеда с горизонтальным выпускным отверстием в виде щели во всю длину днища бункера, расположенным у одной из его боковых
