Изгиб кусочно-однородной эллиптической плиты Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

В. И. Копнина

ИЗГИБ КУСОЧНО-ОДНОРОДНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПЛИТЫ

Методом комплексных потенциалов С. Г. Лехницкого решается задача изгиба кусочно-однородной плиты, состоящей из трех (у = 1,2,3) вклеенных друг в друга без натяга эллиптических колец, изготовленных из разных анизотропных материалов.

Плита находится под действием изгибающих моментов интенсивности т, равномерно распределенных по ее внешнему краю, а внутренний край - свободен от внешней нагрузки.

Обозначим внешний контур у-го кольца ¿(0У), внешний - ¿Р, полуоси внешнего контура у-го кольца аР ,ЬР = с^аР, внутреннего контура -

Задача об изгибе такой плиты приводится к отысканию комплексных потенциалов (¿Р) [1] из граничных и контактных условий [2]:

2Яе = /М(у = 1,3; и = 1,2), (1)

*<?=!, /«=0, /<3>=0 на

~Э&+1)<+1)(*Г1})]= = 1,2; « = М), (2)

)*1

где Р<? =1, р« р« р(/4) =р(*)(5 = й) на .

Здесь применены такие же обозначения, как и в работе [2].

После определения функций ) прогиб, моменты и перере-

зывающие силы определяются по известным формулам [1]. Искомые функции представим в виде [2]

= £ ¿^(гМ)]"* + I; С^Р^^р), (3)

4=1,3 4=1,3

где А(р,С(р - искомые постоянные, определяемые из условий (1), (2); РЦд (¿Р) - полиномы Фабера в преобразованных плоскостях; С'р(гР) - величины, связанные с гр* неявными зависимостями вида [2]

= + т^/^) (5 = 0,1),

здесь - постоянные, характеризующие геометрию соответствую-

щих эллипсов в преобразованных плоскостях [2].

Неизвестные коэффициенты А^ ,Ср) определятся из бесконечной

системы линейных алгебраических уравнений, которую можно получить методом, изложенным в работе [3].

При приближенном решении задачи эта система урезалась, что можно сделать в силу ее квазирегулярности [3]. Максимальное количество уравнений в системе было равно 72, что соответствует к <9.

Численные расчеты были проведены для случая, когда в качестве материалов колец выбирались те же материалы, что и в работе [2].

В таблице показаны сочетания материалов, из которых изготовлены кольца.

На рис. 1. показано распределение изгибающего момента М^3> вдоль контура Ь[У> в эллиптической плите (а^р = 5, а® = 3, б/д3> = 1, а® = 0.5, с® = 0.7, Сд2> = 0.6, С(р = 0.7, с{3) = 0.6) для случая III и для сравнения -

М® вдоль контура спая Ь\1> в такой же плите для случая II. На рис. 2 дано распределение изгибающих моментов М^, возникающих в каждом из эллиптических колец вдоль контуров Ьпри V = 1,3 для случая VI.

4

г (О

СВАМ

X™ = 0.5

Хт = 0.25

Фанера

Хт = 2

Хт = 3

Фанера

Хт = 0.5

Хт = 0.25

Внешнее кольцо

Среднее кольцо

Л(2) =

Внутреннее кольцо

СВАМ

СВАМ

Фанера

СВАМ

Фанера

I СВАМ

Рис. 1

Рис. 2

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы.

Прогиб достигает наибольшего значения в точках внешнего контура

, а максимальный изгибающий момент может возникнуть как на внутреннем краю, так и на любом контуре спая. Так, для просчитанных нами вариантов, в случаях П и V максимальным оказался изгибающий момент

на контуре спая ; в случаях I, III, IV - изгибающий момент Мд3' на внутреннем контуре Ь\3). Величина же его зависит кроме этого и от ширины составляющих колец. Так, например, в круглой плите (а® = 5, 42) = 3, а(3) = 1, а{3) = 0.25) для случая V - Мтах = 2.56 • т, если же в этой плите уменьшить а® до 4 , то Мтях =3.39 -т.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. М.: Гостехиздат, 1957.

2. Копнина В. И. Чистый изгиб составной анизотропной плиты // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1985. Вып. 9. С. 45 - 53.

3. Копнина В. И., Меглинский В. В. Квазирегулярность бесконечной системы в задаче об изгибе составной анизотропной плиты // Механика деформируемых сред Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1974. Вып. 1. С. 57 - 64.

УДК 539.3:534:532.5

Л. И. Могилевич

НЕЛИНЕЙНЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПРОДОЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ

Рассмотрим цилиндрическую оболочку для модели Кирхгофа-Лява, усиленную в двух направлениях взаимно перпендикулярными ребрами, расположенными симметрично по обе стороны срединной поверхности. Считая материал обшивки нелинейно упругим, примем для него кубическую зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций [1]

сг, = Ее1 - те] (¡ = х,у), (1)

где Е - модуль Юнга; т - константа материала, определяемая из опытов на растяжение и сжатие; сг - интенсивность напряжений; е,- интенсивность деформаций.

Будем считать, что ребра обладают жесткостью только в отношении изгиба в их плоскостях. Это позволяет в соответствии с методом конструктивной анизотропии записать формулы, связывающие моменты с деформациями, в виде