Изгиб изотропной плиты, ослабленной квадратным отверстием Текст научной статьи по специальности «Математика»

(v = 2) и сферической (v = 3) симметрий течения представлен на рис. 3. Если плотность невозмущенной среды постоянна (ш = 0), т о Ys = 73.1395 для v = 2 и Ys = 3.05361 для v = 3. В связи с этим можно отметить, что в сферическом случае при ш = 0 экстраполяция результатов работы [1] дает значение yS5 близкое к трем.

Целью статьи было указать на два возможных варианта развития течения в области перед отраженной У В. Формальное решение задачи о сходящейся УВ может быть построено для любых наборов значений параметров v, ш, y [2]. Однако физическая сторона процесса, наблюдаемого в области III для значений Ys = Ys(v, ш) < Yi не ясна и требует дополнительного исследования.

Автор благодарит И.А. Чернова за внимание к работе.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Валиев Х.Ф. Отражение ударной волны от центра или оси симметрии при показателях адиабаты от 1,2 до 3 // IIMM. 2009. Вып. 73, №3. С. 397-407.

2. Lazarus R.B. Self-similar solutions for converging shocks and collapsing cavities // SIAM J. Numer. Anal. 1981. Vol. 18, is. 2. P. 316-371.

УДК 539.3

В.И. Копнина, M.В. Овчинникова

ИЗГИБ ИЗОТРОПНОЙ ПЛИТЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ КВАДРАТНЫМ ОТВЕРСТИЕМ

Пусть имеется изотропная прямоугольная плита, ослабленная квадратным отверстием (со стороной а). Центр отверстия совпадает с началом системы координат, которая выбирается следующим образом: плоскость XOY совпадает со срединной плоскостью плиты, а ось OZ направлена вертикально вниз (рисунок). Пластинка находится под действием изгибающих моментов интенсивности Ы\ на сторонах, параллельных оси OY, и интенсивности M2 на сторонах, параллельных оси OX. Будем считать, что контур отверстия или жестко заделан, или свободен от действия изгибающих нагрузок.

Задача состоит в определении НДС такой плиты. Сделаем два предположения:

1) размеры отверстия малы по сравнению с размерами самой плиты;

2) отверстие находится достаточно далеко от краёв плиты (порядка двух-трех диаметров).

Математическая модель поставленной задачи сводится к интегрированию однородного бигармонического уравнения [1]:

V2 V2 w(x,y) = 0 (1)

относительно функции прогиба точек срединной плоскости плиты. Данное уравнение должно быть проинтегрировано с учетом граничных условий на контуре квадратного отверстия. Граничные условия имеют вид:

при жёсткой заделке

dw , ч

=0; (2)

при свободном от действия изгибающих нагрузок крае отверстия

—Н

мп = 0, Мп + -д^ = 0. (3)

Здесь Мп — изгибающий момент, действующий па площадке с нормалью п _ внешняя нормаль к контуру отверстия), Ып + ^^т1 _ обобщенная перерезывающая сила, действующая на той же площадке[2]. Введя

наряду с вещественными независимыми переменными х и у две независимые комплексные переменные:

г = х + гу,г = х — гу, (4)

получим выражения для функции прогиба в следующем виде [3]:

w(z, = Яе\г^(х) + х(г)] = ) + Х(г) + ) + Х(г)], (5)

где ) и х(г) есть аналитические в области плиты функции комплексных переменных, ^(г) = х'(^).

Граничные условия при жесткой заделке и свободном загруженпн можно объединить, представив их в общем виде (см. [3]

**<(*) + ^(г)] = 0, (6)

к =

где -ч 1 1 ^ в случае свободного загружения края плиты и к2 = -1

к = 1

в случае жесткой заделки.

к2 = 1

Задачу решаем методом наложения с использованием теории функций комплексного переменного. Этот метод состоит в представлении функций <(г) и ^(г) в следующем виде (см. [3]):

) = ) + <£1(2:), ^(г) = ^(г) + ^(г), (7)

где <0(г) и ) характеризуют НДС сплошной пластпнкп, а <1(г) и ^(г) — влияние отверстия па НДС плиты.

Сначала получаем выражения для функций <0(г) и ), затем, подставляя эти выражения в граничные условия (6) с учетом (7), получаем граничные условия для <1(г) и ). Так как отверстие имеет квадратную форму, то введем отображающую функцию вида (см. [3]

т

г = ы(£ ) = Я(£ + ^), (8)

которая отображает внешность единичного круга 7 в плоскости £ на внешность квадрата в плоскости г. Для определения вида функций <1(г) и ) будем использовать интегралы типа Коши. Умножая сначала граничное условие, а потом сопряженное граничное условие на ядро Коши 2п(1£I > 1) и интегрируя по контуру единичной окружности 7, получаем выражения для <1(г) и ). В итоге получаем окончательные выражения для функций <(г) и ^(г) :

) = - М + М г + № + В1Д 1 (9)

) 4Я(1 + V)г + £3к1 + к - А^шГ (9)

М2 - М1 1 —Я ^Ят

г) = 2Я(1 - V)г + ("Г + )-

1 +т£ 3 А1Ят В1Я 1, ^ _

-(-т-у <3- кт-я^) + ат£), (10)

гуд^б

М1 + М2,и , ^ „ М1 — М2. т,

А = Ш(Т+;)(к1 + к2), В = 2Щ—к2 (11)

Численные расчеты НДС прямоугольной изотропной пластинки, ослабленной одним квадратным отверстием, были проведены для двух случаев:

1) край отверстия свободен от действия изгибающих нагрузок;

2) край отверстия жестко защемлен (таблица).

Свободное 0° 30° 45° 60° 90° 135° 150° 180°

закрепление (М©)

Общий случай 2,425 3,117 4,083 3,192 2,491 4,083 3,117 2,425

Чистый изгиб 1,639 2,103 2,722 2,103 1,639 2,722 2,103 1,639

Односторонний изгиб 0,853 1,089 1,361 1,014 0,786 1,361 1,089 0,853

Жесткая заделка (Мг)

Общий случай 1,465 3,192 5,310 2,877 1,190 5,310 3,192 1,465

Чистый изгиб 0,885 2,023 3,540 2,023 0,885 3,540 2,023 0,885

Односторонний изгиб 0,305 0,854 1,770 1,169 0,580 1,770 0,854 0,305

Сравнивая результаты, полученные в первой и второй задачах, можно сделать следующие выводы:

1) свободное закрепление снижает концентрацию напряжений во всех рассмотренных случаях;

2) жесткое закрепление увеличивает концентрацию напряжений, разница между максимальным и минимальным значениями напряжений значительно больше, чем при свободном закреплении;

3) во всех рассмотренных случаях и при обоих способах закрепления максимальное значение изгибающего момента достигается в угловых точках квадрата.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Савин Г.Н. Концентрация напряжений около отверстий. М,: Гос. изд-во техн,-теор. лит., 1951.

2. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М,: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1957.

3. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М,: Наука, 1966.