Концентрация напряжений при изгибе моментными усилиями тонких пластин с криволинейными шайбами Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Тоы 75 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1954 г.

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ МОМЕНТНЫМИ УСИЛИЯМИ ТОНКИХ ПЛАСТИН С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ШАЙБАМИ

м. г. пинский

Имеющиеся работы по вопросу о концентрации напряжений при изгибе пластин рассматривают симметричный изгиб неограниченной пластины с круговым отверстием [1], эллиптическим, треугольным и квадратным [3], а также пластины с жесткой шайбой круглой [2] или эллиптической формы, свободной от внешней нагрузки.

В 1948 г. Г. Н. Савин и Н. П. Флейшман [4] исследовали изгиб треугольной изотропной плиты с подкрепленным круговым отверстием, с впаянным в него составным и простым кольцом и изгибаемой равномерно распределенными по ее краю изгибающими моментами.

Мы рассмотрим изгиб неограниченной пластины с жесткой свободной от нагрузки и загруженной моментом шайбой, имеющей как указанные формы, так и формы, приближающиеся к равностороннему треугольнику или квадрату со скругленными вершинами. Примерно такими формами обладают обычно на практике различного вида фланцы втулок глухих подшипников и др., прикрепляемые к тонким стенкам.

Мы рассмотрим два случая изгиба пластины: под действием моментов, приложенных и уравновешивающихся на бесконечности (назовем такой изгиб симметричным) и изгиб под действием момента, приложенного к жесткой шайбе (такой изгиб назовем несимметричным).

Прогиб Ш тонкой изотропной пластинки, изгибаемой внешними момент-ными усилиями, удовлетворяет, как известно [5], бигармоническому уравнению

дди^о. (1)

Решение уравнения (1) можно представить с помощью двух аналитических функций равенством

\Р{х,у) = 2НеЪ<р(г) + ВД]. (2)

Здесь г сопряженная величина Х —

Если общий интеграл бигармонического уравнения представить в виде (2), то изгибающие моменты М?)Мъ и скручивающий момент М9в9 а также перерезывающие силы, отнесенные в плоскости г к криволинейной ортогональной системе координат, которая отображается в полярную систему координат р, 6 плоскости С при помощи отображающей функции 2 = со(С), могут быть представлены следующей зависимостью:

Мд — М9 + 21М:л =4(1 — ц) Ое21а

4 ' ш'(С) }

м, + Ми = - 8(1 + Ф(С),

<3, _ /©в = — 80еь. —^ ■ (3)

195

Здесь — коэффициент Пуассона

Е№

£) = , — цилиндрическая жесткость,

12 (1 — р.2) * Р

= (37

р2 «'(О

а — угол между направлением нормали к кривой и осью Х-ов.

Функции

Ф(С) = ?'[«>(£)],

чг(С) = х'КЭД

голоморфны и непрерывны в рассматриваемой области вплоть до граничного контура.

Рассмотрение решения поставленной задачи в рядах Лорана привело нас к весьма сложным и громоздким выкладкам при подсчете изгибающих моментов.

Решение задачи с помощью интегралов типа Коши приводит к цели быстрее и дает решение, удобное для приложений.

Выделяя в функциях Ф(£) и ЧГ(С) постоянные слагаемые, представим их в форме:

Ф(С) = ^ + /Л + Ф0(С),

¥(С) = Л' + ^'+¥0(С). (4)

Если область изменения функций Фо(С) и ^(С) будет область то мы сможем представить их в виде:

Ф0(д=^а*С-*, (5)

Тогда

¿=1

Постоянные А, В, А' и Вт определим из условий на бесконечности. Пусть на бесконечности на пластину действует изгибающий момент М вокруг оси У, так что

Мх\^ ^ 0, Му!^ = М и = 0.

-20[2(\+йА + (1-&А'] = 0, - 20[2(1 + & А - (1 - - М,

2В(\ -р)В' = 0. (6)

Откуда получаем: *

А =--—-, = —^-, Вг^ 0. (7)

8Д1 4Д(1-ц)

Так как В условиями (6) не определяется, мы можем без нарушения общности принять В — 0. Как известно [6], в случае, если на контуре области заданы прогиб и производная от прогиба по нормали (вторая основная задача), то граничное условие можно записать в следующем виде:

(г)+с?(х)—е^[г?''(г}+Т(г)} = К, + И<ъ (&>

где

2 а5

дги . . дги

ду ' дх

Учитывая (3'), условию (7) для преобразованной области придадим вид:

СМО

Комплексно сопряженное с ним равенство будет

*"'>) + ?'(2)"

т_о

5 ^ Ш

(С)

гЛо'(С)

«,(0 срхд+г^^я.-гА-,.

(9)

(9')

Условие (9 ) не дает само по себе ничего нового, но будет полезно нам впоследствии.

Мы имели, что ?'[ш(С)]=Ф(1:).

Вследствие этого

1 ю'(С)

(10)

Обозначая переменную ч на контуре через о~е1Ь и принимая во внимание (10), мы можем равенства (9) и (9') для контурных точек представить в виде:

Ф(з) + Ф (а)

Ф (а) + Ф (с)

а-

(О

<0

(о) Ф' (а) + о/ (о)Ч- (о)

= № + Ж,)

(И)

О)

(а)ф'(в+ о/(а)Чг(а)

= (11')

Запишем следующие выражения для преобразующей функции и ее производных:

г = «(С) =[С + т^Л ш'(С) = 1 — ,

г = ш (с) — с + ш

Т-п

ф

'(С)=1—лмС-<Л+1>>

(12)

где — комплексная переменная на рассматриваемой плоскости, С — на отображенной плоскости, ш-—вещественная постоянная < 1,

п — вещественное число, принимающее различные целые значения.

При п= 1,2, 3.....функция £ = «>(£) отображает область бесконечной

плиты соответственно с эллиптическим, правильным криволинейным треугольным, четырехугольным и т. д. внутренним контуром с округленными вершинами на внешность окружности 7 единичного радиуса плоскости.

При п — 0 отображаемые фигуры переходят в окружность.

Можно подобрать такие значения от, что отображаемые криволинейные треугольники и квадраты будут с достаточной точностью представлять собой прямолинейные фигуры, отличаясь от них закругленными вершинами [9].

Повышая последовательно на единицу показатель степени п, будем получать отображаемые фигуры в виде криволинейного пятиугольника (п=4), шестиугольника (п = 5) и т.д.

Учитывая (12), придадим равенствам (11 и 11') вид:

З2

1 — тп

(о-1 + т с») ф0(о) + (1 —тп з-(«+1)) <р0(о)

{К, + iK2)s - 2 А -+- (Л' - iB') mne W

1—тпо "+1

а-2

Ф0(а) + Ф0(о) - -—- (о + т а~п)Ф0'(з) + (1 -тп =

1—ОТ«0-(я + 1) ]

= - Ш2),-2А + (А' + т'Г}1 . (14)

Умножив равенства (13) и (14) соответственно на

_!_/ и 1-тпо-<п+Х) и

2тг/ \ /о — с 2тгг \ /а—с

проинтегрировав полученные зависимости вдоль окружности у в направлении против движения часовой стрелки (7), мы получаем:

-¿-г Г ад ^г - -Л Г™ °п+1ф° -Л+-Л- Г®« (о) - А -

2тгг а—с 2тгг J а —^ «/ а — ,

т т т

' ' ' \ Г тпо Ф0'(а)^-- (15)

J а—с 2я£ J а—£

2тг/

т

- Г^Ф0' (о) -L- ГаЗВД > +

J а — С 2к1 J з—С

т т

+ —— f mno-fr-Wo (а) 1 - Г^ + г/Со—2ЛХ1—— +

2ш J а—С 2TCÎ J ' о — :

Т 7

+ -1ГТ- Г+ iB'№ ~ «Ла-М))

2тгг J а—Ç

Гф0(о)^ +-JL ГФ0(а)-^---fmno i»^ Ф0(а) -

./ а—с 2rcl J а —с 2тг/ J J—,

Т 7

V (тп а-("+»ФДс) _ _J_ Г а ФДа) -tu J о—2~г J а—.

2i

т

а—С

+ ^ М3) = —— f(«,—¿А",—2Л) (1— тп з-(»+т -J*±- -f

2т J а—С J з—1

Т 7

+ (16) 2тгг J G — L

7

Вычислив каждый из входящих в эти равенства (15) и (16) интегралов типа Коши, окончательно получаем:

Сn+i— тп „, ,„х 1 1 с,„ , da 1—т.п1п+1

I

С

--тп ВД = -i-. -L- I (/{l + iK2) 4-

"+1 С-' 2r.i Jy а -

С

гп-л-1 I а' _!_

"+" „ -+" г, I

к-Л

+ тпап+уГ2 +

т(п + 1) Яя+1 ] т(п 2)ап

п-1

+ 2

С2

де

Л*!0 + ¿К2° =- (К, ¡К2 — 2Л) (1 — /гала-<я+1> ) 4 4 (А' 4 1ВГ). (а2 — тп о'"-1)).

1 ¿/Г2С

2-/ ^ а --ч

(ГЯ+1 _ фдг) = _ Гл+1 _1_ .....д'^п+1

?тг/ J

н

+ + + (18)

к=1

где Л*!0—/Л"20= (Л*1 — /Л2—2Л)(1—тпа~ ("+1) + (4'—— тп а»-'). Из условия однозначности перемещений [5] следует:

1 т.* — «Пу

Я|'=а'1 и а2' = а/, а1 = а1~

2гЛ

а0 — та

„+1 = --^Г(л-.°+ад

80 ¿а

—^— Г(/г

2тг/ ^

о 1) _!_ Г(^о^

О—С 2т:/ ^

Т

1

.1

/ТС) о"**-1

г/-

1 — т*(к—1)(п—к)

19)

Здесь и 9КУ — компоненты главного вектора момента усилий, при-

ложенных на шайбе.

Фиг. 1

Уравнения (17), (18) и (19) решают задачу об изгибе пластин при наличии шайбы, свободной от внешней нагрузки (симметричный изгиб, фиг. 1) и изгибе под действием момента, приложенного к жесткой шайбе (несимметричный изгиб, фиг. 2).

Напряжения подсчитываем по формуле (8)

(о N -

А*

)Ж

ш/'/т

Фиг. 2

Изгиб пластин с криволинейными шайбами, загруженных уравновешенными моментами

(Симметричный изгиб, фиг. 1)

а) Эллиптическая шайба

В этом случае Д — 1 и

Из (17)? (18) и (19), опуская все промежуточные выкладки, по уравнениям (3) запишем значение изгибающего момента по контуру шайбы.

/ЩО, =

м

2 М

1

2т сое 2 6 ею 2 а

т

т

1+1'-

+

соэ 2з

(т—сое 0)-

вт 2

(2.1)

Здесь -- — степень сжатия эллиптической шайбы; а и Ь—соответ-

ственно большая и малая оси эллипса; а — угол между осью Х-ов и большой полуосью эллиптической шайбы. Мы исследовали различные степени сжатия эллиптической шайбы {т ~ 0, 1/5, 1/3) при а —0 и а =90°.

Значение изгибающего момента на контуре стальной пластины (¡ь — 0,3) представим в виде

Жр(0) = /Ла(В)Л*,

где М—момент на единицу длины пластины. Значения К\

а приведены ня фиг. о. б) Треугольная шайба (/1 = 2) Аналогично предыдущему получаем:

ЩЩ

ш

__г 1—4 тг

1 -4 т сое 3 6 + 4/я2 [ 2(1 + 10 1

2 т

1 —

СОЙ 2(0 —а)

(2.2)

При т

на окружность отображается правильный треугольник с

закругленными вершинами. Кривизна в вершинах треугольника равна радиус кривизны в вершинах

я.

При а —0. Значение изгибающего момента на контуре треугольной шайбы стальной пластины представим

Значение приведены в табл. № 1 и на фиг. 4.

Таблица 1

е

0 8,1

30е 0,45

45° 0.23

60° -0,7

90° -1,8

120° -0,55

180° 2,15

в) Квадратная шайба (я = 3) Значение изгибающего момента на контуре квадратной шайбы представим

Ш

6) -

1 —6 т сое 46 9т2

1—9 т? , (1— Ът) со* 2а ог .

+ -т;-. соэ 20 +

2(1 -Ы

(1 4- 3/иЫп2а . ой вш ¿V

(1—Ю (1+я»)

(2.3)

При пг — — квадратная шайба имеет форму прямолинейного квадрата с

закругленными вершинами. Радиус кривизны в вершинах при т = ± равен

2

—/?. а—угол между диагональю квадрата и осью Х-ов.

При а = 0 (фиг. 5)

• М9{ 6) = При а=45° (фиг. 6).

М0{ б) =

9М 2

3

9М

.9(1-Н») 4(1 —!<•) 4 . 6

сое 26

+

81П

I 9(15(1-^) Изгибающий момент в обоих случаях представим в виде

(2 Л) (2.5)

где Я"з(®) коэффициент, значения которого для стальной плиты — 0,3) квадратной шайбой {т = -Ц приведены в таблице 2 и на фиг. 5 и 6.

¿V

г0

19 18 а /б /5

м>

/3 /2 И {0 9 8 7 6 5 Н

3

г

4

0 </5 '/*

/ м зЛ"

1

1

/9*0*

ос=9

Г/в«р

Л901 т

Фи\ 3. Коэффициент ковцентряции на Контуре эллиптической шайбы с различной степенью ежа тия эллипса (т)

Фиг. 4. Распределение изгибающих моментов по контуру треугольной шайбы при а = 0° (¡л = 0.3), т — —

Таблица 2

а 0° 45°

0 к*

0 6,36 1,54

30 1,21 2,46

45 0,38 2,31

60 —0,26 2,46

90 —3,28 1,54

135 0,38 2,31

150 1,21 2,46

Следует заметить, что если в формулы (2.1), (2.2), (2.3) подставить О*.' , то получаем решение для пластины с укрепленной круглой шайбой.

Фяг. 5. Распределение изгибающих моментов по контуру квадратной шайбы при а = 0° (|л = 0,3)

Совпадение этих результатов следовало ожидать, так как отображающая функция (12) при т = 0 не зависит от п, а отображает окружность на себя. При этом изгибающий момент на контуре круглой шайбы имеет вид

Этот результат совпадает с результатом, полученным С. Г. Лехницким [1] для пластины с круглой шайбой.

Изгиб пластин с криволинейными шайбами, загруженными

моментом

а) Эллиптическая шайба

В этом случае на шайбу действует момент 951, а моменты на внешней границе (бесконечность) стремятся к нулю.

Из (6) следует, что"Л = В — Аг = 5/=0. Коэффициенты а1 и а/ определяются равенством

9К

ах — а1 ~----.

16 К О

а ц

Из (17) и (18) запишем значения функций

Ф.(С)

— т

(3.1)

</

Ю-0.9 ОД

47-0.&

0.5 ОА 0.3 о.г 0.1

л ,9*60'

е-50•

В'О*

/ гп

Фиг. 7. Изменение АГ, для эллиптических шаЁб с различной степенью сжатия (ш)

</$■ УзЛк '/«

т

Фиг. Коэффициент К\ на контуре эллип тических шайб с различной степенью сжатия вллипса (т)

Из (3) и (4) с учетом (3.1) получаем следующее выражение для изгибающего момента на контуре шайбы

м с,) ш . - , (3.2)

или представим в виде

2т: 1— 2/га соя 2 6 + от2 М?(6) = (6).

Ж 2-

(3.3)

Здесь К1н коэффициент, значение которого при различных пг (степень сжатия эллипса) и в приведены на фиг. 7 и 8.

При т > 0 большая ось эллипса совпадает с осью Х-ов (а—0°). (Фиг. 9, 10, 11).

При т <^0 большая ось эллипса перпендикулярна оси Х-ов (« = 90°). (Фиг. 12, 13, 14).

б) Треугольная шайба (п — 2). Повторив те же выкладки, что и в случае (я), запишем

(С3 - 2т)Ф0£) = а1Х + та11)

Фиг. 9. Концентрация ^напряжений

М

К\ в формуле Мр = К\ ~~ на [кон-

1

туре эллиптической шайбы — т~—~

5

при несимметричном изгибе моментом

С3—2 т

С2

1-2Я,С'-Фо(0- 1+тС' Фо' (С) +

, ах

та, ч---—.

С

м

Фяг. 10. Концентрация напряжений К\н в формуле Мр — К\н--на

1

контуре эллиптической шайбы m = несимметричном изгибе

моментом

Изгибающий момент на контуре (3.4) шайбы будет

9Л (1—2 т2) cos 6 — fit cos 20

щщ

2ir

1— 4mcos3G-f 4m2

М

Фиг. 11. Концентрация нгпряжзнии в формуле Мр ~ К} на контуре

- о / 2 \

эллиптической шайбы I т =1 при изгибе

или

уИр(6) = Л,2я(6).

где Л'гДо) при /я — — приведены в табл. 3. и на фиг. 15.

(3.

Фиг. 12. Концентрация напряжений К\ на контуре эллиптической шайбы при несимметричном изгибе (т^1^)

Фиг. 13. Концентрация напряжений К\ на контуре эллиптической шайбы (тп = 1|,) при несимметричном изгибе

Таблица 3

0 К2н

0 2,5

30 0,495

45 0,320

60 0,250

105 0

120 —1,250

135 —1,1Ю

1Л0 -0,702

180 -0,500

Фиг. 14. Концентрация напряжений на кон-

2

туре эллиптической шайбы ( т — —— | при не-

симметричном изгибе

м

Фиг. 15. Концентрация напряжений К<2 в формуле Мр ~ ЛГ2 на

контуре треугольной шайбы ^ тл - - ПРИ несимметричном

изгибе моментом

в) Квадратная шайба (п =3) Значения функций будут: С4—3 т

С4

Ф0(С) = atlQ + 2ma£) (3.7)

^ВД - <ВД - ФЛС) + 2 «а, С +

Значение изгибающего момента на контуре шайбы запишем в виде:

(1—6 т2) cos 6 — т cos3ft ,g оч

7 2т: * 1 —6 т cos АЬ ~\-9 т2

.ИЛИ

= (3.9)

Значения коэффициента H(G) при т ™ — приведены в табл. 4. и на фиг. 16 и 17.

Фиг. 16. Концентрация напряжений Къ в формуле Мр ~ К3 на контуре квадратной шайбы ^ т = при изгибе (з — Ои)

м

2-

Таблипа 4

0 1 45°

0 30 45 60 90 120 135 150 180 1,68 0,552 0,408 0,397 0 —0,397 —0,408 —0,552 -1,63 0,56 1,02 1,295 0,452 0 -0,452 -1,295 —1,02 -0,56

17

Следует отметить, что при т = О выражения (3.2), (3.5) и (3.8) совпа дают и мы получаем решение для случая круглой шайбы (фиг. 18),

Фиг. 18. Концентрация напряжений К\ в

м

формул© Мр — К\ —— на контуре круглой шайбы (М 0) при несимметричном изгибе моментом

В заключение автор пользуется случаем выразить благодарность своему учителю проф. доктору В. И. Блох за сделанные им ценные замечания и внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лехницкий С. Г. О некоторых случаях изгиба изотропной пластинки, ослабленной круговым отверстием. Вестник инженеров и техников № J2, стр. 725—727, 1936.

2. Л е х н и ц к и й С. Г. О некоторых случаях изгиба анизотропной пластинки, ослабленной круговым отверстием. Вестник инженеров и техников № 4, стр. 249—252, 1937.

3. Фридман M. М. Изгиб тонкой изотропной плиты с криволинейным отверстием. ПММ, т. IX, вып. 4, стр. 334-338, 1945.

4. Савин Г. Н. Флейшман Н. П. Згин тонких пл1т з круговим отвором» край якого шдкршлено пружиим К1льцем АН У PCP, № 6, 1948.

5. Лехницкий С. Г. О некоторых вопросах, связанных с теорией изгиба тонких плит. ПММ, т. II, вып. 2, стр. 181—210, 1938.

6. Лехницкий С. Г. ПММ, т. II, вып. 2, стр. 181—210, 1938. Анизотропные пластины, 1947.

7. МусхелишвилиН. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. АН СССР, стр. 251—266,1949.

8. Тимошенко С. П. Пластинки и оболочки, стр. 252—256, 1948.

9. H а й M a H М. И. Труды ЦАГИ, вып. 313, 1937.