CC BY
12
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 75 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1954 г.
ОБ ОДНОМ СЛУЧАЕ ИЗГИБА ТОНКИХ ПЛАСТИН
м. г. пинский
I. Рассмотрим изгиб пластины моментом, приложенным к жесткой центральной круглой шайбе при защемлении внешнего края пластины (фиг. 1). Задача в такой постановке рассматривалась Ф. М. Диментбергом в работе [1],
М
>///),/А
В а
Фиг. 1
В этой работе автор пришел, как нам представляется, к неправильному результату, допустив ошибку при составлении граничных условий на контуре шайбы.
Как известно, прогиб пластины Ш удовлетворяет в этом случае бигар-моническому уравнению
ДД1Г= О
или в полярных координатах имеет вид:
—+— дрг о
д_
Ъ
+
d-
d-w
dp-
dw
"Г
р'
d2w
W
0.
Решение проводим в полярных координатах г и 6. Решение основного уравнения (1) будем искать в виде:
Щг,Щ = /(г) cos О,
где f(r) = Схг + С2г 4- С/In г лг С\г '.
Граничные условия имеют вид:
dW
1) при г — а,
W
дг
0:
(1) (1')
(2)
(3)
(4)
2) при повороте шайбы на некоторый угол уравнение линии прогибов при V = Ъ имеет вид:
= сое о,' (5)
где
w0 = Ь
го«
Мы будем изучать упругую кривую вдоль радиуса 0 = 0. При этом получаем представление обо всей упругой поверхности пластины в целом.
Произвольные постоянные, входящие в (3), мы определим из 4 граничных условий на внутреннем и внешнем контурах Граничные условия принимают следующий вид: 1) Для наружного контура
<Сг + ЗС2а2 + С3( 1 + In а)- С4а~2 = 0. Сх + С2а2 + С3 In а + С,а'2 = 0. 2) Для внутреннего контура
Wjr=b = ¿То,
(6)
(7)
= — То
dnjr=b
Следует обратить внимание на последнее из равенства (7).
dw
Производная от прогиба берется по внутренней нормали - и, следя
.довательно, необходимо учесть знак минус перед выражением для произ-дги
водной —-— .
дп
Нам представляется, что результаты, полученные в работе (1), оказались неправильными именно вследствие того, что это обстоятельство не было учтено.
Уравнения (7) дают
А + С,Ь2 + с31п& -f- с4г>-2 = <р0> С, + 3С2Ь2 с,{ 1 + In Ь) - с,ь-2 = —• ?„ •
Решая систему уравнений (6) и (7'), получаем значения постоянных:
(7
С1 =
ы
2(а2 In Ь - b2 In a) — a1 + b2}
a
(a2 -f b2) In —— <x2 -j- b2 b
b2 In
a
C,=
a
(a2 -j- &2)ln---a2 + №
b
2b2
<Pe,
c4 =
(a2 -f- ¿>-)ln—— a2 + b
a2b2 I a2ln-~-a2 + b2
-fo,
(8)
(a2 +b2)
a
(a2 + ft'->)ln— — а2 + й з b
TO1
Учитывая (2), (3) и (8), запишем выражение для прогиба пластины
Тоcos 9
a
(a2 + ¿>2) (a2 + ¿>2) In— — a- + I
b
lb2
2(a2ln &—¿?2ln a)+(a2~{-62)
r+
4-Mn у r—2^a2 —+ ^a2 In у — a2 + 62 j r-i j . (9)
211
Угол сро определим из условий равновесия, для чего подсчитаем изгибающий момент и реакцию в месте примыкания пластины к шайбе
Mb = — D
(6 C2r+C8r-i + 2C4r-8>
а
(а2 -f- b2) In--а2 +
b
дМс
гдЬ
= — D
(8 С2 - 2C3r~2-f 2?0 (1 —р)г-
Запишем сумму моментов относительно диаметра 9<
со б о;.
тс
cos 6. (10)
(11>
2«
J\M*(b) + bVr(b)
b cos Odd.
где М—внешний момент, приложенный к шайбе.
Учитывая (10) и (11), мы окончательно получаем выражение для угла поворота шайбы
м
П-РЧМ+А-Р2)»]
2{(1-2 Р*)1пЭ + (1 —Р2)2] + (1 -Ь7р^)1пЭ—(1—Р2)2
(12)
Из (12) видно, что угол поворота шайбы зависит лишь от отноше-й ь
ния Р= —.
а
Заменив в (9) ср0 по (12), получим окончательно для прогиба
М cos б 2тг D
2pMlnft — РМпа)+Э8/— Р4; г
yjnPi
а2
г%
- 2 р2г (1 — р2,-) rlnr—р»,(аЧпргЬ а2—¿2)>*-1| X
X
{(1 -2 т-fc«)ln р, + (1 -рг2)2] + (1+7 pi4) In P/-(l ■-рг)2
Выражение для изгибающего момента будет: М cos 6 I ti1 . а
Afe
X
2тг
у In г—2Г-1 |^(а2—¿>2) + ¡л (а»—62)Х
(13).
(а2 + i>2) In—- а-+ ¿2 --) + 2a2ft2r-»( а21п — - а2 + 62))х й а4 \ b
X
|(1-2 ц)[(1-Р4) In р + (1 - р2)2] + (1 + 7p»)ln P-(1-P2)2
(14)
Наибольший момент Мв будет в месте примыкания пластины к шайбе при г = Ь.
Запишем выражение для изгибающего момента при 9 = 0°
ЩЬ)= -¿У 2(1 + з Р4) + Р2(1 -Р2) + 2(1—¡32) + 2(4(1—p4)ln р + (1 - р2)2]'
<
X
{(l-2!x)[(l-p^lnp + (l-p2)2] + (l+7p2)lnp + (l-p2)2[;
(15)
Из выражения (15) видно, что изгибающий момент у контура шайбы не зависит от коэффициента Пуассона ¡а, а зависит от(3—
а
Значение изгибающего момента Мг при г=Ь будет:
Мг{Ь) = - ^^-кбй* 1п ,3 + 2Р(1 ~Р2) + 2(1 + 1п р - р»)]-
2 (1 — ¡З4) 1п Р + (1 — Р2)2 |х
•л V
1 (16)
¡(1 -2!1)[(1-^)1пЗ + (1-32)2] + (1+7^)1ПР-(1-^)2 } •
Значение изгибающего момента М§ на внешнем контуре г~а запишем в виде:
Ща)=--^-{8 р21п ,3+ 4(1 + 14(1 - № Р + (1 - Р2)2]) X
.___________:____^_________________„
(1-2 ¿»[(1 -р> р + (1-Г-)2] + (1 + 7Р4) 1п р-(1 -Р2)2
Подсчитав величину перерезывающей силы, получаем
М
Р2(1-Р2) +2 U-nXl-p4) In Р + (1 - Р2)2—В р< lnpjx
__1__
(l-2.x)[(l-p*)lnp + (l - ?*)=] + ( 1 +7р>р-(1-ра)а
(18)
Имея выражение для Mr, Vn Qr, мы можем получить решение
для бесконечной пластины с жесткой центральной круглой шайбой. Пусть а—*-оо(т. е. (3—»-0).
Подставляя в выражения (12), (13), (15), (16), (11) и (18) значение ¡3 = 0 и переходя к пределу, мы получаем соответствующие выражения для пластины с малой круглой шайбой, т. е. неограниченной пластины.
<?о = ——-, (19)
W = МЬЧоьЬ Q)
4tcD(1—р) г
АЛ >u\ М COS 6
Ah(b) =--—-, (21)
2 izb
Mrib)= Mcos6 , (22)
2 ъЬ
Жсоз^ 2
2ъЪ2
Для упрощения расчётов мы приведем выражение для <р0 и ЛГй на внутреннем контуре к виду, удобному для вычислений.
М
?о
Е№
Т:
где 7 для стали = 0,28) приведен в таблице.
Dfi qe о}$ о^ Ц5 о,в op Qfi
Фиг. 2
(25)
Для изгибающего момента Мв(Ь) мы получаем выражание вида
лл М cos 6
М% =---тн,
2тг Ь
где гпц для ста приведен в таблице и на фигуре 2.
Таблица
? Т 1Щ,
0,2 0,57 0,372
0,3 0,36 0,287
0,4 0,162 0,181
0,5 0,0633 0,109
0,6 0,025 0,059
0,7 0,005 0,0182
0,8 0,0028 0,0146 ;
(26)
II. Мы исследовали изгиб бесконечной пластины с жесткой круглой-шайбой радиуса Ь, находящейся под действием момента, приложенного к шайбе, с помощью функций комплексного переменного.
Упругая поверхность пластины удовлетворяет бигармоническому уравнению (1)
Как известно, решение такого уравнения может быть представлено посредством двух аналитических функций 9(2) и ЩZ) комплексного переменного по формуле Е. Гурса (2) в следующем виде.
W xrr zv (г) 4- Z ф) -S- '/ (z) + /'(*'), (ИЛ)
где v(z) и "/-{z) функции комплексного переменного
Z — X-1- i\'y
ъ (z) и Y-{z) — сопряженные функции комплексного переменного
Z — X — iy.
Задача заключается в определении бигармонической функции вне контура шайбы при известных условиях на контуре (5) шайбы, т. е. при заданных значениях самой функции и ее производной по нормали к контуру.
Так как функции ®(z) и регулярны в области пластины, то эти
функции могут быть представлены внутри этой области рядом Лорана и при этом единственным образом. Имея это в виду, представим функции v(z) и '/\z) рядами вида:
со
•?<г) = VflAZ_*
О GC
= (И-. 2)
о
Коэффициенты ряда функций (II.2) должны удовлетворять условию равенства перемещения нулю на бесконечном расстоянии от шайбы
«7^=0, (н.з)
где R — расстояние до произвольной точки пластины. Так как в любой точке пластины z=Reiv, то при
R —> со И С —V со.
Рассмотрим, какие ограничения накладываются на коэффициенты ряда, чтобы выполнялось условие (II.3).
Запишем равенство (II.1), учитывая (И.2) и переходя к пределу при г—► оо.
Тогда мы получим
lim + .....+ *»„ + ах + _ а2 + ... .+
l г г2 z z1
+ bo + b,z~1 +.....+~50 4- \ i""1 J = 0]. (П.4)
Равенство (II.4) будет иметь место при выполнении следующих равенств:
zao zaa — 0.
2 «i-l- — ai = о,
Легко показать, что в этом случае
а0 = = al — öj — 0.
После этих предварительных замечаний мы можем представить аналитические функции в виде рядов Лорана:
{Z) = >"
со
СО
/ . -/е- > ? (z) = 2 z
2
функцию /-(z) представим в виде
(11.5)
СО
1
со
T(ï)=b» + S bkZ~k-1
Запишем граничные условия на контуре шайбы.
1. Перемещение на контуре шайбы можно записать в виде
или
Ws = cos Q
Zo( z)+z*(s) + 't(z)+t(z)
= bv.
O + O-1
(II.6)
(II.6') (И.6")
где з — е1У—единичный вектор нормали.
2. Для составления второго условия на контуре шайбы примем во внимание, что производная по внешней нормали будет [3|
dW dW — п —
п
dW
(Н-7)
где
дп dz ' dz
п = eiv — а—единичный вектор нормали, п = е~ш— а— величина сопряженная, огда из геометрических соображений можно записать, что на контуре
9о cos 0 .
dw Ws !__
дп b j —
Учитывая, что производная берется по внутренной нормали, окончательно запишем граничное условие на г~чтуре в виде:
г ? (z) + ¿>(г) + ?'(z)+ 4'(z)+z '/.'(z) + zVJ(z)
Z Z'
(II.8)
В уравнение (II.б7) подставим значение (II.8) функций (П.5) и (II.6), учитывая, что на контуре шайбы
z = bo = bell\ тогда окончательно условие (II.6') запишем:
со со со со
= b es,
(а+
(II .9)
Для определения коэффициентов bk приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях о. Это дает нам следующие равенства:
й2
Ь1 = Ьх = —С?о, ¿d
ьг — ~ь, = 0.
Приравнивая коэффициенты при и мы получаем
bk = — b2CLk-\j
bk^ — b-a^. (И.Ю)
Замечая, что разложение для ср(г) вида (II.5), то есть начинается с второе граничное условие (И.8) представим в виде:
со со со
2 2 1 со со СО
2 2 1
(11.11)
Приравнивая коэффициенты при и мы получаем
ak-1 (¿—l)a*_i kbk
bk-\ bk+i
cik-\ (Л - kb
= 0,
0. (11.12)
¿Л-1 ¿й+1
Из (11.10) и (11.12) получаем
= 0 (А > 1),
а, следовательно, из (11.10) получаем
Ьк=Ьк = 0 (А>1).
Таким образом, функция тождественно равна нулю и, следовательно, перемещение пластины представляем в виде
МГ=Ь0+Ь0+ ^ + (11.13)
г г
Учитывая -(— = 0, получаем прогиб
W = Xf (И.14)
Z"
где х = R eos О
IV/ 62?ocos0
.или W =-^ (11.14')
Определим величины моментов Mih Мт и Airfj, для чего обратимся к выражениям, принадлежащим С. Г. Лехницкому [4]
Мн — Мг 4- 2¿Мгн = 4(1 — \>)De™\zf(z) -}- Z"(z)] Мг + Мь = — 8(1—|t)D/?e[ef(z)].
Нам необходимо получить значения моментов на контуре шайбы при z = beiv = bz.
После несложных преобразований, отделив вещественную и мнимую части, получаем
Мь-М0 =4(1 — cos 6,
Л*о+Л1р = 0. (II .15)
Решая (11.15), получим значение изгибающих моментов
Мц= 2(1 — \y)D — cos О,
= — 2(1 — — cosö. (11.16)
b
Приравнивая мнимые части, получаем
Мг*=-2(\-р) ОЬ- зтО. (11.17)-
Ь
Мы рассмотрим равновесие жесткой круглой шайбы под действием изгибающих и крутящих моментов, а также перерезывающих сил. Реакция в месте примыкания шайбы к пластинке выражается
уг=0г + -- дм*'
г дЬ ,г~
или
уг = ~2(\-^)0 -^созО.
Ь-
Запишем условие равновесия шайбы
М = у3[Же соб 0 УГЬ соб Ь]Ьс1П> (11.18)
о
откуда получаем
Ж = 4(1—
где Ж—внешний момент, приложенный к шайбе, или угол поворота шайбы
М
4 т: (1 — ¡jl)Z)
Для стали (п = 0,3) получаем
'-Ро— — 1,24
ЕК
(11.19)
Выражение для изгибающих моментов
.. /WcosG /iT on.,
М()=---> (П.20;
2кЬ
Ж cos* (IL21) 2 тЛ
(11.22)
Перерезывающая сила в месте примыкания шайбы к пластине представится
Vr(b) = — Жс°56-. (П.23):
Полученные нами выражения (11.19), (11.20), (11.21), (11.22), (11.23) совпадают соответственно с выражениями (19), (21), (22), (20) и (23), полученными в I из решения для конечной круглой пластины при предельном переходе, когда наружный радиус а пластины бесконечно возрастает, а радиус шайбы не изменяется.
Мы пришли к этим результатам совершенно различными методами, этс^ совпадение результатов подтверждает правильность выкладок.
Автор выражает благодарность проф.-доктору В- И. Блох за обсуждение результатов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Диментберг Ф. М. Об одном случае изгиба круглой пластинки. Вестник инженеров и техников, № 7, стр. 415—418, 1938.
2. С м и р н о в В. И. Курс высшей математики, т. Ill, стр. 402.
3.Лурье А. И. Некоторые задачи об изгибе круглой пластинки. Прикладная математика и механика, вып. I, том IV, стр. 93—102, 1940.
4. Лехницкий С. Г. О некоторых вопросах, связанных с теорией изгиба тонки? плит—ПММ, вып. 2, том 11, стр. 181—210, 1938.
Для прогиба пластины окончательно получаем
]%/— МЬ' 6
~~4тг(1' Для стальной пластины прогиб на контуре шайбы будет
МЬ созО Е№
