О траекториях движения частиц на стадии отражения в задаче о сходящейся ударной волне Текст научной статьи по специальности «Физика»

Интенсивности скачков £ = ^ < 1, £' = ^ > 1 находим из

Р1 Р1

соотношений на косых скачках, углы ш и ш' — из геометрических построе-

ний [1].

В таблице приведены значения параметров течения (углы,

интенсивности и др.) для двухатомного газа (7 = 7/5). Зависимости

ш'(ш) и ш(£) достаточно близки к экспериментальным [3, рис. 8.6; 4,

фиг. 15 па с. 461; 5] в диапазоне числа Маха Ыж Е [1,3].

В околозвуковом случае для слабых скачков (Мто ^ 1) формулы

упрощаются и непрерывно переходят в формулы околозвуковой

п

теории [6]: к (и) = и, Ь(п) = и2/ 2, ид = —и\/7, Уд = 0, — — ш' =

2

= 0.5687 • — ш) > 0.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Севастьянов Г. Д. Метод расчета параметров регулярного отражения косого скачка от стенки // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10. С. 140-143.

2. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. II. 4-е изд. М,: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963.

3. Баженова Т.В., Гвоздева Л.Г. Нестационарные взаимодействия ударных волн. М.: Наука, 1977.

4. Основы газовой динамики / под ред. Г. Эммонса. М,: Изд-во иностр. лит., 1963.

5. Баженова Т.В., Гвоздева Л.Г., Лагутов Ю.П. и др. Нестационарные взаимодействия ударных и детонационных волн в газах. М,: Наука, 1986.

6. Севастьянов Г.Д. Регулярное отражение околозвукового скачка от стенки // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 181-184.

УДК 532.5:533.6.011.5

B.C. Кожанов

О ТРАЕКТОРИЯХ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ НА СТАДИИ ОТРАЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О СХОДЯЩЕЙСЯ УДАРНОЙ ВОЛНЕ

Изучение задачи о сходящейся ударной волне (УВ) предполагает определение течения как на стадии схождения, так и на стадии отражения. На второй стадии структура течения в области перед отраженной УВ обусловливается выбором значения показателя адиабаты 7. В статье разбираются два возможных варианта движения частиц в указанной области, соответствующие двум промежуткам: 1 <y < ys и Ys < Y- Значение Ys зависит от типа симметрии течения и начального распределения плотности невозмущенной среды.

В окрестности центра фокусировки течение принимает автомодельный характер, и решение может быть построено в форме

u = —knr1 1/nF(n), c2 = k2n2r2 2/nG(n), p = R(n), k,a ^nst,

где n - показатель автомодельпости; координата r - независимая размерная переменная; F(n), G(n), R(n) _ автомодельные представители

u c2 p

соответственно; n = kt/r1/n - независимая автомодельная переменная (t - время); w - показатель в степенном законе распределения начальной плотности.

Рассмотрим картину течения на (r, ^-плоскости (рис. 1). Сплошными

1

2n обобщенные параболы вида t = nswr1/n/k, nsw = const. Для сходящейся У В nsw = —1 (традиционная нормировка), для отраженной УВ nsw = nsw2 — 0 Кривые УВ1? УВ2 и лини я t = 0 делят (r,t)-плоскость на четыре области: область I соответствует невозмущенной среде, область II - течению за сходящейся УВ, области III и IV течениям перед и за отраженной У В. Сплошными тонкими линиями показаны траектории движения частиц.

Возьмем одну частицу на расстоянии r = rp от центра симметрии и проследим ее траекторию для двух значений y 1% 71 < Is < 72В первом случае (рис. 1, а) в момент начала движения сходящейся УВ частица покоится и продолжает пребывать в таком состоянии до момента t = t^. При t = t1 УВ1 приходит в точку r = rp и разгоняет частицу, заставляя ее двигаться к центру с уменьшением скорости. В момент t = 0 происходит фокусировка сходящейся УВ и возникает отраженная У В, которая распространяется от центра симметрии. В момент t = t2 УВ2 встречается с частицей и меняет направление ее движения на противоположное. При t > t2 частица удаляется от центра, теряя скорость. Таким образом, при 7 = 71 все частицы в области III движутся к центру симметрии.

При 7 = 72 (рис. 1, Ъ) траектория частицы в областях I и II

t > 0

по-прежнему приближается к центру. Но при t = t* (t* < t2) ее скорость падает до нуля, она «разворачивается», а затем (при t > t*) движется от центра с увеличением скорости. В момент t = t2 частицу догоняет

t > t2

скорости.

Рис. 1

Во втором случае в области III скорость частицы, находящейся в момент времени t = t* на некотором расстоянии от центра, равна нулю. Это означает, что в пространстве существует поверхность с нулевой скоростью частиц Фо. Поверхность Фо возникает в момент t = 0 вместе с отраженной УВ и расширяется по закону t = n0r1/n/fc, П0 < nsw2- На (r,t)-

Фо

Фо

Фо

частицы движутся от центра, а в подобласти Ш^, отвечающей течению перед поверхностью Фо,- к центру. Таким образ ом, при y = 72 в области III движение частиц двунаправлено. Схема течения для второго случая в некоторый фиксированный момент времени tm > t2 показана на рис. 2.

Движение частиц, наблюдаемое при 7 = 71, характерно для значений 1 <y < 7s, а наблюдаемое при 7 = 72, - для значений ys < Y-

Так как n0 < nsw2? т0 скорость поверхности Ф0 выше скорости отраженной УВ. Это значит, что область IIIa, в которой частицы удаляются от центра, с течением времени расширяется.

Рис. 2 рнс. з

Если Y = Ys7 реализуется граничный режим, когда отраженная У В и поверхность с нулевой скоростью частиц совпадают, при этом^о = График зависимости значения Ys от показателя ш для цилиндрической

(v = 2) и сферической (v = 3) симметрий течения представлен на рис. 3. Если плотность невозмущенной среды постоянна (ш = 0), т о Ys = 73.1395 для v = 2 и Ys = 3.05361 для v = 3. В связи с этим можно отметить, что в сферическом случае при ш = 0 экстраполяция результатов работы [1] дает значение yS5 близкое к трем.

Целью статьи было указать на два возможных варианта развития течения в области перед отраженной У В. Формальное решение задачи о сходящейся УВ может быть построено для любых наборов значений параметров v, ш, y [2]. Однако физическая сторона процесса, наблюдаемого в области III для значений Ys = Ys(v, ш) < y? не ясна и требует дополнительного исследования.

Автор благодарит И.А. Чернова за внимание к работе.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Валиев Х.Ф. Отражение ударной волны от центра или оси симметрии при показателях адиабаты от 1.2 до 3 // IIMM. 2009. Вып. 73, №3. С. 397-407.

2. Lazarus R.B. Self-similar solutions for converging shocks and collapsing cavities // SIAM J. Numer. Anal. 1981. Vol. 18, is. 2. P. 316-371.

УДК 539.3

В.И. Копнина, M.В. Овчинникова

ИЗГИБ ИЗОТРОПНОЙ ПЛИТЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ КВАДРАТНЫМ ОТВЕРСТИЕМ

Пусть имеется изотропная прямоугольная плита, ослабленная квадратным отверстием (со стороной а). Центр отверстия совпадает с началом системы координат, которая выбирается следующим образом: плоскость XOY совпадает со срединной плоскостью плиты, а ось OZ направлена вертикально вниз (рисунок). Пластинка находится под действием изгибающих моментов интенсивности M1 на сторонах, параллельных оси OY, и интенсивности M2 на сторонах, параллельных оси OX. Будем считать, что контур отверстия или жестко заделан, или свободен от действия изгибающих нагрузок.

Задача состоит в определении НДС такой плиты. Сделаем два предположения:

1) размеры отверстия малы по сравнению с размерами самой плиты;

2) отверстие находится достаточно далеко от краёв плиты (порядка двух-трех диаметров).