CC BY
14
м Т1 и, ° и', ° £
1,02 1,172 0,170 0,166 79,8 84,15 0,991
1,20 0,223 0,199 0,161 60,64 71,48 0,901
1,50 0,310 0,244 0,152 49,29 60,69 0,745
2,00 0,444 0,307 0,138 41,92 48,61 0,522
2,50 0,555 0,356 0,116 39,27 39,30 0,363
3,00 0,642 0,395 0,098 38,65 31,13 0,255
Найденный зависимости и'(и), и(£) достаточно близки к полученным экспериментально ([4, рис. 8.6, а; 5, фиг. 15 на с. 461] во всем диапазоне чисел Маха (1 < Ыж < 3).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. II. Изд. 4-е. М.: ГИФМЛ. 1963.
2. Севастьянов Г.Д. Регулярное отражение околозвукового скачка от стенки. // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во, Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 181-184.
3. Китанин В.А., Севастьянов Г. Д. Расчет регулярного отражения околозвукового скачка от плоской стенки // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во. Сарат. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 187-190.
4. Баженова Т.В., Гвоздева Л. Т. Нестационарные взаимодействия ударных волн. М,: Наука. 1977.
5. Основы газовой динамики / Под ред. Г. Эммонса. М,: Изд-во. иностр. лит. 1963.
УДК 533.6
И.А. Чернов
НОВЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ БЕЗ ГРАДИЕНТА ДАВЛЕНИЯ
В статье представлен ряд новых автомодельных решений. Они описываются нелинейными уравнениями второго порядка, в коэффициенты которых входит параметр — показатель автомодельности. Решения являются формальными, их физическая интерпретация в теории вязко-невязкого взаимодействия, в частности, при рассмотрении вопросов об отрыве и о смешении потоков не обсуждается.
1. Плоско-параллельный случай.
Уравнения движения и неразрывности для компонент вектора скорости и,у) имеют вид {и - коэффициент вязкости}
ППХ + УПу = УПуу, их + Уу = 0.
С учетом уравнения неразрывности компоненты скорости выражаются через автомодельный представитель Ф (() функции тока (далее ( = у/х7
и (х, у) = х1-2^ (С) , V (х, у) = - [(1 - п) Ф (С) - <Ф' (С)] х-7.
Для Ф (() имеется обыкновенное дифференциальной уравнение (ОДУ) третьего порядка, которое введением переменных (а = Ф ((), Ь (а) = Ф' (()) сводится к ОДУ второго порядка
V [Ь (а) Ь' (а)]' + (1 - п) аЬ' (а) - (1 - 2п) Ь (а) = 0. (1)
Изучаются решения вида
Ь (а) = Аа2 + Ва + С + /Бо + Ба + ^а2 + Бза3. (2)
Найдены решения для случаев:
а) задача о затопленной струе п = 2/3
Ь (а) = -а2^ + С + /Б0;
б) задача о пристеночной струе п = 3/4
Ь (а) = -а2/6v + а/Бха;
п=0
Ь (а) = Ва + V (В2 + + у^2В2 Б 2 + 4vBD2а + Б2а2; г) п =1 общий интеграл
Ь (а) = - а2^+Ва-3v (В2 + |2 + ^J9v2В2 Б 2 - 6vBD2a+Б2а2; 5) п = -1 интеграл
Ь (а) = 3^за+27v3Б|/4+ ^729v6Б|+648v4Б3а+180v2Б2 + 16Бза3/4.
2. Осесимметричный случай.
2.1. Пограничный слой вдоль оси симметрии.
Система уравнений в цилиндрических координатах имеет вид [1]
иих + киу = V (уиу)у/у (уи)х + (у^)у = 0. Функция тока Ф(х,у) связана со скоростями формулами
и (х,У) = Фу^ ^ (х,У) = -^х/у.
Автомодельные решения имеют функцию тока вида Ф = хпФ (С)• Для дальнейшего введем переменную г = 1п£, а затем переменные (а = Ф (г), Ь (а) = Ф' (г)), в результате получим ОДУ второго порядка
V [Ь (а) Ь' (а)]' + аЬ' (а) - 4vb' (а) - (1 - 2п) Ь (а) - 2а + 4v = 0.
Укажем два решения.
1) п - любое:
Ь (а) = а/п + V (1 — 2п) /п2, (3)
2) п =1 С — любое:
Ь (а) = — а2^ + 2а + С. Решения вида (2) представлены в табл. 1.
2.2. Пограничный слой вдоль плоскости, перпендикулярной оси симметрии.
Система уравнений в цилиндрических координатах имеет вид [1
ппх + УПу = , (хи)х + (хи)у = 0.
С учетом уравнения неразрывности компоненты скорости выражаются через автомодельный представитель Ф (() функции тока следующим образом:
и (х, у) = х1—2пФ' (С), V (х, у) = — [(2 — п) Ф (С) — <Ф' (с)] X—п. Вместо уравнения (1) имеем
V [Ь (а) Ь' (а)]' + (2 — п) аЬ' (а) — (1 — 2п) Ь (а) = 0. Решения вида (2) записаны в табл. 2.
Таблица 1
п А В С ^0 ^2 3
1 4 0 4 8v А 0 0
3 2 2 3v 10 3 8v 3 — ^ 0 0
1 4 0 2 2v V 2 3v 3 1 V
1 4 0 4 5 56^ 25 3584^2 625 1152^ 125 24 5 4 5v
1 4 0 4 3 8v 9 243 32^ 27 16 9 8 9v
23 22 2 11^ 254 11 5100^ 11 2332800^2 11 222912^ 11 6984 11 72
23 22 2 11^ 26 11 24^ 11 64И 33 64 V 11 64 11 64 ЗЗи
23 22 2 11^ 12 11 80^ 99 400^2 891 200v 99 100 33 50 ЗЗи
23 22 2 11^ 4 143 2176^ 1859 10058560^ 942513 371520v 24167 13580 1859 490 429v
Таблица 2
п А В С А) А ^2 3
5 4 1 2v 0 0 0 А 0 0
1 1 2v 0 С 0 0 0
2 1 2v В v(B2+D2) 2 V 2В 2Д2 —2vBD2 0
— 1 0 В v(B2 +Й2) 3 4v 2В2Й2 9 4vBD2 3 0
—4 0 ^3 v3Df 4 ^ 16 v4Df 2 5v2D2 4 ^3
Пример гидродинамической интерпретации решения (3) был дан в [2].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лойцяиский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. М,: Физматгиз, 1962. 479 с.
2. Чернов И.Я. Автомодельное решение о крупной эжектирующей струе факельного типа // Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та. 2007. Вып. 9. С. 199-203.
УДК 517.984
Г.П. Шиндяпин, А.А. Матутин
О ЗАКОНАХ ПОДОБИЯ РЕФРАКЦИИ УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗОВЫХ И ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СРЕДАХ
Для различных режимов нелинейной рефракции ударной волны (УВ) АЯ(ВЯ)- ГШ регулярной (рис.1, а) ; N11 нерегулярной (рис.1, в); К\¥ с отраженной У В (рис.1, с) установлены основные параметры (параметры подобия), определяющие основные характеристики (д+ = (р3 — р0)/(р1 — р0), Я— = (рл — р0)/(р1 — р0); Ра - в т. А на АВ и ударно-волновую структуру течения (в, и, 5 УВ-АВ).
А В С
Рис. 1
При падении УВ АЯ(В11) относительной интенсивности Р10 = (р1 — р0)/£0-, В— = р—с-0 под углом а к вертикали на свободную поверхность АЕ, разделяющую различные газожидкостные среды (ГАЗ/ГЖС, ГАЗ/ГАЗ, ГЖС/ГЖС) с газосодержаниями 7 +,7— возникают различные режимы рефракции (рис.1), характеризуемые фронтами УВ (АЯ падающий, АБ преломленной , АС отраженной, АВ фронт Маха), волной разряжения В1 АВк и изломом свободной поверхности АК. Параметр характеризующий интенсивность волны разряжения или отраженной УВ, р3 = р2.
