CC BY
13
УДК 519.257
Г. П. Шиндяпин, А. А. Матутин, Ю.Д. Баранова
ВЛИЯНИЕ ГАЗОСОДЕРЖАНИЯ ВОДНОЙ СРЕДЫ НА ГРАНИЦЫ РЕЖИМОВ РЕФРАКЦИИ УДАРНЫХ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ ОКЕАНА
Методами нелинейной теории взаимодействия ударных волн (УВ) в газожидкостных средах (ГЖС) [1] установлены границы области рефракции УВ, характеризуемые возникновением отраженной У В (в жидкости) и невырожденной преломленной У В (в газе).
1. При падении УВ АВ (рис. 1) относительно малой интенсивности £ = (pi--p0\ где (е ~ 10-2 ^ 10-1) под углом а к вертикали на свободную поверхность AF океана, разделяющую воздух и воду с газосодержаниями y +, yвозникают различные режимы рефракции [2,3]: RR регулярной; NR нерегулярной с волной разряжения; TNR twin Neumann réf. с двойной отраженной УВ; RW рефракция с отражённой УВ; BPR bound precursor réf. (когда преломленая УВ в точке А - вертикальна), ш = 0; LSR lambda shok réf. (когда преломленная УВ на поверхности опережает падающую) .
Особый интерес представляет режим с отраженной У В АС, когда интенсивность преломлённой УВ AD q+ = p^-PO может превышать интенсивность падающей УВ АВ в зависимости от е,а, y. Относительное газосодержание водной среды (см. [1] Y = Y- = mmr (mn _ масса пузырьков га-
за, mi - масса жидкости при пузырьковом
Рис. 1. Режимы рефракции УВ при £ = 0.01
режиме течения, 0 < 7 < 10-4). При использовании модели гомогенной локально
равновесной пузырьковой среды (см. [1]) с газосодержаниями 7 для жидкости и 7+ = то для газа были установлены основные параметры для относительно слабых У В (р0 _ плотное ть, с0 - скорость звука)
£ < 1, £ = lo(y)е = rO(y)pIO, P10 =
Pi - Po
bo (Y) ,
(1)
Bo(Y) = Po(Y)c0(Y), Lo(y) =
PoRo(Y) Bo(Y) '
С помощью теории коротких волн (ТКВ) (см. [1]) при ограничениях
на интенсивность £ (1) и угол падения УВ АВ (а ~ £1/2)
R
cot
1 + fj, © = f1/2Y,
(2)
u
v
£3/2
Со Ло(7) М'со Яо(7 Г'' Р1 - Ро
были установлены (см. [1]) в пространстве а, 7 (при фиксированных значениях г) границы режимов рефракции Ш1, N11, ТМИ, RW. При возрастании интенсивности эти границы смещаются в сторону больших углов а и результаты асимптотической ТКВ [4] требуют уточнения.
2. Для получения общих результатов, уточняющих ТКВ, используем для режима К\¥ и граничащих с ним (когда УВ пересекаются в точке на свободной поверхности) точные соотношения на фронтах УВ (АВ, АС, АБ) [1,5].
-v, д =
P - Po
x
Для элемента фронта У В в автомодельных переменных £ = —, п = --cot
У с с( \ и (Pj - Рг)
—-, описываемого уравнением £ = £(п), интенсивности P, = —-—^—,
cot
B ±
= Р±С±2 (г - соответствует значениям перед фронтом,^ - за фронтом) имеем условия динамической совместности (£' = (в рамках модели
ап
Эйлера):
Pi
(£ - п£') -(u - £'£
Po
1 + £'
N (P.); f Pj
N(P,,) - P
N (P,,)
p.. = Pi
Po
£ - n£ ) - u - £' v
co co
u
j
Ui
co co
(3)
/^ - рЛ = щ - щ N = 1 + 2а (а1 + Р;-г)(а2 + р^
\со Со/ Со Со' 2 ¿3 + Р,г '
Коэффициенты а, а1, а2, а3 зависят от газосодержания среды 7^и 7 (см. [1, 5]).
Условие совместности течений на свободной поверхности АР (в верхней и нижней областях) в точке А(пА = Па = 0, ~ = со^) приводят [6
2
2
к установлению двух инвариантов (см. рис. 1) (p3 = p2,u3n = u2n)
m c+N1/2 (P30) c"N1/2 (P10)
I1): coU = C^A* или ""
(И)
cos w
+ + + — — — 0 c+v 0 со па
cos a
u
+ c+C°
u-c
(5)
0 SA
3. Анализ инвариантов (I), (II) в пространстве параметров подобия
(см. [3, 6
av =
tan a
1-1
c-
£
1/2 '
Cy -
£
5 ,5 = c+; L = L+ ,5 = P+ ,5= C+, (6)
c
P+
c
при исключении угла ш (преломленной УВ) приводит к уравнению для
q+2(р5)2 • ^2c7 + av2 - ¿0 + 1
av —
(q+ - 1)
av2 - q+
(7)
В случае рефракции RW при возникновении невырожденной преломленной УВ (q+ > 1) (см. [3]), при c" « c+ (7 ~ 10°6), значениях (рс)2 ~ 106 правая часть (7) может быть отброшена и для поля газосодержаний Y (7 = const) имеем в общем случае уравнение
2c7 + av2 - + 1 = 0. L
(8)
4. Для ТКВ имеем две границы области существования К\¥ (д + > 1) (рис. 2).
Из правой части (7) условия существования следует левая граница
av 2 = q+.
(9)
Условие ш = 0 (АС ортогональна АР) из инварианта (II) (г>+ = V-) [7] дает = 0, оде -правая часть (7).
/
и'-сг /
/
/ Ч^га = 0
/
av 2 =
q
+
1
1
(10) Рис. 2. Границы RW в ТКВ
(9+ " 1)2
В ТКВ границы (9), (10) не пересекаются.
5. Уточнение положения границ режима RW (для произвольных уг-
лов а).
С учетом (I) инварианта (4) второй инвариант (II) (5) примет вид (П+ = П- = °)
с^° = ¡Г" ■ (11)
Используя точные выражения (3) на фронтах У В (АВ, АС, АБ) для и2,^2,м3,^3 и выражения (6)
tan в = tan al 1 —
1
q+c), 6 =
N (Pig) 1 + c
cos2 а
2 sin2 a~ J "" cos2 a можно записать (II) инвариант (11) в виде (Р30 = q+pc2P10)
(12)
(1 + ё)
q + — 1
2 sin2 a
q+ё ) Р
= cos a
tan wP3G — c2 tan a 2 — q + + q+ tan w — tan ai 2 — q+ + 4
1G
(13)
q+ — 1
2 sin2 a
q £
P10P30.
Выражение (13) представляет (II) инвариант при произвольных ш(ш > 0).
• Найдем граиицу ш = 0. Полагая в (13) tan ш = 0, получим
q+ — 2 —
q+ — 1
2 sin2 a
q+£
[c2(1 + c) — cos2 аРзо] = 0
Граница ш = 0 реализуется за счет первого множителя
1+
sin2 a =
q+(q+ — 1) 2 tan2 а или а =-
q
2(q+ — 2)
£
2
q+ — 2
(14)
— q+£
ш=0
та АС выражение для = tan в- Разрешая первое уравнение (3) относительно и приравнивая нулю подкоренное выражение, получим
cos2 a =
N 2(PIG)
(15)
N(P2i)(N(рЮ) - Pío) + 2N(pig)pIQ'
Оценивая порядки величии в (15) (при c- ~ с+,7 ~ 10—6,Pí0 ~ 10-4,P2í = (q+ — 1)Pí0), получим (с погрешностью порядка 10-3) уравнение
2 „ N (Pío) 1 + ё
cos a =
N (Р21) 1 + ё + q+c'
V 2 q
a=
+
1 + c
(16)
Формула (16) для левой границы области К\¥ уточняет (9) по ТКВ.
6. Точка пересечения левой границы (16) и границы ш = 0 (14) в области КУУ.
Исключая а из (14), (16), имеем в точке пересечения зависимость:
- 3
£ =
9
+2_ 1'
(17)
при q+ = 3, £ = 0; q+ = 3.5, £ = 0.044; q+ = 4, 5 = 0.066.
q+
от y и по (16) от av.
Рис. 3. Зависимость q+ от а", £ в точке пересечения границ RW
а^2 =
q
+
+2 q+ — 1
2 (18) q+2 + q+ — 4 V 7
На (рис. 3) изображены зависимости q+/5; av/q+ (17), (18). В точке пересечения левой границы (16) и линии w = 0
(14). Максимальная интенсивность пре-
q+
с возрастанием 5 от значения q+ = 3 при 5 = 0; av характеризующее положение точки с maxq+ на линии w = 0, также
£5 = 0.
7. Области существования режима rw. На (рис. 4) представлены результаты расчёта границ режима rw согласно (16) для границы с tnr и соглас-
w=0 q+ = 1
rr, rrw при фиксированных значениях £ = 0.010; 0.022; 0.041. На области режима rw нанесены поля газосодержаний (поля кривых y = const) согласно (8) при фиксированных значениях интенсив-
£ £
rw смещается в сторону больших газосодержаний y и максимальное q+
Рис. 4. Области рефракции RW при
£
Общие итоги:
• Рассчитано максимальное давление за преломленной УВ (AD) в
воздухе для относительно слабых УВ (е < 0.1);
•
BPR соответствует переходу от режима RW к режиму LSR; •
ский интерес для оценки ударных воздействий (преломленных УВ). При переходе к режимам TNR, LSR, когда преломленная УВ уходит вперед (опережая падающую), её интенсивность падает.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Шиндяпин Г. П. Нелинейные взаимодействия ударных волн в газах и газожид-коетных средах. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1997. 104 с.
2. Henderson L. F., Ma J., Sakurai A., Takayama K. Refraction of Shock wave at an air-water interface // Fluid Dynamics Research. 1990. № 5. P. 337-350.
3. Шиндяпин Г. П., Матутин А. А. Возникновение невырожденой ударной волны в воздухе при рефракции ударной волны в океане // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. Вып. 15. С. 136-141.
4. Шиндяпин Г. П., Матутин A.A., Баранова К). Д. Влияние газосодержания водной среды на возникающие режимы ударных волн на поверхности океана // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2014. Вып. 16. С. 127-132.
5. Шиндяпин Г. П., Ковалев А. Д. Математическое моделирование в задачах динамики многофазных сред. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1988. Ч. I. 75 с.
6. Шиндяпин Г. П., Матутин A.A. О законах подобия рефракции ударных в газовых и газожидкостных средах // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10. С. 146-150.
7. Шиндяпин Г. П., Матутин А. А Анализ нелинейной рефракции ударных волн методами асимптотической теории коротких волн // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10. С. 150-154.
