CC BY
10
Значение функционала J = 5.986480.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Жд 12-
1, Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика, М. : Наука, 1975. 304 е.
2, Сапун,ков Я. Г. Оптимальное управление космическим аппаратом с двигателем ограниченной или импульсной тяги и солнечным парусом // Мехатроника, автоматизация, управление, 2014, .ТУ2 4, С, 55-61,
УДК 519.257
Г. П. Шиндяпин, А. А. Матутин, Ю.Д. Баранова
ВЛИЯНИЕ ГАЗОСОДЕРЖАНИЯ ВОДНОЙ СРЕДЫ НА ВОЗНИКАЮЩИЕ РЕЖИМЫ УДАРНЫХ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ ОКЕАНА
Методами асимптотической теории коротких волн [1, 2] исследуется влияние газосодержания водной среды на возникающие режимы рефракции ударной волны (УВ) с невырожденным фронтом преломлённой УВ в воздухе.
1. При падении УВ AR, BR (рис. 1) относительной интенсивности £ = Pl—Po под углом а к вертикали на свободную поверхность AF океана, разделяющую воздух и воду с газосодержаниями y + 7возникают различные режимы рефракции [3]: RR регулярной; NR нерегулярной; FNR free Neumann réf. с волной разрежения; RW регулярной с отражённой УВ; TNR twin Neumann réf. двойной отражённой УВ.
01-00165).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
\
NR
Рис. 1. Точка 5-ти режимов при е = 0.01
Особый интерес представляет положение точки «К» - точки 5-ти режимов, в зависимости от ^ а Ъ 7 = 7- = тп7 _ относительного газосодержания, (шц - масса пузырьков газа, Ш1- масса жидкости при пузырьковом режиме течения (0 < 7- < 10-4)), = р^-р0 - интенсивности преломлённой У В.
При использовании модели гомогенной локально равновесной пузырьковой среды с газосодержаниями 7- для жидкости и 7 + = то для
газа были установлены [1, 4] основные параметры для относительно слабых У В (ро - плотное ть, Со - скорость звука)
ё<< 1, ё = ¿0(7-)е = Яо(7-)Рю, Р10 = Р-р°,
о(7 )
Во(7-) = Ро(7- )е0(7-), ¿0(7 -) = . (1)
Для точки А - падения УВ АЛ на свободной поверхности были установлены [5] инварианты рефракции: (I) с+Са = с-С- ) = и-.
В переменных теории коротких волн (см. [1]) (для областей больших градиентов):
— = С = 1+ ёХ, = п = ё1^ — = 1+ ё6,0 = ё 2 у, со£ со£ со£
г ЛА 1л и -М и _з V
6 = X +0 У2, " = Нт, " = ё ,
2 Со Ло Со Ло
^^ = РюР(1), = РюИ «. (2)
Во ро
Течения в областях возмущения (за фронтом УВ) описываются системой уравнений коротких волн (см. [1]):
м(м-26)м^ + ру + 3м = 0, мУ = "5, М = Р1) = Н(1). (3) Решение (3) для волны разрежения имеет вид
1 1 х_х
М = -2*2 + 6А, V =дг3 + му + г = у А. (4)
Решение за фронтом Маха имеет вид
М = 1 - - 6, V = 1 + (т2 - 1)(У - Ув),
(Ув = о^ - 1,1 - т2 = 6а). (5)
На фронтах УВ X = X * (У), ограничивающих области возмущения, имеем условия (см. [1]) (м', V' - значения перед фронтом)
1 ЖХ
X - ф-У = ^2 + М + М'), ^ = У;
(М - М')(Ф" + У) = V' - V, Р(1) = Н(1) = М. (6)
В точке А за фронтом в ХЯ имеем ма= я- перед передним фронтом волны разрежения, ма = Я+ _ за задним фронтом волны разрежения:
- Р- - Ро + Р+ - Ро
Я =-, Я+ = -. (7)
Р1 - Ро Р1 - Ро
Вследствие равенства давлений (сверху и снизу) на свободной поверхности за точкой А значение я+ (как функция а, т) характеризует интенсивность преломлённой УВ АС в воздухе при всех режимах. В переменных (2) теории коротких волн инварианты I, II имеют вид (см. [4
(I) : ^ = 2с, + «V2 - Я+ + Я-, „V = о' = (8)
7 £ 2 ё 2
1 3
(II) : = з(2ха - 2я+)3 + Ж (9)
Исключая из (8), (9), получим для режимов ХЯ, ЯЯ и ЯЖ выражение для я+:
Я + 1
Я+2(рс)2(2с7 + а'2 - + я-) = Ь(2Ха - 2я+)3 + Ж]2. (10)
7 3
Здесь параметры подобия
Со с+ т 7- —/- ро - Со
с-ё , 7 = 7+, а = —, Рс(Р = Р+, с = С+
С-£ 7о £2 ро со
ЯЯ
[1((а'2 + 1) - Я+)2 + - 1((о'2 - 1)3]2; (12)
для режима ХЯ
для режима ЯЖ
[1(2(Я~ - Я+))2 + (Я-)2]2; (13)
[а' - (Я+ - 1)Уа'2 - Я+]2. (14)
130
Правые части (12)—(14) совпадают вдоль линии д+ = 1.0 (см. рис. 1), когда исчезает волна разрежения, а отражённые У В нулевой интенсивности. В этих случаях линия д+ = 1.0 является границей режимов ЯЯ и ЯW; ТЫ Я. Другие границы согласно (12)—(14) (подчёркнутые
выражения) возникают при аV = 1.0 - между ЖЯ и ЯЯ; при д + = д-между ЖЯ и ГЖЯ; при д + = аV - между Я^ и ТЫ Я.
2. Точка «X» - точка 5-ти режимов на пересечении границ: д+ = 1.0,
+ V2 + —
д+ = а , д+ = д , т. е. в ней
д+ = д~ = аV = 1.0. (15)
Определим положение этой точки в пространстве £, а 7-
Основные уравнения (10) относительно д+ третьей степени, однако, его решение при д+ = 1.0 и при рс >> 1 (рс ~ 106 при 7 ~ 106) и отбрасывание правой части происходит за счёт обращения в ноль скобки левой части, т. е. при
2(1 + с7 ) = Ь. (16)
Подставляя с7, Ь согласно (11) в (1), получим зависимости £ = £(7), а = а(7, £):
£ = -(2)(Ь(+7) -2С+)( )); Ъа = (Ь-(7))1 £2. (17)
с°(7)(Ь+ - 2Ьо (7))
На рис. 2 изображена зависимость £ = £(7, а) для точки «К» 5-ти режимов на линии д+ = 1.0. Показательно, что эти режимы возникают (£ > 0 ПРИ достижении газосодержания определённого значения 7 > 7*. При 7 = 7* согласно (7)
т,
£ = 0 т.е. с-(7*) = с+ (в расчётах с+ = 343(—),
7* = 0.95 • 10-6); 7* < 7 < 10-4. (18)
С ростом газосодержания водовоздушной среды 7 в точке 5-ти режимов возрастает интенсивность падающей У В £ и угол её наклона а.
В тоже время согласно (8) с-(7) < с+ и режимы рефракции типа slow-fast (см. [3]).
■I • o's
О 5 10 15
Рис. 2. Зависимость e(j, а)
На рис. 3 приведены результаты расчёта согласно (10)—(14), аналогично [2] областей существования (границ) режимов рефракции RR, NR, FNR (с волной разрежения) и RW, NR (с отражаемой УВ), а также интенсивности преломлённой УВ (AC) ) при фиксированных значениях £ = 0.010 и £ = 0.041.
Границы областей существования различных режимов в плоскости y, а
Сравнение при фиксированных £ = 0.010 и £ = 0.041:
- с ростом интенсивности падающей УВ точка 5-ти режимов и все границы (кроме q + = 1.0) смещаются в сторону больших углов а;
- при этом в целом возрастают значения газосодержания среды y (y > > y*)? ПРИ которых реализуются соответствующие режимы;
- предельные значения возрастания q+ интенсивности преломлённой У В (при q+ > 1.0) для режи мов RW, NR могут быть установлены при выполнении условия ш = 0 для угла преломленной УВ аналогично [1] (см. рис. 3) с помощью более общей теории-модели потенциальных адиабатических течений газожидкостных сред.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Шиндяпин Г. П. Нелинейные взаимодействия ударных волн в газах и газожид-коетных средах. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1997. 104 с.
2. Шиндяпин Г. П., Матутин А. А. Взаимодействие ударной волны в воздухе при рефракции ударной волны на поверхностиокеана // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013.
3. Hinder-son L. К., Ma J., Sakuzui А., Такауата К. Refraction of Shock wave at an air-water interface // Fluid Dynamics Research. 1990. NS. P. 337-350.
4. Шиндяпин Г. П., Матутин А. А. Аналитиз нелинейной рефракции ударных волн методами асимптотической теории коротких волн // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10. С. 150-154.
5. Шиндяпин Г. П., Матутин А. А. О законах подобия рефракции ударных в газовых и газожидкостных средах.// Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10. С. 146-150.
