Численное моделирование различных режимов рефракции ударных волн в ГЖС Текст научной статьи по специальности «Физика»

Рис. 4. Прорыв плотины и истечение из сосуда

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Поттер Д. Вычислительные методы в физике, М.: Мир, 1975,

2. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости: В 2 т. М,: Мир, 1991.

3. Математическая энциклопедия: В 5 т. М,: Сов. энцикл,, 1982. Т. 3.

4. Математический энциклопедический словарь. М,: Сов. эпцикл,, 1988.

5. Шевырев С. П. Разностные схемы метода Давыдова на произвольной сетке // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2005. Вып. 7. С. 205-209.

УДК 533.6.0116:532.529 Г.П. ШИНДЯПИН, A.A. МАТУТИН, O.A. МАТУТИНА

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ РЕЖИМОВ РЕФРАКЦИИ УДАРНЫХ ВОЛН В ГЖС

При падении ударной волны AR(BR) относительной интенсивности Ap/poCg, под углом а к вертикали на свободную поверхность KA, разделяющую ГАЗ/ГАЗ, ГАЗ/ГЖС, ГЖС/ГЖС, с газосодержаниями 7+ 7-возникают различные режимы рефракции: RR - регулярный (рис. 1), NR - нерегулярный (рис. 2), RW — регулярный с отраженной ударной волной (УВ) (рис. 3) и др., характеризуемые фронтом преломленной волны AD и разрежением ABKBi или отраженной УВ АС. Параметр характеризующий интенсивность преломленной волны одновременно характеризует интенсивность волны разрежения или отраженной УВ(е20 = £зо)-

Рис. 1

Рис. 2

Используется локально равновесная термодинамическая модель газожидкостной среды (ГЖС) [1], позволяющая для общего случая уравнений состояния жидкой и газообразной фаз (индекс I соответствует жидкости, II газу)

р = /(р) = р*(1 + р/к), р = ЯтТ, к = 2.1 • 109 Па, ро = 105 Па

записать уравнения термодинамического и калорического состояния смеси, а также формулы для адиабатической скорости звука в виде

р

а

Ь

Р / (Р)_

= Т; а = (1 + 7)Ь, Ь =

су ; 7Я'

с2 =

а + 1

аЬ

в р ¿р / (р)

Р' Во = Рос0' р

р 1 - Ро р 1 - Ро

Р10 = _ _2 , £ =-,

р0с02 ро

) = N ) = 1 + До (7 = 1 + Ьо£,

со / Во Во

£ = Ьо(7)е = До(7)Рю, Ьо =

роДо(7) Во (7) ,

0.5 • 10-4 < Ьо < 1.0.

(1) (2)

\ с

(0)

к (3) А=В у+

(2) ? \

\ У

(0)

/ (1)

С \ Е.

Рис. 3

154

Асимптотический анализ задач рефракции. Анализ задач рефракции У В при относительно малой интенсивности падающей У В (ё << 1, ё = Lo(y)si0, £ю = (pi — Po)/po)j характерных для ГЖС пузырькового типа, как и других случаев взаимодействия УВ, может быть проведен с помощью асимптотической теории коротких волн (для областей больших градиентов параметров).

Интерес к приближенным и асимптотическим методам в настоящее время объясняется, с одной стороны, достижениями в этой области, значение которых выходит за рамки рассматриваемых проблем, и, с другой стороны, физической актуальностью рассматриваемых проблем [1 — 3]. В точке A(£a, Па = 0):

ё = Lo(Y—) • sio = Ro(Y—) • Pio,

s Pi — Po P Pi — Po << 1

si0 = -, p10 = —_ _2 << 1,

Po Po c0

c x У * c m P— Po fo\

£ = , П = -—7, С = -, p = ——. (3)

c- t c- t Со Bo

На свободной поверхности:

1) -OS— = -OS— ; c—£A = с+£+- I-инвариант (в точке A для областей (2),

(з)); -IV

2) = è, £ = £(п) _ свободная поверхность пА = 0;

u +-0 ça ç

|u±| << с±£а, V+ = V-- 11-инвариант. (4)

Анализ (1), (2) в переменных в теории коротких волн:

R

£ = 1 + ёХ, п = ëi/2Y; — = 1 + êi, в = êi/2Y;

cot

J = X + 2Y2; ^ = PioU- + = P^—f^ + ...;

2 Со Со Со Со

P — Po = P P (i) + u = ê M + v = ê3/2 v + ; = Pi0PV ' + ..., — = S • — + ..., — = £' — + ... ; Во Со —о Со —о

-—— = PioH(i); ё = —0 • Pio = Lo • £io, sio = (Pi — Po)/Po. (5) Po

Решение систем уравнений коротких волн имеет вид

[m(m — 2J)]s + vy + 3м = 0, му = vs, M = P(i) = H(i). (6)

Для волны разрежения получаем

M = — 2z2 + Ja, v = 1 z3 — mY + d, z = X —XA. (7)

Условия на фронтах X = X*(У):

X - Ф*У = ^(Ф*-2

Ф* = ^, (Ф* = ^/ё

(У

<1п

(р - р) • (Ф* + У) = V - V, Р(1) = Н(1) = р.

В точке Л:

1а = Я- _ перед передним фронтом волн разрежения; 1а = Я + _ за задним фронтом волн разрежения. Инварианты:

1дш

(I) : ш= 2с7 + а*2 - д+/Ь + , ш* = ^, с7 =

е1/2

с0 с+. с-ё :

(9)

(II):

Я + • В

с

ш = ^(2Ха - 2я+ )3/2 + (, В/с = р • с.

3

(10)

Исключая ш* из (9), (10), имеем при р • с =1 условие ТКВ (рис. 4, 5).

Рис. 4

Рис. 5

Для режимов RRV,, RR, NR получим выражение для q+.

q

+2

(2c7 + av2 - q+/L + q-) =

pc

3

(2Xa - 2q+)3/2 + d

Здесь v, L - параметры подобия, xa, d - const [4]. Для режима RW с УВ AC правая часть (10) имеет вид

V2 = av - (q+ - 1)^av2 - q +

1

Численное решение нелинейных краевых задач. Метод последовательных приближений сводит исходную задачу для уравнений коротких волн с неизвестной границей к серии краевых задач с фиксированной границей [5].

Применяется метод конечных разностей 2-ого порядка точности с выделением фронтов У В.

а) ГАЗ-ГЖС (C7 = œ,q+ = 0, = 2.147, L = 0, = 0.005 -2 краевые задачи 15 итераций) с УВ, замыкающей зону разрежения (рис. 6).

6.0 -3.0 -1.0 о

Рис. 6

б) ГАЗ-ГЖС (C7 = œ,q+ = 0, av = 0.5, L = 0, £п = 0.002 - 2

краевые задачи 14 итераций) (рис. 7).

Рис. 7

в) ГЖС-ГЖС, ГАЗ-ГАЗ (C7 = 0, = 0.9, av = 1.5, L = 1.2)

Y +, Y-; P+, P-; c+ = с— - итерационный процесс: sn = 0.0001, 12 итераций; £ф = 0.002, 20 итераций; результирующая точность: s = 0.005.

г) ГАЗ-ГАЗ (ССЪ/СН4)

Приведенные картины течений для относительно слабых УВ и малых углах взаимодействия б) (а — O(êi/2)) и конечных углов взаимодействия с) (а - O(1)) (рис. 8,9):

о

Рис. 8

Результаты расчета. Henderson L.F., Colella P. Puckett E.G. J.Fluid Mech. Vol. 224.1991. Методом Годунова - 2-ого порядка точности.

Рис. 9

имеют сходное поведение линий равных давлений; равным является изменение кривизны этих линий в окрестности фронта преломленной У В, а также их поведение в окрестности нижней границы области возмущений;

-сходность картин ГЖС-ГЖС б) и ГАЗ-ГАЗ с) объясняется газоподобностью свойств ГЖС (см. термодинамическую модель L =

Дтй

В общем случае, при C/gamma отличных от 0 и то (случаи б), а) - необходимо решать краевые задачи для верхней и нижней областей течений (D+, D-), как это, например, сделано в [1].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Шипдяпип. Г. П. Нелинейные взаимодействия ударных волн в газах и газожидкостных средах. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 1997. 104 с.

2. Кедрииский В. К. Гидродинамика взрыва: эксперимент и модели. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 435 с.

3. Шипдяпип. Г.П., Матутип A.A. Аналитическое исследование нелинейной рефракции ударной волны на поверхности, разделяющей газовую и газожидкостную среды /у Сб. науч. тр. Механика и процессы управления: Изд-во УРО РАН, Екатеринбург: 2004. С. 190-197.

4. Шипдяпип. Г.П., Матутип. A.A. Анализ нелинейной рефракции ударных воли методами асимптотической теории коротких воли // Сб. науч. тр. Механика. Математика, Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. С. 193-197.

5. Шипдяпип. Г. П. Численное решение задачи нерегулярного отражения слабой ударной волны от жесткой стенки в идеальном газе // ЖВМ и МФ. 1980. .Д"й 1. С. 249254.