Задача об оптимальном выводе космического аппарата с импульсной тягой на орбиту в KS-переменных Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629.78

Я. Г. Сапунков

ЗАДАЧА ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ВЫВОДЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ИМПУЛЬСНОЙ ТЯГОЙ НА ОРБИТУ В КБ^ПЕРЕМЕННЫХ

В статье с использованием KS-переменных [1] решается задача об оптимальном выводе космического аппарата (КА) с импульсным двигателем на заданную орбиту. С помощью принципа максимума Понтрягина решение задачи оптимального управления сведено к решению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений по определению фазовых и сопряженных переменных. С помощью предельного перехода, в котором максимальное значение допустимой тяги неограниченно возрастает, получены соотношения для скачков фазовых и сопряженных переменных в момент сообщения импульса [2]. Краевая задача решается с помощью композиции модифицированного метода Ньютона и метода градиентного спуска. Представлены два примера численного решения задачи.

1. Постановка задачи. Переменные КустиинхеГшо III i ифеля или

KS-переменные u = (u0, ui, u2, u3), s = (s0, si, s2, s3) связаны с векторами положения г и скорости v центра масс КА соотношениями [2]

r = PT(u)u; v = (2/r)PT(u)s; r = |г| = u2. (1)

В начальный момент времени КА находится на эллиптической орбите, которая определяется классическими элементами (а - большая полуось, e - эксцентриситет, / - угол наклона орбиты, Qu - долгота восходящего узла, шП - угловое расстояние от восходящего узла до перицентра):

а aн, e eн, I /jj, ^u ^ин, ШП ШПН. (2)

Истинная аномалия КА в начальный момент определяется полярным углом

= ^0н. (3)

Требуется перевести КА на новую эллиптическую орбиту с классическими элементами:

а = aK, e = eK, I = IK, ^u = ^ик, Шп = ШпК. (4)

Масштаб координат положения Я (параметр эллиптической орбиты), масштаб координат скорости и импульса тяги, отнесенного к единице массы КА, V, масштаб времени Т определяются по формулам

Я = аГм(1 - е2), V = (7М/Я)1/2, Т = Я(Я/(7М))1/2, (5)

где М - масса притягивающего центра, 7 - гравитационная постоянная.

Большая полуось в результатах расчетов, представленных ниже, отнесена к размерному значению большой полуоси начальной орбиты.

Функционал, определяющий качество процесса управления, представляет свертку двух критериев: времени и суммы величин импульсов тяги, затраченных на процесс управления, с весовыми множителями а0, а1, ив безразмерных переменных имеет вид

где £к - длительность процесса управления, |1тр^| - величина импульса, отнесенного к единице массы КА, п - число импульсов.

2. Примеры численного решения задачи. Результаты расчетов, кроме угловых элементов орбиты, представлены в безразмерных переменных. В начальный момент времени КА находится на эллиптической орбите, которая определяется классическими элементами ан = 1.0, ен = 0.1, /н = 5.0°, ^ин = 30.0°, = 50.0°; истинная аномалия положения КА па орбите = 0.5 радиан.

Начальное состояние КА при £ = 0 в первом и втором примерах

Х1 = -0.292240, Х2 = 0.868089, х = 0.078557, VI = -1.478540, V2 = -0.428856, ^з = 0.032184.

В первом примере орбита, на которую необходимо перевести КА, определяется классическими элементами ак = 1.0, ек = 0.1, /к = 8.0°, иик = 34.0°, ипк = 46.0°; т.е. решается задача об оптимальной переориентации орбиты. Весовые множители в функционале (6) в первом примере а0 = 1.0, а1 = 2.5. Оптимальное управление состоит из двух импульсов, которые сообщаются в начальный и конечный момент времени, и пассивного полета К А по промежуточной орбите.

Координаты и величина первого импульса следующие:

гшр1 = 0.00626, ¿шр2 = -0.00992, ¿шрз = 0.10665, |1тр| = 0.10729.

Координаты вектора скорости КА после сообщения импульса

п

(6)

¿=1

V! = -1.472277, V2 = -0.438774, vз = 0.138834.

После сообщения первого импульса КА па промежутке 0.0 < £ < < 0.487559 совершает пассивный полет по орбите с классическими элементами апас = 1.004243, епас = 0.102826, /пас = 6.981823°, ^пас = = 64.152157°, и„пас = 17.817078°.

Состояние управляемого КА в конце пассивного этапа такое:

Х1 = -0.862459, Х2 = 0.432056, хз = 0.118121, Vl = -0.774826, V2 = -1.242409, vз = 0.019060.

Координаты и величина второго импульса и координаты вектора скорости КА после сообщения импульса определяются соотношениями

гшр1 = 0.00626, ¿шр2 = -0.00992, гшрз = 0.10665, |1тр| = 0.10729. Vl = -1.472277, V2 = -0.438774, vз = 0.138834.

Значение функционала J = 1.010670.

Во втором примере орбита, на которую необходимо перевести КА, определяется классическими элементами: ак = 1.52, ек = 0.1, /к = 8.0°, = 34.0°, = 46.0°.

Весовые множители в функционале (6) = 1.0, а1 = 10.0. Оптимальное управление так же, как и в первом примере, состоит из двух импульсов, которые сообщаются в начальный и конечный моменты времени, и этапа пассивного полета по промежуточной орбите.

Координаты и величина первого импульса и координаты вектора скорости КА после сообщения импульса определяются соотношениями

гшр1 = -0.16181, ¿шр2 = 0.05379, гшрз = -0.03905, |1тр| = 0.17493. Vl = -1.472277, V2 = -0.438774, vз = 0.138834.

После сообщения импульса КА па промежутке 0.0 < £ < 2.439017 совершает пассивный полет по орбите с классическими элементами апас = 1.303016, епас = 0.315968, /пас = 4.955154°, ^ пас = 10.180309°, и* ж = 74.438054°.

Состояние управляемого КА в конце пассивного этапа такое:

Х1 = -0.741581, Х2 = -1.504768, хз = -0.117046, Vl = 0.757296, V2 = -0.531333, vз = -0.056946.

Координаты и величина второго импульса: ¿шр1 = 0.155816, ¿шр2 = = 0.055903, ¿шрз = -0.070209, |1тр| = 0.179814.

Координаты вектора скорости КА после сообщения импульса: v1 = = 0.913112, V2 = -0.475430, vз = -0.127155.

Значение функционала J = 5.986480.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Жд 12-

1, Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика, М. : Наука, 1975. 304 е.

2, Сапун,ков Я. Г. Оптимальное управление космическим аппаратом с двигателем ограниченной или импульсной тяги и солнечным парусом // Мехатроника, автоматизация, управление. 2014. .ТУ2 4. С. 55-61.

УДК 519.257

Г. П. Шиндяпин, А. А. Матутин, Ю.Д. Баранова

ВЛИЯНИЕ ГАЗОСОДЕРЖАНИЯ ВОДНОЙ СРЕДЫ НА ВОЗНИКАЮЩИЕ РЕЖИМЫ УДАРНЫХ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ ОКЕАНА

Методами асимптотической теории коротких волн [1, 2] исследуется влияние газосодержания водной среды на возникающие режимы рефракции ударной волны (УВ) с невырожденным фронтом преломлённой УВ в воздухе.

1. При падении УВ AR, BR (рис. 1) относительной интенсивности £ = Pl—Po под углом а к вертикали на свободную поверхность AF океана, разделяющую воздух и воду с газосодержаниями y + 7возникают различные режимы рефракции [3]: RR регулярной; NR нерегулярной; FNR free Neumann réf. с волной разрежения; RW регулярной с отражённой УВ; TNR twin Neumann réf. двойной отражённой УВ.

01-00165).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

\

NR

Рис. 1. Точка 5-ти режимов при е = 0.01