Оптимальная импульсная переориентация орбиты КА с различными условиями на направление тяги Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.78

Я. Г. Сапунков

ОПТИМАЛЬНАЯ ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕОРИЕНТАЦИЯ ОРБИТЫ КА С РАЗЛИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА НАПРАВЛЕНИЕ ТЯГИ

Рассматривается задача об оптимальной переориентации орбиты космического аппарата (КА) с помощью двигателя большой тяги (импульсная тяга). Размер, форма и ориентация орбиты К А определяются классическими элементами: большой полуосью а, эксцентриситетом б, углом наклона орбиты /, углом восходягцего узла угловым расстоянием до перицентра Ниже в таблицах результаты расчетов для времени движения и импульса тяги, отнесенного к единице массы КА, будут представлены в безразмерном виде. Для возвращения к размерным значениям этих величин необходимо использовать масштаб времени Т и масштаб скорости V, которые определяются по формулам

где 7 - гравитационная постоянная, М - масса центра притяжения. Безразмерная величина большой полуоси орбиты представляет собой отношение большой полуоси к полуоси начальной орбиты К А.

Размер, форма и ориентация начальной орбиты определяются следующими значениями элементов орбиты:

ан = 1.0, бн = 0.1, 4 = 5.0°, Пия = 30.0°, = 50.0°. (2)

Положение КА на орбите в начальный момент времени £ = 0 определяется значением истинной аномалии = 0.5 рад, или 28.6479°.

Заданная конечная орбита определяется следующими значениями:

ак = 1.0, бк = 0.1, /к = 8.0°, Пик = 34.0°, = 46.0°. (3)

Качество процесса переориентации орбиты определяется значением комбинированного функционала, учитывающего время и сумму величин импульсов, отнесенных к единице массы К А (характеристическая скорость), затраченных на процесс управления:

Я = аГм(1 - б2), V = у/^М/Я, Т = Я(Я/(7М))1/2. (1)

н

п

¿=1

где о^ и а2 - весовые множители, п - число импульсов.

В табл. 1, 2 сравниваются результаты решения задач об импульсной оптимальной переориентации орбиты для случая, когда на направление оптимальной тяги двигателя не налагается никаких условий, и для случая, когда тяга двигателя в каждый момент управления ортогональна мгновенной плоскости орбиты КА. В первом случае во время управления могут изменяться размер, форма и ориентация орбиты, во втором случае может изменяться только ориентация орбиты, а размер и форма орбиты (большая полуось и эксцентриситет) остаются неизменными. В первом случае задача оптимальной переориентации орбиты решалась с использованием КБ-переменных (переменные Кустаанхеймо - Штифеля) [1], во втором случае с использованием кватерниона ориентации орбиты относительно неподвижной системы координат [2]. Задача оптимальной переориентации орбиты с помощью принципа максимума Понтряги-на сведена к решению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений по определению фазовых и сопряженных переменных. Расчеты показали, что при заданной начальной и конечной ориентации орбит, оптимальное управление состоит из двух импульсов, которые сообщаются в начале и в конце процесса, и пассивного полета КА между ними. Для ортогональной тяги в случае, когда управление состоит из двух импульсов, удалось построить аналитическое решение задачи.

Сравнение решений задач об оптимальной переориентации орбит КА без условия ортогональности тяги к плоскости орбиты и с условием ортогональности проведено для пяти значений весового множителя а1 («1 = 0.4, 0.2, 0.1 0.05, 0.0). Значение множителя а2 равно 1.

Проведенные расчеты показали, что импульсы тяги, время процесса управления, классические элементы орбиты пассивного движения во время процесса управления, полученные при решении задачи об оптимальной переориентации орбиты КА без условия ортогональности тяги к плоскости орбиты, существенно зависят от значений весовых множителей в функционале качества процесса управления. В то же время эти же величины, полученные при решении задачи с условием ортогональности тяги к плоскости орбиты, не зависят от значений весовых множителей. Значения перечисленных величин, полученных при решении задачи об оптимальной переориентации орбиты КА при условии ортогональности тяги, близки к соответствующим величинам, полученным при решении задачи без условия ортогональности, при а1 = 0.05, а2 = 1.0.

В табл. 1 для различных значений а1 для задачи без требования ортогональности тяги приведены величины начального и конечного вектора импульса тяги, их сумма, время пассивного полета, значения функционала (4). В последнем столбце приведены значения функционала для

Таблица 1

а\ гшрн гшрк 1шр ^ез ортог ^ортог

0.4 0.10838 0.09841 0.20679 0.48100 0.39919 0.68831

0.2 0.07587 0.07209 0.14796 0.68951 0.28586 0.37685

0.1 0.04863 0.05490 0.10353 1.00551 0.20408 0.22113

0.05 0.01908 0.04660 0.06568 1.55113 0.14324 0.14326

0.0 0.00001 0.04883 0.04884 1.93768 0.04884 0.06540

Ортогональная тяга 0.01882 0.04658 0.06540 1.55729

Таблица 2

а\ а е I, ° П ° ^п, °

0.4 1.008736 0.106240 8.2808 72.4998 10.8221

0.2 1.004243 0.102826 6.9818 64.1522 17.8171

0.1 1.002024 0.101197 6.0474 54.5531 26.6209

0.05 1.000730 0.100321 5.2897 40.7377 39.8368

0.0 1.000021 0.100019 5.0003 30.0016 50.0015

Ортогональная тяга 1.0 0.1 5.2849 40.6089 39.4335

задачи с ортогональной тягой. В табл. 2 для задачи без требования ортогональности тяги приведены величины классических элементов орбиты пассивного полета КА после сообщения первого импульса для различных а\.

В последней строке табл. 1 и 2 приведены те же величины для оптимальной переориентации орбиты с помощью ортогональной тяги.

При выбранной начальной и конечной ориентации орбит вектора импульсов тяги в задаче об оптимальной переориентации орбиты КА без требования ортогональности оказались близкими к нормалям орбит. Из табл. 1 видно, что значение функционала для задачи без условия ортогональности тяги каждый раз меньше, чем для задачи с этим условием.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Сапунков Я. Г. Решение задач оптимального управления космическим аппаратом с ограниченной и импульсной тягой в КБ-переменных // Мехатроника, автоматизация, управление, 2010, 3, С, 73-78,

2, Челноков Ю. Н. Оптимальная переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Прикладная математика и механика, 2012, Т. 76, вып. 6, С, 897-914,

УДК 531.38:629

Г. Д. Севостьянов

НОВЫЙ АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРИЕНТАЦИИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ СВОБОДНОГО ТЕЛА

Записаны уравнения и алгоритм определения ориентации управляемого тела с неподвижной точкой. Приведен тестовый пример.

В [1] нелинейные кинематические уравнения Эйлера приведены к уравнению второго порядка для угла нутации, конечному уравнению для угла собственного вращения и квадратуре для угла прецессии. В [2] такое упрощение сделано для вращения летательного аппарата (ЛА) и качки корабля. В [3, 4] приведены более ранние системы уравнений кинематики тела с неподвижной точкой.

Кинематические уравнения вращения ЛА, разрешенные относительно производных, имеют вид [5, с. 24]

1

еоЗ" (1)

7 = шх — Ig$ • (шу еов 7 — шг Бт 7),

$ = шу Бт 7 + шг еов 7, Ф =-- (шу еов 7 — шг Бт 7),

где (см. [5, с. 17]) $ - угол тангажа, Ф - угол рыскания, 7 - угол крена; Ш(Ь) (шх,шу,шг) - известная мгновенная угловая скорость ЛА и её координаты на оси связанной системы ОХ к Ук г к- Основная система -

ОХд Уд г д.

Следуя [1], упростим систему (1). Обозначим:

шу = ивт х, шг = —^еов х, и > 0,

Шу

»г

# / (2)

и2 = Шу2 + Ш2г, tgх = — ^, - = / тм, Г = ^ = и,

у Шг а- и

- _ интегральное время.