Оптимальное управление движением космического аппарата с комбинированной тягой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Vio = 2- c

"max

±TUr

C31 cos (0 + C32 sin (0

V20 = -:--V10,

C31 Sin (0 - C32 cos (0

V30 = 0.

Верхний знак берется, когда на первом активном участке движения КА управление u = +umax, нижний - в противном случае; Cj - компоненты матрицы направляющих косинусов C, которые находятся через заданные компоненты кватернионов начальной и конечной ориентаций орбиты: (ДА) = (Л0 о A*); V0 = v(0),(0 = ((0); Л0 = Л(0),

А* = A(t1). Кватерпион Л ориентации орбиты КА связан с фазовой пе-

Í ( • • (\

ременной А соотношением А = Л о ( cos —+ i3 sin — J.

Знание этих условий дает аналитическое решение задачи оптимальной переориентации круговой орбиты КА при втором варианте постановки задачи.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 08-0100 810).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Челноков Ю.Н. Оптимальная переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Математика, Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2006, Вып. 8, С, 231-234,

УДК 629.78

Я.Г. Сапунков

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С КОМБИНИРОВАННОЙ ТЯГОЙ

В статье в переменных Кустаанхеймо — Штифеля (КБ - переменных ), с помощью принципа максимума Понтрягина решена задача оптимального управления движением космического аппарата (КА), движущегося под действием большой и малой тяги, для встречи с другим К А, который движется по своей орбите под действием силы притяжения к центру гравитации. Приводятся результаты численного решения задачи для различных значений отношения максимума большой тяги к силе притяжения

к центру. С помощью предельного перехода решена задача, когда максимальное значение большой тяги неограниченно увеличивается и большая тяга становится импульсной.

1. КБ-переменные и = (и0, и^и2,и3), б = (50,51,52,53) связаны с векторами положения х и скорости V известными соотношениями [1, 2]. Переменная Н определяет полную энергию единицы массы КА. Управляемый

КА движется под действием силы притяжения к центру и двух двигате-

1

2

с силой притяжения к центру. Ставится задача об оптимальном управлении для встречи управляемого и неуправляемого КА. Через И обозначим характерное расстояние, например, радиус начальной орбиты управляемого КА, 7 - гравитационная постоянная, М - масса центра притяжения. Связь между размерными и безразмерными переменными:

= Л1/2*-; в = (7м)1/2в*; Н = ^Н*; т =(Д)

Л \1/2 ,*„ „( Л У/2,*._ 7М_*._.

7М"

1=4='*;р1=^*=

7М * * ( ЛП2 * Р2тахД2 << 1

Р1тах = ^Р1тах; Р2 = Р2тахР2; а2 = (\ О^ м = £ << 1.

Далее будут использоваться только безразмерные величины, верхний индекс "*" над которыми опускается. Движение неуправляемого аппарата А в безразмерных КБ-переменных определяется через переменную та соотношениями

иа = С еов(кта) + Б вт(кта); Ба = к (Б еов(кта) - С 8т(Ьа)); к = (-0.5На)1/2 ; На = -(С2 + Л2)-1 < 0;

Та

4 = / (иа)2 ¿Та; Та > т; С = сопв^ Б = соп

танг

(1)

та

переменных можно записать в виде [1, 2]

¿и = б; ^ = 0.5Ни + 0.5и2Р(и)(р1 + ер2); ^ = 2 (б, р(и)(Р1 + ^Р2);

Т Т Т (2)

и2

(иа(Та))2

130

= и2.

Функционал, который для оптимального процесса должен принимать минимальное значение, в безразмерных переменных имеет вид

Tk

„21, 2

I =У [«0 + a1 |p11 + £2«2Р2] u2dr, |P11 < P1max, |P2|< 1 . (3) 0

Начальное состояние управляемого KA и начальное значение та определяются соотношениями при т = 0

U UH, S sH, h /ij^ та . (4)

В конечный "момент времени" т = тк, который заранее не задается, управляемая система (2) в пространстве (u, s, h, та) в случае мягкой встречи должна находиться на многообразии

PT (U(7k ))u(7k ) = PT (Ua (та(тк )))Ua Ып ));

PT(U(7k))s(7k) = PT(Ua (та(тк)))Sa(Ta(Tk)). (5)

2. Функция Гамильтона — Понтрягина для системы (2) имеет вид

H = -(«0 + a1 |p11 + £2«2p2)u2 + (ц, s) + + ÍV, 0.5hu + 0.5u2P (u)(p1 + £ P2)\ + (6)

+2n(u, P(u)(p1 + £ p2)) + ^u2 (Ua (Ta))—2 .

Сопряженные переменные ц = (д0, д1, д2, д3), v = (v0, v1, v2, v3), n, ^ удовлетворяют системе сопряженных уравнений. Согласно условию максимума оптимальное управление p1opt и p2opt выражается через фазовые и сопряженные переменные, их направления совпадают с направлением вектора PT(u)q, где q = 0.5u2v + 2ns. На правом подвижном конце траектории при т = тк должны выполняться условия трансверсальности. В случае мягкой встречи они имеют вид

1(ц, u) + l(v, s) = 0; l(v, u) = 0; n = 0; tf + (s, ц) + 0.5h(u, v) = 0. (7)

Кроме того, так как тк заранее те задается, то при т = тк Hopt| = 0.

Принцип максимума сводит решение задачи оптимального управления к решению краевой задачи для фазовых и сопряженных переменных.

3. При неограниченном возрастании p1 max решение рассмотренной выше задачи будет стремиться к решению задачи об оптимальном управлении движением КА с импульсной тягой и малой тягой p2 [31. Момент сообщения импульса тяги т определяется из условия |PT(u)q

2

= = a1u2.

Направление вектора импульса тяги совпадает с направлением вектора Рт (и)д. Из уравнений для фазовых и сопряженных переменных следует, что при предельном переходе к импульсной тяге в момент сообщения импульса переменные и та, П Ч остаются непрерывными, а переменные я, до, V испытывают скачки, величины которых определяются по формулам, полученным с помощью предельного перехода.

Ниже в таблице в безразмерных переменных приведены результаты расчетов для различных значений р1тах для мягкой встречи управляемого космического аппарата, находящегося на орбите Земли, с аппаратом, который движется по орбите Марса. Угол, на который в начальный момент времени сдвинут аппарат, находящийся на орбите Марса, относительно управляемого аппарата равен 60°. Расчеты проведены для следующих значений безразмерных весовых множителей а0 = 1.0, а1 = = 0.75, а2 = 0.5, £ = 0.2. Расчеты показали, что двигатели с тягой р1 включаются в начале и в конце процесса управления.

р1 тах tpl р (О ¿к А^ + Аt2 12 1

1.0 0.33890 1.58098 2.09403 0.85195 0.99503 2.83250

5.0 0.09728 1.49339 1.63462 0.23851 0.43657 2.57269

10.0 0.05243 1.47753 1.55160 0.12550 0.35859 2.52875

25.0 0.02130 1.46729 1.49780 0.05181 0.31487 2.50072

то 0.0 1.45998 1.45998 0.0 0.28716 2.48121

В таблице £Р1 - момент выключены я тяги р1? ¿р2 _ момент включения тяги р1 на втором этапе, - общее время процесса управления, А^1 + + А£2 - суммарное время движения аппарата па первом и втором этапах

Тк

с включенной тягой р1? 12 = / р2и2^т, I- значение функционала (3). В

о

последней строке приведены результаты для предельного случая, когда р1

ны и и конечный моменты времени. Безразмерная величина начального импульса равна 0.54554, а величина конечного равна 0.77782.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 08-0100310).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Штифель Е., Шейфиле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М,: Наука, 1975.

2. Сапунков Я. Г. Применение КБ-переменных к задаче оптимального управления космическим аппаратом // Космические исследования. 1996. Т. 34, вып. 4. С. 428-433.

3. Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов. М,: Наука, 1976.