CC BY
22
появляется характерный безразмерный параметр N = umaxp3/c2. При численном решении полагалось, что N = 0.5.
Значение минимизируемого функционала в первом случае оказалось равным JHeocoб = 0.4897, а во втором - J0C06 = 0.4936.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Ks 12-01-00 165).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Челноков Ю. Н. Оптимальная переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Математика, Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2006, Вып. 8, С, 231-234,
УДК 629.78
Я. Г. Сапунков
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ КОСМИЧЕСКИМ АППАРАТОМ С СОЛНЕЧНЫМ ПАРУСОМ И ДВИГАТЕЛЕМ ИМПУЛЬСНОЙ ТЯГИ
С использованием KS-переменных (переменные Кустаанхеймо -Штифеля) с помощью принципа максимума Понтрягина решена пространственная задача оптимального управления о встрече двух космических аппаратов (КА), один из которых неуправляемый и движется только под действием силы притяжения к Солнцу, второй аппарат управляется с помощью солнечного паруса и импульсного двигателя. Функционал, определяющий качество процесса управления, представляет собой линейную комбинацию с весовыми множителями двух критериев: времени и суммы величин импульсов, затраченных на процесс управления. Приводятся результаты численного решения задачи.
1. KS-переменные u = (u0, ui, u2, u3), s = (s0, si, s2, s3) связаны с векторами положения центра масс КА и его скорости ну соотношениями [1, 2]
r = PT(u)u; у = (2/r)PT(u)s; r = |r| = u2, h = v2/2 - jM/r.
(1.1)
hM масса притягивающего центра, y - гравитационная постоянная.
Переменная т, функциями которой являются KS-переменные u, s, h, связана со временем t соотношением
dt/dT = u2. (1.2)
Тяга р,0/ солнечного паруса, отнесенная к единице массы КА, определяется по формуле, в которой п - единичный вектор нормали к плоскости паруса, обращенной от Солнца, в - угол между векторами г и п, Д -коэффициент, характеризующий площадь паруса, отнесенную к единице массы аппарата [3]:
,С082 в , -4 ч \ 2 (л
р,о1 = а г2 п = а (и) (Р (и)и, п) п. (1.3)
Если через Я обозначить характерный масштаб длины, например радиус орбиты Земли, на которой находится управляемый аппарат в начальный момент времени, то связь между размерными и безразмерными переменными, которые обозначаются верхним индексом «*», будет определяться соотношениями:
Н = (7М/Я)Н*; 8 = (7М)1/28*; и = Я1/2и*; т = (Я/(7М))1/2т*; г = Я(Я/(7М ))1/2г*; Д = 7МД*; г = Яг*; V = (7М/я)1/2у*.
Безразмерная величина Д* определяет отношение максимальной величины тяги солнечного паруса к силе притяжения аппарата к
Я.
безразмерные величины и верхний индекс «*» над ними опускается. Движение неуправляемого аппарата, который движется только под действием силы притяжения к центру, с которым управляемый аппарат должен осуществить мягкую встречу в безразмерных КЗ-переменных,
т
С = (Со, С1, С2, Сэ) и Ю = (Л0, Р1, Р2, Д$) соотношениями
иа = C cos(kra) + D sin(kra); sa = k (D cos(kra) - C sin(kra));
1 т"а о
k = (-ha/2)1/2; ha = - (C2 + D2)-1 < 0; t = f (u)2dra
-1
(u
Та > Тан; C = const; D = const.
(1.4)
Если через К обозначить безразмерную величину импульса тяги, отнесенного к единице массы КА, то она будет связана с размерной величиной изменения вектора скорости |Av^| под действием импульса соотношением
|Дуг| = (7MR-1)1/2 К
В безразмерных переменных функционал, определяющий качество процесса управления, принимающий минимальное значение для опти-
мального управления, имеет вид
I = о^к + К (1.5)
¿=1
Ниже приводятся результаты решения задачи с помощью принципа максимума Понтрягина.
2. В декартовой системе координат Ох1 х2хз, начало которой находится в центре Солнца, а плоскость Ох1х2 совпадает с плоскостью орбиты Земли, в начальный момент времени в безразмерных переменных положение и скорость управляемого аппарата, который находится на орбите Земли, определяется координатами
Х1 = 1.0, Х2 = 0.0, хз = 0.0, VI = 0.0, = 1.0, Уз = 0.0. (2.1)
Неуправляемый аппарат находится вблизи орбиты Марса. Положение и скорость неуправляемого аппарата в начальный момент времени в безразмерных переменных, вектора С и О, значения вели чин к, Тан, входящих в закон движения в КБ-переменных для неуправляемого аппарата (1.4), определяются соотношениями
Х1 = 0.76, Х2 = 1.3164, хз = 0.05, VI = -0.7019, У2 = 0.4052, Уз
Со = 0.0, С1 = 1.0679, С2 = 0.6163, Сз = 0.0234, = -0.03196, А = -0.6171, Л2 = 1.0671, £з = -0.01484,
К = -0.3288, к = 0.4054, тан = 0.0.
Безразмерный множитель, характеризующий тягу солнечного паруса, ё, = 0.1, весовые множители в функционале (1.5) а0 = 1.0, а1 = 0.75. Расчеты показали, что для данной задачи в оптимальном управлении импульсный двигатель включался в начале и в конце процесса управления, обеспечивающего мягкую встречу аппаратов. Безразмерные координаты первого импульса, который осуществлялся при £ = 0, и его величина определяются соотношениями:
КН1 = -0.4247, Кн2 = 0.3965, Кн3 = 0.0021, К = 0.5810. (2.3)
В результате сообщения первого импульса безразмерные координаты вектора скорости управляемого аппарата принимают значения:
= -0.0267. (2.2)
У1 = -0.4247, У2 = 1.3965, Уз = 0.0021.
(2.4)
Далее до момента гк = 1.4502 управляемый аппарат движется под действием солнечного паруса, в момент подлета к неуправляемому аппарату его положение и скорость в безразмерных координатах определяются соотношениями:
Х1 = 0.3756, Х2 = 1.4725, х = 0.0009, (2 5)
Vl = -1.1077, У2 = 0.5555, ^з = -0.0008. ( )
Величина второго импульса, который осуществляется в этот момент времени, и его безразмерные координаты определяются соотношениями:
КК1 = 0.3224, Кк2 = -0.7564, Кк3 = -0.0369, К = 0.8231. (2.6)
В результате сообщения второго импульса безразмерные координаты вектора скорости управляемого аппарата принимают значения, совпадающие с координатами скорости неуправляемого аппарата:
V! = 0.7853, у2 = -0.2009, ^з = -0.0377. (2.7)
Функционал качества процесса управления (1.5), обеспечивающего мягкую встречу двух аппаратов, I = 2.5031.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Жд 1201-00 165).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М,: Наука, 1975. 304 е.
2. Сапунков Я. Г. Решение задач оптимального управления космическим аппаратом с ограниченной и импульсной тягой в КЯ переменных // Мехатроника, автоматизация, управление. 2010. 3. С. 73-78.
3. Поляхова Е. Н. Космический полет с солнечным парусом: проблемы и перспективы. М,: Наука, 1986. 304 с.
УДК 519.257
Г. П. Шиндяпин, A.A. Матутин
ВОЗНИКНОВЕНИЕ НЕВЫРОЖДЕННОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ В ВОЗДУХЕ ПРИ РЕФРАКЦИИ УДАРНОЙ ВОЛНЫ В ОКЕАНЕ
Для различных режимов нелинейной рефракции ударных волн (УВ) на поверхности океана с образованием волны разрежения или отраженной УВ методами асимптотической теории коротких волн [1] установлены области существования режимов с невырожденным фронтом преломленной У В в воздухе.
