Научная статья на тему 'Особый Режим в задаче переориентации орбиты космического аппарата'

Особый Режим в задаче переориентации орбиты космического аппарата Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
39
14
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Панкратов И.А., Сапунков Я.Г., Челноков Ю.Н.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Особый Режим в задаче переориентации орбиты космического аппарата»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Панкратов И. А., Сапунков Я. Г., Челноков Ю. Н. Об одной задаче оптимальной переориентации орбиты космического аппарата // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2012, Т, 12, вып. 3, С, 87-95,

2, Челноков Ю. Н. Переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Прикладная математика и механика, 2012, Т. 76, вып. 6, С, 895-912,

УДК 629

И. А. Панкратов, Я. Г. Сапунков, Ю. Н. Челноков

ОСОБЫЙ РЕЖИМ В ЗАДАЧЕ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

В настоящей работе исследуется следующая задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата (КА): необходимо определить ограниченное по модулю управление и :

итах — и — итах < ОС^ и ±|и1,

ортогональное плоскости орбиты КА, переводящее орбиту КА, движение центра масс которого описывается уравнениями

„(А г . с .

2— = А о , шп = и-%\ +—^ гз, (И с г2

dç c p

dt r2 ' 1 + e cos ç ' из заданного начального состояния

c = con st,

t = to = 0, ç(0) = ço, A(0) = A(0) = Л0 о (cos ( + i3 sin (

2

2

в конечное состояние

t = ti =?, ç(ti) = çi, vect A(ti) о Л* о (cos ( + i3sin (j =0.

22

При этом необходимо минимизировать функционал

г il

J = (ai + a2|u|) dt, ai,a2 = const > 0.

Jo

A

Л - кватернион ориентации op биты К A, r - модуль радиуса-в ектора r

центра масс КА, с - постоянная площадей, ^e - параметр и эксцентриситет орбиты, f - истинная аномалия. Верхняя волна - символ сопряжения. Величины с,р, e, fo, Л0, A* - заданы; подлежат определению ti, fi и оптимальный закон управления u = u(t).

Поставленная задача решается с помощью принципа максимума. Для этого вводятся переменные / и х, сопряженные к фазовым переменным Л и f. Функция Гамильтона^Понтрягина имеет вид

1 r с

H = -(ai + «2|u|) + 7:[u Vi + — (vs + 2х)], (1)

2 с r2

где v1, vs - компоненты кватерпиона, v = Л о

Оптимальное управление, находимое из условия максимума функции Гамильтона Iкштрягина (1), имеет вид

umaxsign Vi, r|vi|/(2«2c) - 1 > 0, uo =4 0, r|vi|/(2«2c) - 1 < 0,

?, r|vi|/(2«2c) - 1 = 0, t G [t*; t**].

Также была построена система дифференциальных уравнений для сопряженных переменых и условия трансверсальности, не содержащие неопределенных множителей Лагранжа. Исходная задача сведена к краевой задаче с подвижным правым концом траектории 10-го порядка.

В работе [1] было показано, что порядок краевой задачи можно понизить (без её усложнения) на 6 единиц и привести её к уравнениям

¿VI С <^2 С Г <^3 Г /оч ~ТГ = , ~77~ =--2 VI + - ^3, — =--Щ^. (2}

а£ г2 а£ г2 с с

Рассмотрим подробнее случай особого управления, когда

ГМ/(20!2С} = 1 (3)

на некотором промежутке времени [£*; £**]. (При этом функция Гамильтона 1кштрягина (1) не зависит явно от управления. Можно показать, что это возможно лишь при «1 = 0.)

Возведём соотношение (3) в квадрат и продифференцируем его по времени, имеем:

г2 ^ г аг 2

2с2 ^ + 2с2 ОТ2 =0.

Следовательно,

vi = 0,

1 r dr (4)

-V2 + —,-т: vi = 0. с с2 dt

Продифференцируем второе соотношение (4) по времени и учтём (2):

uo =

c

rV3

r

1 / i dr\ d2r

С V ddt + rdt2

1 dr

vi - -

r dt

В случае круговой орбиты (г = сопэ!) оптимальное управление имеет вид и0 = с2^/(г3^3).

Авторами предложен оригинальный алгоритм численного решения указанных дифференциальных краевых задач оптимальной переориентации орбиты КА, являющийся комбинацией методов Рунге Купи 4-го порядка точности, Ньютона, градиентного спуска. Приводятся примеры расчетов. Построены графики оптимальных траекторий и управлений.

Начальное и конечное значения кватерниона ориентации орбиты равны:

Л0 = ( 0.340051, -0.202771, 0.778442, -0.487111); Л* = ( 0.270571, -0.135281, 0.784644, -0.541133).

Л 1

0.5

-0.5

Л2

Ап

--и

Л1

Лз

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U 1

0.5

-0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Рис. 1

Л 1

0.5

-0.5

Л2

Л0

Л3

U 1

0.5

-0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.!

1 1.2 t

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

t

Рис. 2

На рис. 1 приведены результаты решения в безразмерных переменных краевой задачи для функционала J01 |u|dt ^ min (e = 0.2) и неособого управления. На рис. 2 - для того же функционала и особого управления. Отметим, что при переходе к безразмерным переменным в уравнениях

0

появляется характерный безразмерный параметр N = umaxp3/c2. При численном решении полагалось, что N = 0.5.

Значение минимизируемого функционала в первом случае оказалось равным JHeocoб = 0.4897, а во втором - J0C06 = 0.4936.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Ks 12-01-00 165).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Челноков Ю. Н. Оптимальная переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Математика, Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2006, Вып. 8, С, 231-234,

УДК 629.78

Я. Г. Сапунков

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ КОСМИЧЕСКИМ АППАРАТОМ С СОЛНЕЧНЫМ ПАРУСОМ И ДВИГАТЕЛЕМ ИМПУЛЬСНОЙ ТЯГИ

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

С использованием KS-переменных (переменные Кустаанхеймо -Штифеля) с помощью принципа максимума Понтрягина решена пространственная задача оптимального управления о встрече двух космических аппаратов (КА), один из которых неуправляемый и движется только под действием силы притяжения к Солнцу, второй аппарат управляется с помощью солнечного паруса и импульсного двигателя. Функционал, определяющий качество процесса управления, представляет собой линейную комбинацию с весовыми множителями двух критериев: времени и суммы величин импульсов, затраченных на процесс управления. Приводятся результаты численного решения задачи.

1. KS-переменные u = (u0, ui, u2, u3), s = (s0, si, s2, s3) связаны с векторами положения центра масс КА и его скорости ну соотношениями [1, 2]

r = PT(u)u; у = (2/r)PT(u)s; r = |r| = u2, h = v2/2 - yM/г.

(1.1)

Переменная h определяет полную энергию единицы массы КА, M -масса притягивающего центра, y _ гравитационная постоянная.

Переменная т, функциями которой являются KS-переменные u, s, h, связана со временем t соотношением

dt/dT = u2. (1.2)

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.