CC BY
22
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Нагар Ю. Н., Ольшанский В. Ю., Панкратов В. Л/.. Серебряков А. В. Об одной модели пьезогироскопа // Мехатроника, автоматизация, управление, 2010, 2,
2, Афонин С. М. Параметрическая структурная схема пьезопреобразователя // Известия РАН, Механика твердого тела, 2002,
3, Нагар Ю. Н., Ольшанский В. Ю., Панкратов В. М. Динамика пьезогироскопа при работе в импульсном режиме // Мехатроника, автоматизация, управление, 2011, № 3. С. 63-66.
4, Распопов В. Я. Микромеханические приборы: учебное пособие // М,: Машиностроение, 2007, 400 с.
УДК 629.78
Я. Г. Сапунков
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С СОЛНЕЧНЫМ ПАРУСОМ
С помощью принципа максимума Поптрягипа решена задача оптимального управления встречей за минимальный промежуток времени двух космических аппаратов (КА), один из которых неуправляемый и движется только под действием силы притяжения к Солнцу, второй аппарат управляется с помощью солнечного паруса. Приведены результаты численного решения задачи.
Постановка задачи. KS-переменные u = (u0,u^ u2,u3), s = = (s0,si,s2,s3) [1] связаны с векторами положения центра масс КА и его скорости г и v соотношениями (1.2) из [2]. Пвременная h - полная энергия единицы массы КА, M - масса притягивающего центра, Y - гравитационная постоянная, т - независимая переменная, связанная с временем ¿уравнением dt/dT = u2.
Тяга солнечного паруса, отнесенная к единице массы КА, определяется по формуле, в которой n - единичный вектор нормали к плоскости паруса, обращенной от Солнца, $ - угол между векторами г и n, d -коэффициент, характеризующий площадь паруса:
cos2 $ , 2 \ —4 ч \ 2
p = d—2— n = d (u ) [P (u) u, nj n.
Если через R обозначить характерный масштаб длины, например радиус орбиты Земли, на которой находится управляемый аппарат в начальный момент времени, то связь между размерными и
176
безразмерными переменными будет определяться соотношениями:
и = Я1/2и*; в = (7М)1/2 в*; Н = ^ т = (^) т*;
1/2
г = / 6 = тМ6*; г = Яг* V = ^^М) ' V*.
Далее будут использоваться только безразмерные величины, верхний индекс «*» над которыми опускается. Движение неуправляемого аппарата А в безразмерных КЗ-переменных определяется через переменную та соотношениями
иа = С еов(кта) + Б вт(кта) 8а = к (Б еов(кта) - С вт(кта));
1/2 т„
к = --НЛ ; На = -(С2 + Л2)-1 < 0; г = / (иа)2 6та; (1)
т
1
Ч 2
та > т; С = сош^ Б = соп
Уравнения движения управляемого КА, в которых единичный вектор нормали п является управляющим параметрем, с учетом та в безразмерных КЗ-переменных имеют вид (см. [1, 2]
6и = в, = 2Ни + 1 « (и2)-3 (РТ (и) и, п)2 Р (и) п,
6Н „ „ , „ „ ч ч ( 2) -4 (1->Т , , ) 2 6та и
2 (2)
26 (8,Р (и) п) (и2) -4 (РТ (и) и, П2 , 6 - " ).
6т иа (та)
В КЗ-переменных время перелета, которое характеризует качество процесса управления, определяется функционалом, принимающим минимальное значение для оптимального процесса управления:
Тк
I = у и26т. (3)
0
Начальное состояние управляемого аппарата и начальное значение та определяются соотношениями при т =0
и ин, в ^н, Н та тан. (4)
В конечный «момент времени» т = который заранее не задается, управляемая система (2) в пространстве (и, я,Н,та) в случае мягкой встречи должна находиться на многообразии
РТ (и(тЛ ))и(тЛ ) = РТ (иа (та(т^ )))иа (^(т* )); (5)
РТ (и(7> ))8(7> ) = РТ (иа(та(т^ )Ж(та(т* )). ^
177
Решение задачи с помощью принципа максимума Понтря-гина. Функция Гамильтона — Понтрягина для управляемой системы (2) имеет вид
1 2
Н = -и2 + 8) + -, и) + ¿и-8 (Рт(и)и, п) (Я, Р(и)п) +
2
2 2 (6) и2 и2
(иа(Та))2 2
Сопряженные переменные ^ = (до,М1,М2,Мз), V = VI, удо-
влетворяют системе уравнений
ф _ дН ^^ дН дН дН
¿т ди ' ¿т д8 ' ¿т д^ ' ¿т дга
Из условия максимума для функции (6) оптимальное управление,
п
муле
1/2
r ! / 2 \ Ri
n = z- + b 1 z--—, z =
r V 3z/ r
1 (4 - a2 + aVS + a2) 6
r 7 (PT(u)q,r) ^ ч
a = b pT r , ,, b = , Ri = PT(u)q - br.
|PT (u)q| r2
(8)
На правом подвижном конце траектории при т = тк должны выполняться условия трансверсальности. В случае мягкой встречи они имеют вид
u) + l(v, s) = 0; l(v, u) = 0; n = 0; tf + (s, + 1 h(u, v) = 0.
2
(9)
Кроме того, так как тк заранее те задается, то при т = тк
= 0. (10)
Принцип максимума сводит решение задачи оптимального управления к решению краевой задачи для фазовых и сопряженных переменных. В случае мягкой встречи необходимо решать краевую задачу для системы дифференциальных уравнений (2), (7), в которых управляющий n
т = 0 и граничными условиями (5), (9), (10) при т = тк .
Примеры численного решения задачи. Краевая задача, к которой принцип максимума Понтрягина сводит решение поставленной задачи оптимального управления, численно решается методом Ньютона.
178
В начальный момент времени управляемый аппарат находится на орбите Земли. В декартовой системе координат Ох 1Ж2Ж3, начало которой находится в центре Солнца, а плоскость Ох1х2 совпадает с плоскостью орбиты Земли, в безразмерных переменных положение и скорость управляемого аппарата определяются координатами х1 = 1.0, х2 = 0.0, х3 = 0.0, у1 = 0.0, у2 = 1.0, у3 = 0.0. Неуправляемый аппарат находится на орбите Марса и его начальное положение сдвинуто на угол ^>0 относительно управляемого аппарата. Безразмерное значение величины, характеризующей площадь солнечного паруса, ё = 0.1. Орбита неуправляемого аппарата имеет наклон к плоскости орбиты Земли. В таблице для различных значений угла приводятся длительности полета управляемого аппарата в безразмерных переменных и в земных годах, безразмерные координаты места мягкой встречи аппаратов.
^0,° Время полета Время полета в земных годах х1 Х2 хз
75 9.6764 1.5400 1.4972 0.2732 0.1013
90 10.1976 1.6230 1.1441 1.0022 0.1073
120 11.1576 1.7726 -0.2770 1.4946 0.0970
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Штифелъ Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М,: Наука, 1975. 304 е.
2, Сапунков Я. Г. Применение КБ-переменных к задаче оптимального управления космическим аппаратом // Космические исследования. 1996. Т. 34, вып. 4. С. 428-433.
