Оптимальные траектории и управления в задаче о встрече космических аппаратов Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

где Cv - постоянная интегрирования, и первый интеграл

о П>1Р? cv3 с С. + 13 + —+-=

2с 2г2 р*2

(17)

Таким образом, исходная краевая задача оптимального управления орбитальным движением КА, описываемая системой 16-ти нелинейных ДУ, сведена к краевой задаче, описываемой системой 10-ти нелинейных ДУ, правые части которых не только не усложнились, но и упростились.

1. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в задачах оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном ноле. 4.1 // Космические исследования. 2001. Т. 39, № 5. С. 502 - 517.

В статье представлены результаты расчётов для решения пространственной задачи оптимального управления с помощью принципа максимума Понтрягина о встрече двух космических аппаратов (КА), один из которых движется по эллиптической орбите только под действием силы притяжения к центру. Для решения задачи используются кватернионные или векторные элементы орбиты, в которых уравнения движения КА являются регулярными и обладают структурой, удобной для численного решения задач оптимального управления с применением ЭВМ. Рассмотрены два варианта функционала, определяющего качество процессов управления.

I. Движение совокупности управляемого и неуправляемого космических аппаратов в безразмерных кватернионных элементах орбит А и В описывается уравнениями [1, 2]:

— = -e£>F,sin<p, — =e£>F,cos<p, — = «2A/2Q, 0=A2+B2, q-^u)p, dtp dip dip

F| =u2q+(w,q)w, u=Acos(p+Bsin(p, w—Asincp+Bcoscp, (1)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 02-01-00988)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

УДК 301.15.15.07.02

Я. Г. Сапунков

ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ И УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О ВСТРЕЧЕ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ

.2

и^АаСО.Чфа+В^ПКРд, ЛУа=-АаХШфа+ВаС05фа,

<яф и

О)

я

а=ла2+ва2,

¿Фа

{<2*)

на безразмерный управляющий параметр р тяги наложено ограничение |р|<1,е - отношение максимальной тяги к характерному значению силы

притяжения аппарата к центру, ф — независимая переменная, I - безразмерное время. Величины с нижним индексом «а» относятся к неуправляемому аппарату, при этом кватернионы Аа, Ва — постоянные величины.

В начальный момент времени состояние управляемого и неуправляемого КА определяется соотношениями

Г=0, ф=0, А=А„, В=В„, фа=0. (2)

Качество процесса управления определяется одним из двух вариантов функционала

/ = |(а, + а2е|р|)л = |(а, +а2е|р|)м о о

'* ф* 1/ /= |(а1 + а2е2р2)Л= /(а, + а2е2р2)и2(2<2Г^ф > (4)

о о

представляющими собой свёртки с весовыми множителями а, >0 (¿ = 1,2) двух критериев, определяющих длительность процесса и суммарную величину импульса тяги, отнесённой к единице массы КА, для первого варианта (3) и энергии для второго варианта (4), затраченных на процесс управления. В момент мягкой встречи положения и скорости аппаратов совпадают.

Требуется найти управление, удовлетворяющее ограничению, которое для управляемой системы (1), начинающей движение из начального состояния (2), обеспечивает мягкую встречу и сообщает минимальное значение одному из функционалов (3) или (4) в зависимости от варианта задачи.

2. Для решения краевых задач, описанных в [1, 2], к которым принцип максимума Понтрягина сводит решение задач оптимального управления, разработан метод, сочетающий модифицированный метод Ньютона и метод градиентного спуска.

В расчётах полагалось, что управляемый аппарат начинает движение от точки В круговой орбиты Земли, лежащей в плоскости Оху, а неуправляемый аппарат движется от точки А по круговой орбите с радиусом орбиты Марса и с углом наклона,равным 18.67°.

На рис. 1 в безразмерных переменных изображены траектории движения космических аппаратов и компоненты оптимального управления для первого варианта функционала (3) со следующими значениями весовых множителей: а|=0.2, а2=2 и е=0.1.

Траектории и управления на рис. 2 соответствуют второму варианту функционала (4) со значениями а^О.2, а2~40, е=0.2.

В таблице представлены в безразмерных переменных координаты положений и вектора скорости космических аппаратов в начальный и конечный моменты времени.

Во второй и третьей строках таблицы указаны координаты положения и скорости управляемого и неуправляемого аппаратов в начальный момент времени соответственно. В четвертой и пятой строках указаны положения и скорости аппаратов в момент мягкой встречи для первого и второго вариантов функционала соответственно.

Координаты положений отнесены к радиусу орбиты Земли, а вектора скорости к скорости движения Земли по орбите, в безразмерных переменных земному году соответствует 2л. Для первого варианта функционала длительность перелёта составляет 1.8132 земного года, а для второго -

1.8059

ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА КЯ

УПРАВЛЕНИЯ Р1, Р2, РЗ

г

р

л "-1

1.0

-А.О-

Рис. 1

ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА КЯ

УПРАВЛЕНИЯ Р1, Р2, РЗ

Рис. 2 173

1 X У г V» V;

0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0

0.0 1.52 0.0 0.0 0.0 0.7684 0.2597

11.3929 1.4887 -0.2901 -0.0981 0.1634 0.7527 0.2544

11.3467 1.48087 -0.3248 -0.1098 0.1836 0.7486 0.2530

На рис. 1 видно, что оптимальное управление в случае функционала (3) состоит из пятй этапов, среди которых первый, третий и пятый являются активными, где |р| = 1, а второй и четвёртый - пассивными, |р| = 0. Длительности этапов в порядке их следования в безразмерных переменных равны 1.5965, 2.5799, 1.6771, 4.2468, 1.2926. При этом суммарная длительность пассивных этапов составляет 59.92% от общей длительности перелёта. В случае функционала (4) вектор управления представляет собой непрерывную функцию времени.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сапунков Я.Г. Кватсрнионные элементы орбиты в задаче оптимального управления для встречи двух космических аппаратов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 210 - 213.

2. Сапунков Я.Г. Применение кватерниоинмх элементов орбиты в задаче оптимального управления космическим аппаратом // Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении: Материалы междунар. конф. ИПТМУ РАН. Саратов, 2002. С. 107 - 109.

УДК 533.6011

Я. Г. Сапунков, Г. II. Шиндяпин, В. Д. Поршнсв, Н. В. Федоре»

ЗАВИСИМОСТЬ ХАРАКТЕРИСТИК ДЕТОНАЦИОННОГО ДВИГАТЕЛЯ ОТ ГЕОМЕТРИИ КАМЕРЫ И ДИФФУЗОРА

В работах [1, 2] на основе одномерного приближения был предложен метод расчёта движения продуктов детонации и воздуха в цилиндрической детонационной камере длиной /(, соединённой с коническим диффузором с углом отклонения образующей конуса от оси симметрии Р и длиной /о. В настоящей статье приведены результаты расчётов движения газов в детонационном двигателе для различных размеров диффузора. Исследуется влияние формы диффузора на суммарный импульс давления.

Краткое описание постановки задами и метода решения. В [2] для расчёта движения продуктов детонации взрывчатой смеси, которая в начальный момент времени заполняла цилиндрическую камеру, и воздуха, заполнявшего конический диффузор, была поставлена краевая задача для систем дифференциальных уравнений движения газообразных сред с