Об адекватности общей модели рефракции ударных волн на поверхности раздела газожидкостных сред при рефракции на поверхности газов Текст научной статьи по специальности «Физика»

отдельных органов на работу организма человека позволит провести эффективное лечение, а также снизить послеоперационные риски и осложнения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Джалилова Д. А., Потешкипа Н.Г., Хамитов Ф. Ф., Трошина А. А. Общая теория оптимальных алгоритмов, М, : Мир, 1983, 382 с,

2, Клиническая ангиология : Руководство / под ред. А, В, Покровского : в 2 т, Т. 1, М, : Медицина, 2004, 808 с,

3, Голядкина А. А., Иванов Д. В.. Каменский А. В., Кириллова И. В., Салъков-ский Ю. В., Сафонов Р. А., Щучкина О. А. Практическое применение системы автоматизированного проектирования SolidWorks в моделировании кровеносных сосудов : учеб, пособие для студ, ест, дисциплин, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2011, 153 с,

4, Иванов Д. В., Долъ А. В., Голядкина А. А., Полиенко А. В. Практические применения по применению пакета ANSYS Mechanical APDL к задачам биомеханики сердечно-сосудистой системы : учеб.-метод, пособие для студ, ест.-науч, дисциплин, Саратов : Буква, 2015, 56 с,

5, Мурылёв В. В., Комаров Р. И., Белов Ю. В., Челнокова И. О., Каравай-кин П. А., Полиенко А. В. Математическое моделирование как метод прогнозирования вероятных осложнений при аневризме грудной аорты : материалы Всерос, конф, молодых ученых с между нар, участием / под ред. проф. Л, Ю, Коссовича, Саратов : Буква, 2015, С, 66-67,

6, Голядкина А. А., Полиенко А. В., Кириллова И. В., Челнокова И. О., Сероно-еова Ю. А., Павлова О. Е. Методические рекомендации по выбору оптимального хирургического лечения бифуркации сонной артерии человека : учеб.-метод, пособие для студ. ест.-науч. дисциплин. Саратов : Буква, 2015, 44 с,

7, Гольдина И. М. Ультразвуковая диагностика и оценка результатов лечения пациентов с тромбозом в системе нижней полой вены : автореф, дне,,,, д-ра мед, наук. М., 2011. 29 с.

УДК 517.51

Г. П. Шиндяпин, А. А. Матутин

ОБ АДЕКВАТНОСТИ ОБЩЕЙ МОДЕЛИ РЕФРАКЦИИ УДАРНЫХ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СРЕД ПРИ РЕФРАКЦИИ НА ПОВЕРХНОСТИ ГАЗОВ

Анализируется физическая адекватность общей модели нелинейной рефракции ударных волн (УВ) на свободной поверхности, разделяющей различные газожидкостные среды (ГЖС/ГЖС) [1, 2] в предельном случае на поверхности, разделяющей газы (ГАЗ/ГАЗ). Полученные при расчетах основные характеристики в точке взаимодействия А (углы в,^)?

границы режимов течений (RR регулярные рефракции (рис. 1, a); RW рефракции с отраженной УВ АС (рис. 1, в); BPR bound precursor с преломленной УВ AD, ортогональной свободной поверхности (и = 0, рис. 1, 2)) сопоставляются с экспериментальными результатами [3, 4].

а б

Рис. 1

При падении УВ АВ относительной интенсивности Р—0 = (р1 — р0)/Б—, Б— = Р— с— 2(Р— _ плотноеть, с— - скорость звука в нижней области) под углом а к вертикали на свободную поверхность АЕ, разделяющую газожидкостные среды (ГЖС/ГЖС, ГАЗ/ГАЗ) с газосодержаниями7 +,7—, возникают различные режимы рефракции (см. рис. 1), характеризуемые фронтами У В (АВ падающий, АС отраженный, АД преломленный), волной разрежения С АС к и изломом свободной поверхности АК. Параметр q+ = (р3 — ро)/(р1 — ро) при р3 = р2 характеризует интенсивность преломленной У В АБ. При вырождении волны разрежения, = 1, имеем границу режимов RR ^ ^^ ^^^^ 1. б); при ш = 0 границу режимов RR ^ BPR (см. рис. 1,2).

1. Общая модель рефракции У В на свободной поверхности,

разделяющей различные ГЖС с газосодержаниями 7 +,7-(7 = тт1 ,тп - масса газа, ш/ - масса жидкости), использует для каждой из ГЖС уравнение термодинамического состояния смеси (см. [1, 2]):

Р

b

f (Р) J

Cvi + cviiY n . u , Cv m = CvT, Cv = ——-; a =(1+ Y)b, b = -д. (1)

1 + y YR

В предельных случаях чистой жидкости 7 ^ 0; а, Ь ^ то и р ^ р! = = /(р) = Р*(1 + ) и чистого газа 7 ^ то,р ^ р!! =

— p rt1

выполняется

уравнение состояния сред [1, 5].

Для элемента фронта У В, описываемого в автомодельных переменных £ = , П = уравнением £ = £ (п), интенсивностп Р^ = ,

со 4

= Р±с± ( £ _ значение перед фронтом, ^ - за фронтом) имеем (см. [1,2]) условия динамической совместимости (и, V - компоненты скорости; £' = ^/¿п):

Ei

Po

С - nC) - U - С' -

Co Co

= N(P ); P = N(Pji) - Pj. = ^(Pji)' Pj = N(j '

p.. = pi j Po

(C - nC') - U - С' -

Co Co

Uj

Ui

Co Co

(2)

C' fUj - ^ = Ei - ^• N(P.) = (1 + 2a) (di + pji)(d2 + pji)

\C0 co/ Co Co' ji 2 d3 + aPji

Коэффициенты di, d2, d3, a, b, зависят от газосодержания среды 7 + или Y- (см. [1,2])

k + pi 2(1 + a) p, Bpik2

d1 = —-—, d2 = ^ ^——, d3 = ad1 —

Во ' 1 + 2аВГ° В0р*(к + рг)'

На фронте АВ в точке А (па =0) : £! = — ^а, Р^ = Р-0 имеем из (2):

CA =

N1 (Pfo). р-

N(Pi o) ' Ui Pi o' V tg ,o\

-' — = ^it' — = tg a—. (3)

C

cos a ' p— Nо) - p 0' c0 £a ' co На фронте AC в точке A: C2 = tgв, P2— = P2— — pi0, P2— = ^B--o)

— 1

tg в = + AU! У - A2)1' A = ( f) N (P-)'

U = CA, Vi = ^

C- Co

2

На фронте AD в точке А: S3+ = — tg w, P3+ = (p35+p0), B+ = р+ с+2,

S + = N2 (P+ Р+

SA = , +

cos w р+

N (P3+0)

Л = # = tg . (5)

+

N(P+) — P3+0' c+ S+' со

с

Условия совместимости течений на свободной поверхности (в верхних

Xa

cot

и нижних областях) в точке А (п+ = Па =0, Щ; = Sa) приводят (см. [2

к записи двух инвариантов: I инвариант:

c+S+ = c+S- c+N2 (P+ с—N1 (P0)

с0 SA = с0 SA ,

cos w

II инвариант: (р3 = p2,u3n = u2n)

cos a

(6)

u c0 S+ u c0 SA

V

+

V

(7)

При исследовании w из (6), (7) получим уравнение для q

+

С = С- R = S-С = c+ , R = R+

cn

c2

N (P3O)

P+2

P30

P10 sin a P21 sin в

N 2 (P-O)

P1)1 N1 (P2l)

= 1 -

N (P3O)

c2N (P—o)

2

cos2 a.

(8)

Здесь , в _ определяются согласно (3), (4). В целом (8) представляет зависимость д+/Р—, с, В, гДе Р-, а характеризуют интенсивность и наклон падающей УВ, а с, В - относительные характеристики газожидкостных сред, определяемые газосодержателями 7 +,7Например (см. [5]) при рефракции на поверхности океана (падение У В со стороны жидкости) 0 < 7- < 10"4,7 + ^ то.

2. Рефракция на поверхности, разделяющей газы (ГАЗ/ГАЗ). При 7 ^ то, а = , Ь = 0 в (1) имеем

В± = р±с±2 = = "г1 и из (2) имеем выражения через

интенсивность падающей УВ АВ

£ =

(Р1 — Ро)

Ро

P-0 =

ж-

р—

1 +

ж-+1 2ж-

1 +

£

1

£

N (P-о) = 1 +

ж- + 1

2ж

•£; q =

+ _ Р3 — Ро _ Р2 — Р0,

Р1 — Ро Р1 — Ро

2

1

£

ж

¡+ I 1 1

n(P+) =1 + -¿Т-q+ •£; p+ = ¡¡r • q+ •е №

+ 1 1 N(P-) = 1 + £ + • (q+ - 1) • £; P- = — • (q+ - 1) • £;

S- _ Nl(Pio). S + _ N1 (P+

SA _ . SA _ •

A cos a A cos ш

I и II инварианты (6), (7) (или II инвариант и уравнение (8)) совместно с уравнением (4) для в представляют систему уравнений для нахождения в, ш, q+/а,е. Дополнительные условия (q+ _ 1.0; ш _ 0) позволяют найти границы областей существования режимов рефракции (RR ^ RW; RW ^ BPR).

(в, ш)

ществования при рефракции по поверхности ГАЗ/ГАЗ.

• Условия эксперимента (см. [3, 4]):

CO2 - р° _ 1-976 кг/м3; c0 _ 256 м/с; ж _ 1.3; CH4 - р+ _ 0.717 кг/м3; c+ _ 423 м/с; ¡+ _ 1-28; £ _ 0.282 (S _ Р0 _ 0.78);

c _ 0.605; ж _ 1.015; р _ 2.756. (10)

• Определение ш/а,е.

Из (6) при N(P-), N(P30) по (9) имеем:

q( _

c2 /cos^2 ( 1 + ж +1 . £ ) _ 1

V cos а) \ 2ж- I

(1+ • Ю

(п)

Исключая ^ из (8) и (4), получим а/г, которая при использовании (11) дает ответ - ш(а, г).

• Определение в/а, г.

Записывая 1-е уравнение из (2) при £' = tg в и используя (9), получим:

+ _ 1 , (1 + е) , cos2 в f Р-

q+ =1 + +

96 +1 9е +1 _ \ /1

и° v°

S-- ^ - tg в ^

co co

(12)

При подстановке (12) в (8) получим зависимость в/а, е.

На рис. 2 представлено сравнение расчетных данных по настоящей теории с экспериментальными данными (см. [4]) при (10). L.F. Henderson (1991) па поверхности ГАЗ/ГАЗ (СЕЦ/С02). Определение границ области существования

2

35 50 настоящая геория [1] ооо эксп. И]

Рис. 2

• Граница ЯЯ ^ ЯШ при q+ = 1.0.

Имеем Р21 = 0, тогда уравнение (8) упрощается и подставляется зависимость а/е. Из нее в пределе при £ ^ 0 имеем:

. о

sin2 а =

ж

1 - с . _ _

1 — 4 /—2 ' Ж +

1 — c /ж2 ж+

, c =

В эксперименте (см. [3]) при условиях (10) из (13) получим а* При режиме RWa < а*.

• Грани ца RW ^ BPR при ш = 0.

Из (6) при ш = 0 получим

2 /л Ж + 1 \ _ , (л + Ж+ + 1 \ cos а = (1 +—-—— • £) • с/ [ 1 + q ^ 1

(13) 58.60.

2ж

2ж+

c

0

При £ ^ 0 из (14) имеем cos а = с. В условиях эксперимента (см. [3]) из (10) имеем а* = 52.6°. Для нахождения q+ в (14), используя (7) (при

и = 0 имеем V— = 0), и согласно (2) на АС имеем ^ = tg в — , полу ним зависимость

sin ß =

. о

sin2 а

N (P-—)

(q+ - 1)2 (1 +

ю- — 1

2ю-

в)

(15)

Выражение (15) при исключении в с помощью (4) дает необходимое выражение для /а, е в (14) для определения зависимости а/е при ш = 0.

• Результаты расчета границ представлены на рис. 3.

Рис. 3

Граница RW ^ BPR(u = 0) хорошо согласуется с результатами [3] Abd-El-Fattach. Граница RR ^ RW(q + = 1) также согласуется с [3], но при £ > 0.25 уточняет ее (очевидно поэтому в [3] границы нанесены пунктиром).

Основные выводы. Общая модель рефракции УВ в ГЖС (см. [1, 2]) физически адекватна при рефракции в газах, когда газосодержания Y +, y- велики.Это позволяет использовать ее для анализа рефракции УВ в дисперсных (капельных средах), рассчитывать эффективные ударные нагрузки (q+).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Шипдяпип Г. П. Нелинейные взаимодействия ударных волн в газах и газо-жидкоетных средах, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 1997, 104 с,

2, Шиндяпин Г. П., Матутин А. А. О законах подобия рефракции ударных в газовых и газожидкостных средах // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2008, Вып. 10, С, 146-150,

3, Abd-El-Fattach А. Л/.. Henderson L. F. Shock waves at a slow-fast gas interface // J. Fluid. Maeh. 1978. Vol.89, part 1. P. 79-95.

4, Henderson L. F., Colella P., Puckett E. G. On the refraction of shock waves at a slow-fast gas interface // J. Fluid. Mach. 1991. Vol. 224. P. 1-27.

5, Шиндяпин Г. П., Матутин А. А. Влияние газосодержания водной среды на границы режимов рефракции ударных волн на поверхности океана // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2015. Вып. 17. С. 141-146.

УДК 629

Д. А. Шишков, Ю. Н. Челноков

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОЙ ДВУХИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

В работе рассматривается аналитическое решение оптимальной двух-импульсной переориентации орбиты космического аппарата (КА). Работа является развитием [1, 2]. Для решения задачи переориентации орбиты КА используем уравнения орбитальной системы координат (ОСК) п в параметрах Эйлера:

_ r. c . dp c p

2— = А О ш„, Wn = и-1\ + ,~T = ,r = --, c = const, (1)

dt c r dt r2 1 + e cos p

где А = Ao + Aiii + A2i2 + Азгз - кватернион ориентации ОСК п в геоцентрической экваториальной системе координат OX1X2X3(X) с началом в центре O притяжения Земли; Aj(j = 0,1, 2,3) - параметры Эйлера, характеризующие ориентацию ОСК; г1? г2, i3 векторные мнимые единицы Гамильтона, о - символ кватернионного умножения, wn - отображение вектора w абсолютной угловой скорости ОС К на базис п\ t ~ истинная аномалия, характеризующая положение КА на орбите.

Кватернион А связан с кватернионом Л ориентации орбиты КА соотношением

А = Л о (cos ^ + i3 sin 2) 153