Расчет параметров при регулярном отражении косого скачка от стенки Текст научной статьи по специальности «Математика»

и имеет вид

<fi(ut) = C1 cos ut + (C2 — 1)cos ut. (10)

Константы Ci и C2 определяются из условия непрерывности нормальных составляющих тензоров напряжений упругой и вязкоупругой сред:

(Ai + 2дх ){uPor,x + u0)X) = - Upr,tt(x = 0). (11)

Введя в рассмотрение акустические жесткости z1 = z = pw,

учитывая, что uporx = upor¿, uo,x = uoи разрешая систему уравнений (9) и (11), получим выражения для констант C1 и C2:

nz 2zi , .

C1 = —7-¡-ГC2 = --"-n2z2 . (12)

W(z + z1) (z + zi) -

Так как cos a = — sin(a — п/2), то отраженная волна в окрестности границы отражения-преломления приобретает вид

uo = e—nt((C2 — 1) sinut — Cx sin(wt — n/2))(Cx > 0), (13)

т.е. она состоит из двух волн: первой — основной и второй — запаздывающей по фазе па п/2.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Фрейденталъ А., Гейрингер X. Математические теории неупругой сплошной среды. М,: Физматгиз, 1962. 432 с.

УДК 533.6.011:532.529 Н.О. Евсеев, Е.А. Лунёв, Г.Д. Севостьянов

РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ПРИ РЕГУЛЯРНОМ ОТРАЖЕНИИ КОСОГО СКАЧКА ОТ СТЕНКИ

Приведены таблицы теоретических значений параметров течения газа при регулярном отражении косого скачка от плоской стенки в виде косого скачка (режим Крокко обеспечивает единственность решения, устойчивость угла отражения при небольшом искривлении отраженного скачка, отсутствие отрыва потока в точке отражения). Сравнение вычисленных параметров с экспериментальными удовлетворительно.

Следуя работе [1], проведен расчет параметров течения газа при регулярном отражении косого скачка от плоской стенки (оси ж).

Пусть косой скачок АО в однородном сверхзвуковом потоке (с числом Маха > 1) под неизвестным углом падения ш отражается регулярно в точке О от плоской стенки в виде косого скачка ОВ (угол отражения ш' неизвестен). Величины до АО отметим знаком "го", между АО и ОВ — знаком "1", за ОВ — знако м . Обозначим через 0, р, т, М угол наклона вектора скорости V к ос и х, давление, переменную Чаплыгина, число Маха соответственно.

Уравнения Чаплыгина [2, §16 — 17] для плоского безвихревого установившегося течения идеального совершенного газа

^в = —Фа, Ра = К(а)фв, (1)

где р — потенциал скорости, ф — функция тока; К, а функции Чаплыгина, с помощью функций

и = —са, V = с0, к (и) = —К (а),

( 7 + 1 \3/(7—!) (2)

С =(1 + 1)(1+-) , к(0) = 0, к'(0) = 1 ()

> 1 — отношение теплоемкостей для газа) приведены к нелинейной системе в дивергентной форме [1]:

(L(u))<p = Уф, vv = u^, k(u) = L'(u). (3)

Тогда уравнение ударной поляры для скачка

[у]2 = [L][u], (4)

где [f] = f+ — f- - функциии f на скачке.

В (3) функции u и L имеют вид интегралов пот = V2Vr—2 < 1 :

Гт (1 — тт Гт — 1 + (2в + 1)т,

u = c —--ат. L = c „ -глггтгыт > 0,

к 2т Jt, 2т (1 — т )(e+D > , (5)

Y — 1 „ 1 dL ,du

п = 1—- > 0, 0 <т < 1, в =-- > 0, k = — I— = —K.

y + 1 y — 1 ат ат

Если скачок уплотнения в однородном потоке криволинейный, то

vu

Л. Крокко (L. Сгоссо) в 1937 г. ("иголки" на ней - образы линий тока в неоднородном потоке за скачком; их наклоны характеризуют кривизны

dv = 0

без отрыва потока в точке О равна нулю, тогда имеем точку Крокко Q па ударной поляре и условие па ОВ :

[L] + 3k+ = 0, u = uq < 0, v = vq = 0. (6)

[u]

Малая поляра вершиной лежит на большой и пересекает ее ось в своей точке Q.

Так как 0< = = 0, то го (4) на АО и О В имеем

V? = ([Ц[и])ла = ([Ц[и])ав. Из (6) и (7) численно находятся тг и ТQ.

Значения параметров течения для 7 = 7/5.

(7)

м< Мг т< Т1 ТQ 0° £ £'

1,01 1,005 0,169 0,168 0,166 0,0 83,1 86,0 0,996 1,007

1,02 1,012 0,172 0,170 0,166 0,1 79,8 84,2 0,991 1,014

1,05 1,03 0,180 0,175 0,165 0,3 74,2 80,8 0,976 1,041

1,09 1,053 0,191 0,181 0,164 0,5 69,2 77,6 0,957 1,074

1,15 1,088 0,209 0,191 0,162 1,3 64,0 74,0 0,927 1,125

1,2 1,116 0,223 0,199 0,161 1,9 60,6 71,5 0,901 1,168

1,3 1,170 0,252 0,215 0,158 3,3 55,7 67,3 0,849 1,256

1,4 1,222 0,281 0,230 0,155 4,9 52,1 63,8 0,797 1,347

1,5 1,272 0,310 0,244 0,152 6,6 49,3 60,7 0,745 1,440

1,6 1,320 0,338 0,258 0,149 8,3 47,1 57,9 0,696 1,534

1,7 1,365 0,366 0,271 0,145 10,0 45,4 55,3 0,648 1,630

1,8 1,408 0,393 0,284 0,142 11,8 44,0 53,0 0,603 1,727

1,9 1,450 0,419 0,295 0,138 13,6 42,9 50,7 0,561 1,826

2,0 1,490 0,444 0,307 0,134 15,4 41,9 48,6 0,522 1,925

2,1 1,527 0,468 0,318 0,131 17,2 41,2 46,6 0,485 2,025

2,2 1,564 0,491 0,328 0,127 19,0 40,5 44,7 0,451 2,125

2,3 1,598 0,514 0,338 0,123 20,8 40,0 42,8 0,419 2,226

2,4 1,632 0,535 0,347 0,120 22,6 39,6 41,0 0,390 2,328

2,5 1,664 0,555 0,356 0,116 24,4 39,3 39,3 0,363 2,430

2,6 1,695 0,574 0,364 0,113 26,2 39,0 37,6 0,338 2,523

2,7 1,724 0,593 0,372 0,109 28,1 38,9 36,0 0,315 2,636

2,8 1,753 0,611 0,381 0,106 29,9 38,7 34,3 0,293 2,739

2,9 1,781 0,627 0,388 0,102 31,7 38,7 32,7 0,273 2,843

3,0 1,809 0,642 0,395 0,098 33,5 38,7 31,1 0,255 2,947

2

Если 7 = 1 +--(т — число степеней свободы молекулы газа без

т

учета ее колебаний), то интегралы в (5) вычисляются аналитически.

Из интеграла Бернулли

(7 - 1)М2 = -*-. (8)

1 — т

Интенсивности скачков £ = < 1, £' = Рд > 1 находим из

Р1 Р1

соотношений на косых скачках, углы ш и ш' — из геометрических построе-

ний [1].

В таблице приведены значения параметров течения (углы,

интенсивности и др.) для двухатомного газа (7 = 7/5). Зависимости

ш'(ш) и ш(£) достаточно близки к экспериментальным [3, рис. 8.6; 4,

фиг. 15 па с. 461; 5] в диапазоне числа Маха Е [1,3].

В околозвуковом случае для слабых скачков ^ 1) формулы

упрощаются и непрерывно переходят в формулы околозвуковой

п

теории [6]: к(и) = и, Ь(и) = и2/2, ид = —и1 /7, vg = 0, — — ш' =

2

= 0.5687 • — ш) > 0.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Севастьянов Г. Д. Метод расчета параметров регулярного отражения косого скачка от стенки // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10. С. 140-143.

2. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. II. 4-е изд. М,: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963.

3. Баженова Т.В., Гвоздева Л.Г. Нестационарные взаимодействия ударных волн. М.: Наука, 1977.

4. Основы газовой динамики / под ред. Г. Эммонса. М,: Изд-во иностр. лит., 1963.

5. Баженова Т.В., Гвоздева Л.Г., Лагутов Ю.П. и др. Нестационарные взаимодействия ударных и детонационных волн в газах. М,: Наука, 1986.

6. Севастьянов Г.Д. Регулярное отражение околозвукового скачка от стенки // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 181-184.

УДК 532.5:533.6.011.5

B.C. Кожанов

О ТРАЕКТОРИЯХ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ НА СТАДИИ ОТРАЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О СХОДЯЩЕЙСЯ УДАРНОЙ ВОЛНЕ

Изучение задачи о сходящейся ударной волне (УВ) предполагает определение течения как на стадии схождения, так и на стадии отражения. На второй стадии структура течения в области перед

отраженной УВ обусловливается выбором значения показателя

y

частиц в указанной области, соответствующие двум промежуткам: 1 < Y — Ys ж Ys < Y- Значение Ys зависит от типа симметрии течения и начального распределения плотности невозмущенной среды.