CC BY
15
Рис.2
Проведённые расчёты показывают, что инте1ралы (2) имеют место и для системы уравнений (1). Таким образом, система уравнений (1) является кватернионным аналогом осреднённых уравнений, полученных М. Л. Лидовым в классических элементах орбиты [2].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Сапунков Я. Г. Осреднённые уравнения ограниченной эллиптической задачи трёх тел в кватернионных элементах орбиты // Проблемы точной механики и управления: Сб. науч. тр. ИПТМУ РАН. Саратов, 2004. С. 109 -113.
2. Лидов М. Л. Эволюция орбит искусственных спутников планет под действием гравитационных возмущений внешних тел // Искусственные спутники Земли. 1961. №8. С. 5-45.
3. Сапунков Я. Г. Соотношения между кватернионными и классическими элементами орбиты // Математика, механика, математическая кибернетика: Сб. науч. тр. Саратов, 1999. С. 95 - 97.
УДК 533.6.011
Г. Д. Севостьянов
ОКОЛОЗВУКОВОЙ ПРИСОЕДИНЁННЫЙ ГОЛОВНОЙ СКАЧОК НА КЛИНОВИДНОМ ПРОФИЛЕ
Пусть криволинейный профиль имеет вблизи носа клин некоторой длины и обтекается слабосверхзвуковым потоком в режиме, когда криволинейный головной скачок является присоединённым.
Режимы обтекания клиновидного профиля рассмотрены в [1]. Приближённое решение строится [1] на плоскости годографа скорости для
уравнения Трикоми, при этом ударная поляра заменяется касательной к ней, на которую сносят краевые условия для поляры.
Найдём дозвуковое течение на плоскости потока за головным криволинейным скачком при обтекании клиновидного носа профиля (режим Крокко). Направим ось х вдоль верхней щеки клина из его вершины О, ось у - перпендикулярно оси х и наружу. Для околозвукового безвихревого течения применимо уравнение Фальковича-Кармана (вихрями за головным скачком ОВ пренебрегаем) [2]:
иих=\у, ух=иу, (1)
и = М2 -1, М - число Маха.
На щеке клина (у = 0) имеем: у(х, 0)=0, иу(х,0)=0; на неизвестном скачке ОВ (х = 1г{у)) имеем два условия:
(2)
здесь [/]=/+- /_ - разрыв функции/на скачке.
В системе ху однородный слабосверхзвуковой поток является наклонным к щеке клина (и = их = -1 > О, у = у^ < о). Пусть вершина клина О есть точка Крокко (Сгоссо Ь.) [1], т. е.
г/(0,0)=г/с =-Моо/7<0, у(0,0)=ус=0.
Тогда
г \3/2
<0.
Если клин бесконечен, то косой скачок ОВ" имеет уравнение х = 8-у, 5 = « 1, где
Полагая £ = 5 + С(у), С(о) = 0, из условий (2) получим на скачке для и, у: иск=ис+48С(у)+2С2(у), гск=4исС(у)-68С2(у)-2С3(у). (3)
Решение системы (1) вблизи щеки клина и скачка ищем в виде рядов с произвольной аналитической функцией д0(х), х>0 [3]:
и = а0(х) + а1(х)у2 + а2(х)у4 +...,
у = Ь0 {х)у + 6, (л-)/ + Ь2 (х)у5 +...,
Ь0 =а0а0, а, = (4)
А
при этом
а0(х) = и(х,О) = ис + gc • х + с!] ■ х2 + й?2 ■ х' +..., (5)
8с = К(*>°)1 - параметр.
Имея в (3) для неизвестной функции С ряд
С{у) = с0у + сУ- +с2у3 +..., (6)
запишем уравнение скачка
х = Ь(у) = 8-у+с0у2/2 + с,у3/3 + ... (7)
Подставив ряд (6) в (3) и записав функции и, V из (4) на скачке (7), найдём коэффициенты:
15 5 2 п 64 ис
37 р2 32 ис
Тогда из (7) уравнение скачка ОВ будет иметь вид
8 64 ис а поле течения за ОВ определяется рядами
(8) (9)
" = ис + 8 с ■х -
-х2+1\у2
32
у = 8сУ
21
"с ~778с •* + — 16
(10)
Параметр = 0, если профиль - клин; > 0, если профиль напоминает ромбовидный (разрежение); < 0 для двойного клина (уплотнение дозвукового потока).
Полная скорость К и 9 (угол наклона её к оси х) определяются по формулам [2]:
1 + 2-
(ае +1 )М2Х
(эе +1 )М,
2 '
Коэффициент с давления (р) линейно зависит от и:
= -2-
( аг + \)М2 Тогда на верхней щеке клина (у = 0)
8с~ х~
37
32^
(«с • х)2 + •••
Используя закон околозвукового подобия Фальковича-Кармана (1947), введём универсальные величины [3]:
Х = Г = М* У = 1исГ3/2г,
\ис\ л/к! \ис\
я(г)=Иа(У). (11)
'P (ae + 1 )M, Тогда
i"c|
21 „2
£/ = -1 + Jl"-e + —.Y -—У +...; e = signe., 32 32 c
V = + F{X)=X-e + ~X2 +...,
X = H{Y)=SY + -Y2 + —У3 +... (12)
v У 8 64
Расчёт изобар аналогичен расчёту, проведённому в [4].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гудерлей К. Г. Теория околозвуковых течений / Пер. с нем. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.
2. Севастьянов Г. Д. Основы теории околозвуковых течений газа. Ч. 1. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987.
3. Севастьянов Г. Д. Регулярное отражение околозвукового скачка от стенки // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 181 -184.
4. Китанин В. А., Севастьянов Г. Д. Расчёт регулярного отражения околозвукового скачка от плоской стенки // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 187 - 190.
УДК 539.3
Н. М. Сироткина
ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ КОНСОЛЬНОЙ ПОЛИМЕРНОЙ ПАНЕЛИ ПРИ ВИБРАЦИОННОМ ИЗГИБЕ РАСПРЕДЕЛЁННЫМ МОМЕНТОМ
В данной статье исследуется температурное поле бесконечной консольной цилиндрической полимерной панели при заданном на незакрепленном крае р = а распределённом моменте M(t) = MQ coso»/. Задача решается численно с применением методов сплайн-коллокации и дискретной ортогонализации. Для первых трёх значений критической частоты со« (к = 1,2,3) проведён анализ зависимости температуры саморазогрева панели от условий теплообмена с внешней средой и от значения стрелы подъёма /. Установившаяся температура панели удовлетворяет стационарному уравнению теплопроводности. Предполагается, что края панели теплоизолированы, а на лицевых поверхностях задан один из следующих трёх вариантов условий теплообмена:
213
