Эволюция элементов орбиты космического аппарата в ограниченной эллиптической задаче трех тел Текст научной статьи по специальности «Математика»

Общий порядок системы равен 9. Система (14) эквивалентна системе ОДУ в нормальной форме для коэффициентов, определяющих скорости (и, у), вида

у0 = кщ + + си0Х] + ¿«,х0 + аи0щ,

у, = 2(х2у] +у2х] +ки2) + (2х2и0 + м,х|)с + («,х1 + 2и2х0)Ь + и0и2 у2 = (2х2М] + и2х\)с + 4х2у2 + + (х2щ + 2и2х])Ь + Ъащи2, у3 = 2^(с«2 + Зу3 + Ьи2)х2 + аи2 ],

и0 = щх^ — У| — си0, х0 = к + X) + Ьх0 + £Ш0 ,

и, = 2(и2х^ - + х2и\) ~~ си\' х] ~ (Ь + 4-^2)-с1 + аи\

и2 = 4х2и2 -Зу3 - си2, х2={Ь + 4х2)х2 + аи2.

Эта автономная система ОДУ имеет множество решений (оо9), которые могут быть положены в основу аналитического изучения важных краевых задач аэродинамики, в том числе с ударными волнами, в соответствующих теориях (2), (3), (4). Пример подобного изучения приведён в [2].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Коу.ч Дж., Кук Л. Трансзвуковая аэродинамика / Пер. с англ. М.: Мир, 1989.

360 с.

2. Шиндяпин Г. П. Построение аналитических решений системы дифференциальных уравнений Заславского - Гриба в теории коротких волн // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. С. 186 - 189.

3. Севастьянов Г. Д. Структура элементарных околозвуковых решений // Аэродинамика. Нелинейные проблемы: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. Вып. 14(17). С. 109-117.

УДК 301.15.15.07.02

Я. Г. Сапунков

ЭВОЛЮЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В ОГРАНИЧЕННОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ ТРЁХ ТЕЛ*

В работе [1] для ограниченной задачи трёх тел в кватернионных элементах орбиты получены двукратно осредненные уравнения движения космического аппарата (КА) вокруг центра притяжения с учётом возмущающего воздействия от третьего тела, движущегося по эллиптической орбите с произвольным значением эксцентриситета. Но при осреднении

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 02-01-00988).

уравнений по периоду обращения возмущающего тела была допущена ошибка. В настоящей статье представлены исправленные двукратно ос-редненные уравнения в кватернионных элементах орбиты. Осреднённые уравнения в классических элементах орбиты КА были получены в [2]. В настоящей статье представлены результаты исследования эволюции элементов орбиты КА на больших промежутках времени на основе кватернионных осреднённых уравнений. В [2] получены три первых интеграла для осреднённых уравнений в классических элементах орбиты. Расчёты показывают, что эти первые интегралы имеют место и для осреднённых уравнений в кватернионных элементах орбиты.

Если в уравнениях (3.3) из [1] провести осреднение по времени на промежутке, равном периоду обращения возмущающего тела вокруг центрального тела, то в обозначениях работы [1] дважды осредненные уравнения для ограниченной задачи трёх тел в кватернионных элементах орбиты в безразмерных переменных примут вид

dA

dt

dB

dt

Зе,е2

2(2 tiftpfi

3e,E2

¿fF2(B,iJ+iF3(A,iJ+iF4(i4)A+lF5(B,A,ijBj-

2(20)>2

Pb

~f6(a,b)

¿f F2(A, i4 )+i F3(B, i* )+)B +1 )a] -

.*=l

-JF6(B,A)

(1)

В системе уравнений (1) через А и В обозначены осреднённые безразмерные кватернионные элементы орбиты КА, который движется под действием силы притяжения к центру и возмущающей силы со стороны третьего тела, через t - безразмерное время. Через £[«1 обозначено отношение массы возмущающего тела к массе центрального тела, через е2«1 -отношение большой полуоси орбиты КА к большой полуоси орбиты возмущающего тела. Единичные вектора i; и i2 расположены в плоскости орбиты возмущающего тела, при этом вектор i] направлен в сторону перицентра орбиты, a i2 - по вектору скорости возмущающего тела, когда оно находилось в перицентре. Кроме того, в уравнениях системы (1) использованы обозначения:/^ = I -с>1, где еь - эксцентриситет орбиты возмущающего тела, Q = А2 + В = const, т. е. Q является первым интегралом системы (1). Классические элементы орбиты связаны с кватернионными соотношениями, представленными в [3]. В частности, известно что, 0.5Q=a, где а - большая полуось оскулирующей орбиты КА.

Решения задачи Коши для системы уравнений (1) с независимой переменной 7=6]ё23 / проводились при следующих начальных значениях безразмерных кватернионных элементов орбиты КА:

Ло=0.0, А, = 0.3862, Л2= 1.1623, А 3=0.0, бо=0.3789, Й! = -0.5538, 52= 0.184, = 0.1259. Эти значения кватернионных элементов орбиты соответствуют следующим начальным значениям классических элементов орбиты КА: безразмерное значение большой полуоси а= 1, эксцентриситет е = 0.5, угол наклона орбиты г = 0.6, долгота восходящего узла £2 = 2.5, угловое расстояние до перицентра со = 3.1416 (значения всех угловых величин представлены в радианах). Ниже приведены в виде графиков решения задачи об изменении осреднённых значений классических элементов орбиты КА для двух значений эксцентриситета орбиты возмущающего тела: еь = 0.0 и еь = 0.25. На рис. 1 представлена эволюция осреднённого значения эксцентриситета КА.

Э .75

Рис. 1

Из графиков рис. 1 видно, что эксцентриситет КА совершает периодические колебания. При увеличении еь период колебаний уменьшается.

На рис. 2 приводятся графики эволюции угла наклона орбиты КА для тех же значений эксцентриситета возмущающего тела. Видно, что влияние изменения е/, на эволюцию угла наклона орбиты КА носит такой же характер, как и на эксцентриситет.

В работе [2] для осреднённых уравнений в классических элементах орбиты КА найдены следующие три первых интеграла:

С, = а,

С2 = (l -е2) cos2 i, С3 = е2 (о.4 - sin2 ш sin2 г). (2)

Рис.2

Проведённые расчёты показывают, что инте1ралы (2) имеют место и для системы уравнений (1). Таким образом, система уравнений (1) является кватернионным аналогом осреднённых уравнений, полученных М. Л. Лидовым в классических элементах орбиты [2].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сапунков Я. Г. Осреднённые уравнения ограниченной эллиптической задачи трёх тел в кватернионных элементах орбиты // Проблемы точной механики и управления: Сб. науч. тр. ИПТМУ РАН. Саратов, 2004. С. 109 -113.

2. Лидов М. Л. Эволюция орбит искусственных спутников планет под действием гравитационных возмущений внешних тел // Искусственные спутники Земли. 1961. №8. С. 5-45.

3. Сапунков Я. Г. Соотношения между кватернионными и классическими элементами орбиты // Математика, механика, математическая кибернетика: Сб. науч. тр. Саратов, 1999. С. 95 - 97.

УДК 533.6.011

Г. Д. Севостьянов

ОКОЛОЗВУКОВОЙ ПРИСОЕДИНЁННЫЙ ГОЛОВНОЙ СКАЧОК НА КЛИНОВИДНОМ ПРОФИЛЕ

Пусть криволинейный профиль имеет вблизи носа клин некоторой длины и обтекается слабосверхзвуковым потоком в режиме, когда криволинейный головной скачок является присоединённым.

Режимы обтекания клиновидного профиля рассмотрены в [1]. Приближённое решение строится [1] на плоскости годографа скорости для