CC BY
31
Я. Г. Сапунков
УДК 629
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ КВАТЕРНИОННЫМИ И КЛАССИЧЕСКИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ ОРБИТЫ1
В статье выводятся соотношения, связывающие между собой классические элементы орбиты (а - большая полуось, е - эксцентриситет, / - наклон орбиты, П - долгота восходящего узла, со - угловое расстояние перицентра от узла) и кватернионные [1] или векторные [2] элементы орбиты для возмущённого движения по траектории эллиптического типа.
1. Для регуляризации уравнений движения точки массы т под действием силы гравитационного притяжения к центру с массой М (полагается М»т) и управляющей или возмущающей силы тр используются переменные Кустаанхеймо-Штифеля (К8-переменные) и = (щ, щ, и2, щ), я = (.?о, ¿1, $2, ^з), которые связаны с радиусом вектором точки д; = (хь х2, х3) и её вектором скорости V = (у|, \2, vз) соотношениями [2, 3] :
х = Р\и)и, V = 2г АР\и) 5 , г = (1-1)
"0 Щ -и2 -"3
Р\и) = -"3 и2 щ -и0
и2 из и0 щ
Векторные или кватернионные элементы орбиты А = (А0, А ь А2, А3), В = (В0, В\, В2, В}) в случае движения точки по траектории эллиптического типа, когда полная энергия единицы массы h = 0.5v2 - уMr"1 < О, (у - гравитационная постоянная), связаны с KS-переменными соотношениями [2]
и = /Icos ф + ifsincp ,
s = (-Лбшф + Bcos(p)(0.5yM2"')l/2, Q = A2+B2, (1.2)
где 2ф - обобщённая эксцентрическая аномалия. В случае отсутствия возмущений (р ^ 0) А и В сохраняют постоянные значения. Если управляющие или возмущающие силы малы по сравнению с силами гравитационного притяжения к центру, то векторные элементы орбиты оказываются медленно изменяющимися переменными. Это позволяет уменьшить объём вычислений при решении задач управления с использованием векторных элементов орбиты.
2. По положению и скорости точки можно определить оскулирующую орбиту, по которой двигалась бы точка только под действием силы притяжения к центру. В работе [2] имеются соотношения, которые связывают KS-
' Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, коды проектов 96-01-01251 и 99-01 -00192.
переменные с классическими элементами орбиты. Используя эти соотношения, можно получить формулы для определения большой полуоси и эксцентриситета через векторные элементы орбиты
а = 0.5Q, e=[(A2-B2?+4(A,B)2]mQ1 . (2.1)
Трёхмерные вектора V, U, W вводятся соотношениями
У=РТ(А)А, и = Рт{В)В, W=PT{A)B. (2.2)
Единичные вектора С, D, расположенные в плоскости оскулирующей орбиты, среди которых С направлен на перицентр орбиты, a D - по вектору скорости, которую имела бы точка, находясь в перицентре, определяются по формулам
c=__L(K+Í/),
2 ае
в= „ !--[(A,B)(V-U)-(A2-B2)W]. (2.3)
2а ел/l - е
Координаты векторов Си D связаны с угловыми элементами орбиты соотношениями [2 ]
С\ = cosQ costo - sinQ sinco cos i, Сг = sin Q cosco + cosQ sinco eos i, C3 = sinco sin i,
D\ = -cosQ sinco - sinQ cosco eos i, (2.4)
D2 = -siníí sinco + COSQ COSCO COS i, Di = cosco sin i.
Если оскулирующая орбита является круговой, то согласно (2.1)
е = 0, а = А2 = В2,(А,В) = 0. (2.5)
В этом случае единичный вектор К , перпендикулярный к плоскости орбиты, определяется векторным произведением
К= [ к W] а2 . (2.6)
Координаты вектора К связаны с угловыми элементами орбиты i и Q соотношениями
К\ = sin i sinQ , Кг= -sin i cosíi , K3 = eos i. (2.7)
3. Если ввести мнимые единицы Гамильтона у i ,/2 ,/з , то все четырёхмерные вектора можно интерпретировать как кватернионы. В частности, ква-тернионный элемент орбиты А и сопряжённый к нему кватернион А будут иметь вид
А=Ао +JiA i +/2-^2 i A =Aq ]\АI у2^2 j^A"} • (3.1)
Трёхмерные вектора можно интерпретировать как кватернионы с нулевой скалярной частью. Тогда всё содержание п.п. 1 и 2 можно изложить с использованием кватернионов и операций над ними. Кватернионы V, U, W можно представить в виде
V=A»jM, W=A»ji»B, (3.2)
где символ • обозначает кватернионное умножение. Кватернион К и скалярное произведение векторов (А, В ) можно представить в виде
tf=vect( V»W)d2, (A,B) = sca\(A»B\ (3.3)
где seal (...) и vect (...) - обозначают скалярную и векторную части кватерниона соответственно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в теории орбитального движения искусственного спутника. I, II // Космические исследования. 1992. Т. 30, вып. 6. С. 759 - 770; 1993. Т. 31, вып. 3. С. 3 - 15.
2. Stiefel E.L., Scheifele G. Linear and Regular Celestial Mechanics. Berlin : Springer, 1971.
3. Сапунков Я.Г. Применение KS-переменных к задаче оптимального управления космическим аппаратом // Космические исследования. 1996. Т. 34, вып. 4. С. 428 - 433.
УДК 301.51.17.07.05
О. М. Сапункова
ПРИМЕР МГД-ТЕЧЕНИЯ С ДВУМЯ ХАРАКТЕРНЫМИ СКОРОСТЯМИ
1. Пусть две плоские струи идеальной плазмы с общей линией симметрии Ох движутся навстречу друг другу в магнитном поле, силовые линии которого параллельны линиям тока.
Считается, что движение установившееся, адиабатическое, внешнее электрическое поле отсутствует, энтропия постоянна во всём потоке. Для магнитного поля выполняется условие rot[v(l-s)] = 0, где v - вектор скорости плазмы,
s = s0(\-if (1)
- число Альвена,
Sc^H^po , (2)
ц-магнитная проницаемость, к= Н/(pv) = const, Я - напряжённость магнитного поля, р - плотность, ро - плотность в точке остановки, т = (v/vraax)z, vmax-максимальная скорость, (3 = (у-1)"', у - показатель адиабаты.
Если so S 1, то рассматриваются дозвуковые струи, а при s0 > 1 рассматриваются струи с догиперкритическими скоростями.
Вдоль оси Ох слева направо движется струя плазмы, которая на бесконечности имеет ширину 2h\, скорость Vt, плотность pt, а справа налево движется струя плазмы с соответствующими значениями 2h2, V2, р2 на бесконечности. После соударения образуются две симметричные струи, направления которых в бесконечности составляют углы ±0О с осью Ох. Значение Э0 определяется из уравнения импульсов:
