CC BY
15
движения границы раздела фаз и свободной поверхности графита при следующих значениях параметров:
ив/и.=2,а22/а* =13.18, к21кх = 0.1, /г0// = 0.4, к = 100.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Самарский А. А., Вабкщевич П. Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едито-риал УРСС, 2003. 784 с.
УДК 533.6.011
Е. О. Немцова, И. А. Чернов
СТРУКТУРНАЯ ФУНКЦИЯ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ КВАЗИТРАНСЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ
При сверхзвуковом течении около крыла, передняя кромка которого имеет угол стреловидности, близкий к углу Маха, компонента скорости потока, нормальная к кромке, близка к скорости звука, В результате проявляются свойства трансзвукового течения. При изучении конических течений около треугольного крыла используют рассмотрение течения в плоскости, перпендикулярной скорости набегающего потока, где возникает система двумерных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа. Обсуждается однопараметрический метод построения её частных решений, описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).
Рассмотрим систему уравнений для компонент скорости в за-
висимости от координат (х, у)
(Аи + В х + К)их + уу + Си = 0, иу-ух=0 (А,В,К,С = сопв!). (1)
Здесь:
1) в случае классических трансзвуковых плоскопараллельных течений [1, с. 43]
/ ? \'2,ъ
Л = -(у + 1), В = 0, К = [\-М^) - параметр трансзвукового подобия,
С = 0; (2)
2) для квазитрансзвуковых конических течений [1, с. 356]
Л = -(у + 1)М^/р2, В = 2Л, К = 0, С = -1; (3)
3) в теории коротких волн [2, с. 189]
А = 2, В = -2, К = 0, С = 1. (4)
Система (1) эквивалентна одному уравнению для и = и(х,з>)
[_2(Аи + Вх)их+Си\=и^: (5)
Рассмотрим однопараметрический метод, в котором переменные (м,у) представляются как функции где р — это параметр
х = х(р,у), у = у, д/дх=>(1/хр)д/др, д/ду=>д/ду-[ху/хр)д/др.
Тогда уравнение (5) принимает вид
д_
др
уАи + Вх + х2^ир
-(Си-хуиу)
д(хриу-хуир)
ду
Введём обозначение
2Вх-2Ли + х
О
(6)
(7)
(8) (9)
По [3] это - структурная функция для уравнения (5). Из (9) легко найти зависимость и(р,у) через 5(р,у) и х{р,у). Уравнение (8) принимает вид
Э(5"Р+ (С" - ХУПУ )) _ д{хриу - Хуир)
(10) (11)
д р В у
Рассмотрим класс частных решений для (5) в виде
5 = * = *О {Р) + Х\{Р)>' + Х{Р)У2 -
Тогда и(р,у), у(р,у) принимают форму
и = и0(р) + и, (р)у + и2(р)у2,
у = у[у1(р) + у2(р)у + у3(р)у2). (12)
В случае классических трансзвуковых течений (2) и в теории коротких волн (4) решения вида (12) обсуждались в [2, 3]. Коэффициенты в (11) и (12) взаимозависимы:
и2(Р) = Т~Л~2Вх2 + ¿0*2 + 4*г). 2 А
Щ(Р) = Сад' - 1Вх\ + 4*1*г). 2 А
1 2
Чо(р) = ^Г7^охо+х1 ~2Вхо)- (13)
2 А
Решения (11), (12) описываются нелинейной системой ОДУ
(я0и2 +Си2- 4х2и2 )р = 6х'2и2 - 6х2и2, ■ (Сих + - 2х]и2 - 2х2их)р - -2ххи2 + 2*2«! - 4х2и[ + 4х\и2, (14)
(Си0 + - ххщ)р = -ххи[ + 2х'0и2 - 2х2и'0 + х[щ.
Общий порядок системы равен 9. Система (14) эквивалентна системе ОДУ в нормальной форме для коэффициентов, определяющих скорости (и, у), вида
у0 = кщ + + си0Х] + ¿м,х0 + аи0щ,
у, = 2(х2у, + у2х, + ки2) + ( 2х2«0 + м,х|)с + («,х1 + 2и2х0)Ь + ^2 и0и2 у2 = (2х2М] + и2х,)с + 4х2у2 + Зу3х, + (х2щ + 2и2х])Ь + Защи2, у3 = 2^(с«2 + Зу3 + Ьи2)х2 + аи2 ],
и0 = щх^ — У| — си0, х0 = к + X) + Ьх0 + аи0,
их = 2^и2х] - + х2и] ) - сщ, х, = (Ь + 4х2)х] + ¿ш,
и2 = 4х2и2 - Зу3 - си2, х2={Ь + 4х2 )х2 + аи2.
Эта автономная система ОДУ имеет множество решений (оо9), которые могут быть положены в основу аналитического изучения важных краевых задач аэродинамики, в том числе с ударными волнами, в соответствующих теориях (2), (3), (4). Пример подобного изучения приведён в [2].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Коу.ч Дж., Кук Л. Трансзвуковая аэродинамика / Пер. с англ. М.: Мир, 1989.
360 с.
2. Шиндяпин Г. П. Построение аналитических решений системы дифференциальных уравнений Заславского - Гриба в теории коротких волн // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. С. 186 - 189.
3. Севастьянов Г. Д. Структура элементарных околозвуковых решений // Аэродинамика. Нелинейные проблемы: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. Вып. 14(17). С. 109-117.
УДК 301.15.15.07.02
Я. Г. Сапунков
ЭВОЛЮЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В ОГРАНИЧЕННОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ ТРЁХ ТЕЛ*
В работе [1] для ограниченной задачи трёх тел в кватернионных элементах орбиты получены двукратно осредненные уравнения движения космического аппарата (КА) вокруг центра притяжения с учётом возмущающего воздействия от третьего тела, движущегося по эллиптической орбите с произвольным значением эксцентриситета. Но при осреднении
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 02-01-00988).
