Построение законов оптимального изменения вектора кинетического момента динамически симметричного космического аппарата Текст научной статьи по специальности «Математика»

Определена граница существования волнового процесса и его прекращения вследствие диссипации механической энергии. Получены точное общее представление плоских волн, которое можно рассматривать как обобщение импульса Берлаге, и выражение тензора напряжений для случая плоских волн.

Определены границы основных измеряемых параметров модели, определяющие особенности волнового движения: диапазон изменения скорости распространения волн в резервуаре (0 < V < (A. + 2ji)/c), влияние вязкости среды на затухание волн, влияние частоты и скорости на волновое число, важное для представления движения в форме бегущих или стоячих волн при прикладном использовании модели.

Заметим, что скорость в вязкоупругой среде (V) уменьшается не только за счёт увеличения вязкости среды, но и за счёт времени дисперсии волн. Вариацией их значений можно получить любую скорость V (О < V < (А. + 2|i)/c) вплоть до близкой к нулю, т.е. получить отсутствие волнового движения в вязкоупругой среде или, иными словами, полное отражение от границы. Этим объясняется в рамках созданной модели появление феномена «яркого пятна» на сейсмограмме.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Freudental A.M., Geiringer Н. The mathematical theories of the inelastic continuum. N.Y.: Springer-Verlag, 1958.

УДК 531.389, 629.782 О. В. Зелепукина, Ю. Н. Челноков

ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ ОПТИМАЛЬНОГО ИЗМЕНЕНИЯ ВЕКТОРА КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

1. Уравнения движения. В случае использования в качестве управления ориентацией космического аппарата (КА) вектора кинетического момента уравнения движения динамически симметричного КА, записанные в базисе Y*, вращающемся с абсолютной угловой скоростью, колли-неарной вектору кинетического момента, имеют вид

I = (1/(2/1))* ° Ly. , ё = ((Л - C)/(AC))L3, A,=z°p, p = cos(e/2)-/3sin(e/2), Lx ° z = z ° LY* = z ° p ° LY ° p. (1) Здесь А. = X0 + Xj/'i + X2/2 + X3/3, z = z0 + zj/j + z2i2 + z3/3 - нормированные кватернионы поворотов, характеризующие ориентацию КА и базиса Y" в инерциальном базисе X; А, С - моменты инерции К А относительно осей OY\ (OYi), ОУ3 жёстко связанного с ним базиса F; L - вектор кинетическо-

189

го момента KA, запись вида ац означает отображение вектора а на базис

т|, (/л = X,Y,Y ), ¿3 - проекция вектора L на ось ОУъ ;г,, г2, г3 - векторные мнимые единицы Г амильтона, кватернион р задаёт вращение базиса У* вокруг оси симметрии OY3 KA (е - угол поворота вокруг этой оси), знак о означает кватернионное умножение, волна сверху означает сопряжение кватерниона, верхняя точка - дифференцирование по времени t.

2. Постановка задачи. Требуется построить ограниченное по модулю управление Ly„, переводящее КА, движение которого описывается уравнениями (1), из заданного начального состояния t = 0, z = Х0, е = е0 = О в конечное t = T,z= z(T), е = s(T), удовлетворяющее соотношению

vcct(?(7") о Хг о {cos(e(7")/2) - i3 sin(e(r)/2)})= 0 (2)

т

и минимизирующее функционал Jk = j(a, +a2Lk)dt, к = 1,2, где

о

О<Z,<Lmax, L = \L У.\ = Щ; а,, а2 -const>0.

Полагается, что заданы начальные значения фазовых координат z¡,(i = 0,3), е управляемого КА, определяющие начальное угловое положение КА в инерциальной системе координат X, а конечные значения фазовых координат принадлежат многообразию, задаваемому уравнением (2); Хо, А.т - заданные значения кватерниона ориентации к в начальный и конечный моменты времени соответственно, т.е. Ц0) = А.0, Х(Т) = ХТ.

Конечное время Т не фиксируется и подлежит определению в результате решения задачи.

Поставленная задача актуальна для высокоточных систем управления ориентацией КА с управляющими маховиками (гиродинами).

3. Необходимые условия оптимальности и первые интег ралы. Поставленную задачу будем решать на основе принципа максимума Г1он-трягина. Система уравнений для сопряжённых переменных имеет вид:

у =(l/(2A))\\¡ ° Ly,, р = р0= const. Здесь vj7 = у0 + 1|/,г'| + Ч72г2 + Vзгз> Р ~~ сопряжённые переменные, соответствующие фазовым переменным z и е .

Векторные функции управления, условия трансверсальности и первые интегралы краевой задачи имеют вид соотношений (3 - 5), (6) и (7) соответственно

LY.=LopñY./\ñy.\, (3)

О, если \пу*\<2Аа2, ¿op=-VIе[0,¿maJ, если |«г»| = 2Ла2, /e[f,„t2.] (для У,), (4) Imax, если \ñyt\>2Aa2,

Lop = min^a,/а2, Lmm} (для J2), г0{Т)щ (Г) + 2,(7>,(Г) + 22(7>2(Г) + 23(Г)ч/3(Г) = 0, j р0=[г0(Г)уз(Г)-2з(Пм/0(П + г2(Г)У1(Г)-г,(Г)у2(Г)]/2;| Я =-(a, +a2Iop) + Ij°,p-пу,/{2А) = 0 (для J,), Я=-(a, + a2Lyt ■ L°*) + Zy°p • nY, j{2A) = 0 (для J2), vj7 о z = const.

(6)

(7)

Здесь «у» = уес^г ° ц/) + г3 (2р0 (А - С)/С), /?}/* — М] /] + 2 + «з'з • Особый режим управления не исследуется.

4. Решение задами. Полученные краевые задачи, описываемые системами нелинейных дифференциальных уравнений девятого порядка, можно свести к интегрируемой системе уравнений

I = (1/(2 А))г о L*?, ё-((А - C)/(AC))L, Пу, = ((А - С)/A2 )nl0Ly:? х /3.

(8)

Последнее векторное уравнение этой системы интегрируется независимо от первых двух. Действительно, можно показать, что с учётом структуры оптимального управления (3 - 5) уравнение для переменной Пу, принимает вид: пу, = <2(п'21] — и*г2), где постоянный по величине коэффициент <2 принимает одно из следующих значений в зависимости от закона изменения управляющей вектор-функции:

|((Л-С)«30)/(4Л3а2), если = пу, /(4Ла2),

{((¿ор)2(Л - С)из0)/[2Л3(а, + а2аор)к)], (к-1,2) для остальных ¿ор.

Решением уравнения пу, = (2(п21\ ~ п\ '2 ) является

пу. = D{i^\n{Qt + Kq) + /2cos(0? + к0))+ /'зи3*0 , D = д/и*,

10

+ п

20 >

к0 =arctg(M*0/«20), «3*0 =((2Л)/С)р0, «*0,и20,и

30

= const.

•op

Использование этого решения, уравнения = ц^у. 3+/.3 I и

новой переменной г/ позволяет свести интегрирование первых двух уравнений системы (8) к интегрированию линейного кватернионного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

( -Л / \2 -пп Л

Q

2

¿ор

2Л

+

2/4

и = 0, Z = и О cos— + U sin

1 2 3 2

Для полного решения краевых задач необходимо в дальнейшем аналитически или численно определить постоянные интегрирования и10, п20,

191

и3о и вРемя Т, используя построенные аналитические решения дифференциальных уравнений краевых задач и заданные краевые условия. В общем случае это достаточно сложная задача.

• »ор

В частном случае, когда п30 = 0, Ь2 = О, Q = О, из второго уравнения системы (8) находим, что е = е0 = 0, т.е. u=z^X. Поэтому с учётом граничных условий общее решение уравнений для фазовых переменных краевых задач оптимизации примет компактный вид

Г-Т rn,Lt , Хг-Х0соз[(/Т)/(2Л)] Lt

Л — Л.А COS--1--Р-=-sin—,

2 A sm[(LT)l(2A)] 2 А Uа, /а7, если =пу,/(4Аа2),

[Lap (г = 1,2) в остальных случаях.

5. Заключение. Дана новая постановка задачи построения оптимальных законов изменения вектора кинетического момента динамически симметричного КА, использующая удобные кватернионные модели углового движения КА. Задача актуальна в связи с созданием современных систем ориентации КА, использующих в качестве исполнительных устройств гиродины. Сформулированы краевые задачи оптимизации для двух функционалов качества, найдены первые интегралы задач. Построены общие аналитические решения полученных нелинейных дифференциальных уравнений краевых задач, имеющих размерность, равную девяти.

УДК.539.3

М. А. Ковырягин

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМ ПОВЕДЕНИЕМ ДВУХСВЯЗНЫХ ПОДКРЕПЛЁННЫХ ПЛАСТИН НЕКРУГОВОГО ОЧЕРТАНИЯ

Управление динамическим поведением элементов конструкций в виде пластин различной формы является актуальной задачей, привлекающей внимание исследователей как в России [1, 3, 5], так и за рубежом [2, 4, 6].

При решении таких задач придерживаются следующих принципов управления для смешанных начально-краевых задач теории тонких пластин малого прогиба [2]: а) управление с минимальным временем, б) возбуждение с минимальным временем, в) управление на фиксированном временном интервале.

Рассмотрим случай в) для пластинки с круговым внутренним контуром L\, заданным уравнениями

х - Rf cosS, у = .ft] sin Э, (1)

а внешним L2 - некруговым, описываемым уравнениями