Оптимальное управление ориентацией космического аппарата Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

УДК 629.7

М. В. Левский

НИИ космических систем Сергиев Посад

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОРИЕНТАЦИЕЙ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

Приводится аналитическое решение задачи управления пространственным разворотом космического аппарата за заданное время с минимальным нагружени-ем его конструкции. Момент начала торможения определяется исходя из принципов терминального управления, что существенно повышает точность приведения аппарата в заданное положение.

Введение. Исследованию задачи оптимального управления переориентацией твердого тела посвящено множество публикаций, в которых приводятся различные постановки задачи и используется широкий спектр методов ее решения. Однако динамические нагрузки, возникающие во время пространственного разворота космического аппарата (КА), прежде не учитывались. Нахождению оптимального режима пространственной переориентации КА с минимальным нагружением его конструкции с учетом влияния кинетического фактора и посвящена настоящая статья.

Уравнения движения и постановка задачи. Движение связанного базиса Е относительно опорного базиса I зададим кватернионом Л [1]. Будем считать, что опорной является инерциальная система координат (ИСК). В этом случае уравнения углового движения КА имеют следующий вид:

м1 = 1 +(( - /2 )ю2 юз, м2 = ш 2 +(- )®1®з, м3 = /3со 3 +(/2 - )®1®2;

2Xо = — X2Ш2 — , 1 = XоШ1 + X2Ш3 — X3Ю2;

2 = Хо®2 + Х3®1 — Х1Ш3, 2Х3 = XоЮ3 + Х1Ш2 — X2,

(1)

где — главные центральные моменты инерции КА; Мг — проекции главного момента внешних сил на главные центральные оси эллипсоида инерции аппарата; — проекции вектора ш абсолютной угловой скорости на оси связанного базиса Е, образованного главными центральными осями эллипсоида инерции КА, г = 1, 2, 3; Xj, ] = 0, 1, 2, 3, — компоненты кватерниона Л, определяющего ориентацию связанных с КА осей относительно ИСК, причем

X2 + X2 + X2 + X2 = 1.

Граничные условия положения КА и его угловой скорости зададим в следующем виде:

л( 0) = Л н, ю(0) = Шс; (2)

Л(Т ) = ЛК, ш(Т) = шт, (3)

где Т — время разворота; кватернионы Лн и Лк, задающие ориентацию связанных с КА осей в начальный и конечный моменты времени, известны априори.

Изменение ориентации КА происходит путем воздействия на него моментов Мг . Считаем, что при управлении движением КА существенным является ограничение скоростных параметров движения Qj. Возможна следующая постановка задачи оптимального управления разворотом: требуется перевести связанную с КА систему координат ÜXYZ из начального углового положения Лн = Л(0) в требуемое конечное положение Лк = Л(Т) в течение заданного

времени Т =Тз с учетом дифференциальных связей (1). При этом значение кинетического

2 2 2

фактора Q = K1q1 + К2ш2 + К3ш3 (где К1, K2, K3 — постоянные положительные коэффициенты), характеризующего степень нагружения КА при его вращении, должно быть минимальным:

222 H = max (K1q1 + К2ш2 + К3ш3 ) ^ min.

0<t <Т

Прямыми методами решить эту задачу достаточно трудно. Полагаем, что время на переходных участках разгона и торможения КА мало по сравнению с временем разворота, и рассмотрим задачу оптимального разворота КА в импульсной постановке, т.е. кинематическую задачу разворота. В качестве оптимизируемого функционала примем величину

Т

G = 2{f0dt + G0, G0 = G(0) = К1Ш20 + ^0 + К3ШЗ0; (4)

/0 =

^со 1ш1 + К2со2ю2 + К3со3ш3, если ^К1 шг-со 1 > 0;

г=1

3

0, если ^К,шг-соI < 0. . г=1

Задачу оптимального управления сформулируем следующим образом: необходимо перевести КА из начального углового положения в конечное (см. формулы (2), (3)) в соответствии с уравнениями (1) при условии, что время маневра ограничено величиной Тз, при этом значение функционала О (а значит, и Н) должно быть минимальным.

Решение задачи оптимального управления. Наличие интегрального показателя О позволяет применить принцип максимума Понтрягина и найти необходимые условия оптимальности [2]. Введем сопряженные переменные щ j = 0, 1, 2, 3, соответствующие компонентам ^ кватерниона. Переменная /0 соответствует критерию оптимальности (значению функционала О). Функция Понтрягина (гамильтонова функция) задачи определяется как

Г = - /0 + г,

где

Г£ = -0,5щ0 (?11ю1 +^2ш2 +^3ю3)+ 0,5щ (^0С +^2ю3 -^3ю2) + +0,5щ2 (0ю2 + ^3Ю1 -^1юз)+ 0,5щ3 (Л,0ш3 +^1ю2 -А,2Ю1).

Уравнения для сопряженных функций щ имеют вид щj = -дГ/дЛ,j , j = 0, 3 .

В рассматриваемой задаче оптимального управления разворотом КА значение функционала качества О не зависит от позиционного координат д/0 = 0.

Сопряженная система дифференциальных уравнений может быть записана следующим образом:

V0 =- 0,5 ((1 + V2 Ю2 + V3®3 ) V = 0,5 (vo Ю1 + V2 ю3 -V3®2 ) , V2 = 0,5 (Ю2 +V3®1 -Vl®3 ) V3 = 0,5 (Ю3 +Vl®2 -V2Ю1 )•

В результате преобразований функции Г получим

Г = 5®1 ( V1 + 2 - VV3 - ^2 V3) + 0 5ю2 (^0 V2 + VV3 - ^2 V0 - ^3 V1) + + 0,5Ш3 ( V3 2 V1 -^3V0 2 ) = 0,5 (ю1 А + ю2р2 + ю3р3) ,

где

р = ^0 V1 + ^3V2 - 0 - ^2 V3 ;

р2 = ^0 V2 + ^1V3 - ^2 V0 - ^3V1;

р3 = ^0 V3 + ^2 V1 - ^3V0 - 2 •

Для понижения порядка системы достаточно предположить, что р1, р2, р3 являются проекциями некоторого вектора p на оси связанного базиса E. Из уравнений (5) следует, что совокупность переменных У0, V1, V2, V3 обладает свойствами кватерниона Y, для которого

справедливо соотношение 2*Р = Y ° ю. Тогда вектор р может быть записан в кватернионной форме: p = vect (Л° Y), здесь vect — операция выделения векторной части кватерниона, а Г = -юр/2.

Изменение вектора р определяется решением системы уравнений

Р1 = ю3Р2 - ю2Р3 , Р2 = ю1 Р3 - ю3P1, p3 = ю2Р1 - ю1 Р2 (6)

или в векторной форме

р = - юр. (7)

Полученное дифференциальное уравнение (7) отражает вращение вектора р с угловой скоростью -ю относительно связанного базиса Е, который совершает угловое движение относительно опорного базиса I с угловой скоростью ю. В результате вектор р является неподвижным в опорной системе отсчета. Так как I р | = const , полагаем в дальнейшем вектор р нормированным: I р | = 1.

Таким образом, задача определения оптимального управления сводится к решению системы уравнений углового движения КА и уравнений (6) при том, что управление выбрано исходя из условия максимизации гамильтониана. Сопряженная система (5) заменяется системой уравнений (6), характеризующих поведение вектора р относительно связанных осей. Семейство решений р(^) определяется значениями Лн и Лк [1]:

р = Л о cE ° Л, cE = Лн о р(0) оЛн = const.

Граничные условия Лн, Лк и условия максимума функции Г определяют искомое решение ю(^). Для того чтобы КА имел требуемую ориентацию Л(Т) = Лк в конечный момент времени t = T, необходимо оценить вектор cE (или значение вектора р в момент времени t = 0) исходя из получающихся решений системы (1).

Управляющими переменными (управлениями) будем считать проекции угловой скорости шг-, i = 1, 3 , а моменты М-, необходимые для поддержания оптимального режима вращения, рассчитываются согласно динамическим уравнениям Эйлера. Исходная задача оптимального управления сводится к нахождению функции ю(0 в интервале между участками разгона и торможения, минимизирующей функционал (4), в котором за G0 принимается значение функционала G на момент времени, соответствующий окончанию набора угловой скорости (начало участка номинального движения), и с этого же момента начинается интегрирование функции f0.

Вследствие того, что f > 0, условие оптимальности (максимум функции Г) будет соблюдаться при fo = 0, при этом G = const. Оптимальный разворот КА с минимальной степенью динамического нагружения Н на этапе между моментами разгона и торможения происходит при Q= const. Необходимое условие оптимальности представляется как Г ^ max.

Использование уравнений (1)—(3), равенства Q = const = Q0 и требование максимальности функции Г приводят к решению замкнутой задачи определения условного экстремума. Значение Q0 должно быть таким, чтобы маневр переориентации КА был завершен в установленное время Тз. Для получения уравнений, характеризующих оптимальное решение, введем новые

переменные: qi =*Jk~ 'и № = Pi/sfK, i = 1, 3 , тогда rk = 0,5(q1^1 + q2^2 + #3Мз). Очевидно,

rk ^ max при условии q12 + q22 + q32 = Q0 , когда векторы q = {q1, q2, q3} и д = (щ, Ц.2, №3} колли-неарны. При этом выполняются соотношения

• Pi

4l 4K ^ p2jK1 + P22/K2 + р2/Кз Оптимальное движение КА полностью определяется системой дифференциальных уравнений

р + шр = 0, ш1 =--^P (8)

Ki\P\ /к + P22/K2 + Рз2/Кз

при обеспечении краевых условий Л(0)=Лн, Л(Т)=Лк для решения уравнений (1).

Задача построения оптимального управления заключается в нахождении такого значения вектора р(0), при котором в результате движения КА согласно уравнениям (1), (6), (8) выполняется равенство Л(Т) = Лк. Общее решение приведенной системы уравнений осуществить практически невозможно. Трудность заключается в определении граничных условий р(0) и р(Т), связанных соотношением р(Т) = Лк о Лн о р(0) оЛн о Лк = Лр о р(0) оЛр, где

Лр = Лн о Лк — кватернион разворота.

222

При искомом решении ш(^) на участке номинального движения К1ш1 + К2ш2 + К3ш3 = = R = const, К12ш 12 + К22Ш22 + Кз2шз2 = D = const .

Оптимизация сводится к минимизации величины Q0 (при условии, что через время Т=Тз КА достигнет положения Лк). Фактическая ограниченность управления скоростью ш t (или

моментом Mi ) качественно не меняет характера траектории движения Л(^). Основное соотношение для рассмотренного разворота сохраняется, т.е. ш1 = ¿(^/К- , где b(t) — скалярная функция времени (причем в интервале между моментами разгона и торможения b = const).

Для симметричного распределения нагрузок (К2 = К3) решение поставленной задачи может быть найдено в аналитическом виде. Оптимальное движение КА соответствует его одновременному вращению вокруг своей продольной оси ОХ и вокруг некоторого вектора п, неподвижного в инерциальном пространстве и составляющего с продольной осью КА расчетный угол д. Для случая регулярной прецессии справедливо

ер0Р/2 0 ge1a/2 = Лн о Лк,

где р0 = р(0); е1 — орт продольной оси КА; a, в — углы поворота КА вокруг своей продольной оси и вокруг вектора р соответственно.

Оптимизация заключается в определении таких значений углов д, a и в, при которых значение кинетического фактора Q в процессе разворота минимально [3].

Необходимое для синтеза оптимального управления решение р(^ имеет вид

p1 = pio = cosd; p2 = sind sin( a t +a); p3 = sind cos( a t +a), a = arctg (p20/p30).

Программные значения проекций вектора угловой скорости ш* на связанные оси следующие:

ш1* = ш10 = а + ß cosd; ш2* = (3p2 = (3 sind sin( a t + а), ш3* = ßp3 = (3 sind cos(a t + a).

Требуемый программный разворот КА из начального Лн в заданное Лк угловое положение за время T обеспечивается путем поддержания программной угловой скорости вращения КА с высокой точностью. Наилучшим является применение систем, построенных в соответствии с принципом управления по ускорению [4].

Практическое значение имеют задачи, в которых граничные значения ш0 = ют = 0. На участках набора требуемой угловой скорости и ее гашения значение момента M должно быть максимально возможным, а вращение КА происходит с максимальным угловым ускорением. Чтобы реализовать управление по описанному выше способу, необходимо знать величину угла у разворота, который предстоит совершить, а также текущие значения углового рассогласования ф и угловой скорости ш во время выполнения этого разворота. Тогда система ориентации сможет выработать в нужный момент команды на прекращение разгона и начало торможения с таким расчетом, чтобы к моменту поворота на угол у КА был полностью заторможен (ш = 0). Для обеспечения условия терминальности (требования окончания разворота строго в назначенное время T) приходится несколько увеличивать расчетную скорость разворота. Полагая ограничение управлений в виде \l\ < m (здесь L и т — значение кинетического момента КА и максимальное значение управляющего момента) и считая линейным закон изменения угловой скорости на этапах разгона и торможения, получаем условие начала торможения:

т

jtw + >/ш2 +ш2 )) +(( + ^ш2 +ш2 )т/2= 0, 0 =|a + ß cos d|+ ß sind,

0

где т = (T ->/T2 - 4S / m ^2 — время разгона (и торможения), S =

=ylJ2(a + ßcosd)2 + J2ß2sin2d .

Критерий формирования сигнала на торможение определяется выражением

ш11^ш2 +ш2 )т = 20ф/у,

где у = 2arccos(sqal (Лн о Лк)), ф = 2arccos(sqal (Л о Лк)), здесь sqal — операция выделения

скалярной части кватерниона.

Расчетные значения управляющих моментов Мг определяются исходя из условия движения КА по заданной кинематической траектории согласно программе управления ш*(^.

Пример математического моделирования. Приведем решение задачи оптимального управления программным разворотом КА при минимальном значении кинетического фактора Q. В результате решения кинематической задачи ориентации по переводу КА из положения Л(0) = Лн в положение Л(Т) = Лк (задачи оптимального разворота в импульсной постановке) было получено расчетное значение вектора р0. Для K1 = 0,31; K2 = 1,67; K3 = 1,61, Лн = {1, 0, 0, 0}, Лк = {0,5000; 0,6548; 0,5200; 0,2248} и Ш0 = шт = 0 определено р0 = {0,2599; 0,4118; 0,8734}. Время разгона и торможения т = 50 с. Результаты математического моделирования процесса разворота при оптимальном управлении, минимизирующем динамические нагрузки, представлены на рис. 1 графиками изменения угловых скоростей в связанной с КА системе координат ш^), ш2(^, ш3(^ по времени. На рисунке отчетливо видны три характерных этапа —

разгон (набор угловой скорости), движение КА с постоянным по критерию Q динамическим нагружением (£ = Qmax) и торможение аппарата (гашение угловой скорости до нуля). На рис. 2 приведена динамика изменения координат р^), р2(0, Рз(0 во времени, а рис. 3 иллюстрирует поведение компонент кватерниона Л(^, определяющего текущую ориентацию КА в процессе совершаемого маневра: ^о(0, ^(0, ^2(0, ^3(0. В отличие от переменных юi переменные р^ и Xj являются гладкими функциями.

ю

240 Рис. 3

Заключение. Итак, рассмотрена и решена задача оптимального пространственного разворота твердого тела из его начального углового положения в требуемое конечное. Время разворота считается известным. Для оптимизации программы управления минимизируется функционал, отражающий степень нагружения конструкции. На основе метода кватернионов найдено аналитическое решение поставленной задачи. Для частного случая, когда КА имеет ось симметрии, представлено полное решение в замкнутой форме. Учет ограниченности

36

Б. А. Крашенинников

управляющих моментов производится выбором момента, с которого начинается торможение, по измерениям текущих параметров движения. Эффективность разработанного способа управления подтверждена данными математического моделирования.

Предложенный способ управления переориентацией КА позволяет значительно уменьшить динамические нагрузки, вызванные вращением КА около центра масс, что особенно важно в случаях, когда кинетический фактор оказывается определяющим для штатного функционирования КА и его бортовых систем.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. 320 с.

2. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. 408 с.

3. Пат. 2153446Ш, МКИ7 В64 в1/24, в06 в7/66, 7/122. Устройство определения параметров регулярной прецессии (варианты) / М. В. Левский // Бюл. 2000. № 21.

4. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука, 1988. 328 с.

Рекомендована Институтом Поступила в редакцию

12.12.06 г.

УДК 62-50

Б. А. Крашенинников

Балтийский государственный технический университет „Военмех" им. Д. Ф. Устинова

Санкт-Петербург

АКТИВНОЕ ОПТИМАЛЬНОЕ ДЕМПФИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ

КУЗОВА АВТОМОБИЛЯ

Рассматривается задача автоматического управления динамикой колебаний кузова автомобиля. Представлены решения задачи оптимального управления силой воздействия на кузов с использованием различных критериев. Показана возможность формирования на борту в реальном времени оптимальных значений силового воздействия для обеспечения плавности хода.

Автомобиль является современным средством передвижения, эксплуатация которого производится в различных условиях. В случае вертикальных колебаний вследствие неровностей дорожного покрытия водитель не может самостоятельно вмешаться в управление движением автомобиля [1—3]. Усложнение математических моделей движения автомобиля в целях повышения уровня их адекватности реальному процессу связано с трудностями применения к ним современных методов исследования. В первую очередь, это касается проблемы оптимального управления автомобилем, так как реализовать такой алгоритм возможно лишь для простейших моделей. С другой стороны, управление автомобилем как сложной системой можно реализовать с помощью адаптивной информационной модели, используя алгоритмы на основе теории самоорганизующихся оптимальных регуляторов с экстраполяцией (СОРЭ) Красовского [4—6]. При этом в критерии качества вводятся заданные значения выходных показателей исследуемой системы, найденные, например, с помощью решения задачи оптимизации динамики простейшей модели.