CC BY
33
УДК 624.04
М.А. Ковырягин, С.В. Никулин, И.Г. Овчинников
ЗАДАЧА СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ МОСТОВОЙ КОНСТРУКЦИИ
Поставлена задача синтеза регулятора напряженно-деформированного состояния элемента мостовой конструкции в виде пластинки сложного очертания. Показана высокая эффективность работы регулятора на примере импульсного воздействия. Приведены результаты численного расчета для конкретных размеров конструкции.
Наряду с управлением прочностью мостовой конструкции в целом все большую актуальность приобретают в настоящее время вопросы управления напряженно-деформированным состоянием (НДС) отдельных ключевых элементов ее, от работоспособности которых зависит жизнь всего сооружения. Теоретически и конструкционно этот вопрос разработан для вантов, балок, стержней. В настоящей статье сделана попытка теоретического осмысления вопроса об управлении НДС двухсвязных пластин. Такие элементы используются в мостовых конструкциях в качестве деталей балки пролетного строения.
Постановка задачи. Статическое нагружение конструкции предполагает обычные методы ее расчета, описанные для рассматриваемых элементов в работе [1].
При нагружении в течение непродолжительного времени экстремальными нагрузками в виде импульсного воздействия или вибрации появляется необходимость в совершенствовании конструкции с помощью системы управления [ 2,3]. Именно такую конструкцию мы будем в дальнейшем рассматривать.
Рассмотрим активную систему управления с п степенями свободы. Уравнения движения такой системы имеют вид [4,5 ] :
где
A (X ) =
в (X ) =
D (X ) =
(1)
(2)
(3)
(4)
*(і) = А(£)г(і) + В(Х)и (і) + В(Х)/(і),
" 0 I "
—м—1 (Х )к (Х) —м —1 (Х )с (Х )
" 0 ’
—м— (Х )о (Х)
' 0 ’
—м—1 (Х )
* (1 )=[*Т (і), *Т (1)] • (5)
Здесь х(і) - п - мерный вектор геометрического положения объектов; м (Х ),с(Х ) и к(Х ) - матрицы размерностью п X п, определяющие соответственно массу, демпфирование и упругость по каждому элементу матрицы х(і) в зависимости от р - размерного вектора Х , характеризующего параметры конструкции; / (і) - вектор возмущающих систему сил нагрузки; G (Х) -
матрица размерностью п X т (т < п), определяющая пространственное распределение активных элементов, которые вместе с т - размерным вектором управляющих воздействий и (і)
описывают возможности активного управления конструкцией.
Одновременно с созданием наилучшей управляющей силы учитывается поддержание значений вектора состояния Х в допустимых пределах. Таким образом, основной задачей создания оптимальной системы управления является отыскание таких Х и и (і), которые минимизировали бы интеграл вида
1
J(z,X,u) = )zTQz + UTQ2U + W(Xj^t,
(6)
где
Q =
Qo о
о Qi
(7)
0
3 *(, и ) = _[<
(9)
Здесь Ж (X) - неотрицательная функция оценки, зависящая в целом от X, а не от (. Матрицы Q0, Q1, Q2 - обычные весовые матрицы с соответствующими данной системе управления параметрами.
Решая матричное уравнение (1) при одновременном удовлетворении (6) находят г, X, и . Кроме того, величины X должны удовлетворять условию
X £ X,, (8)
где X, соответствует состоянию конструкции при статическом нагружении.
Минимизация квадратичного функционала I, заданного выражением (7), являющаяся результатом решения уравнения (1) при ограничениях (8), может быть выполнена с помощью вариационного исчисления. При этом требуется удовлетворение неравенствам, которые выполняются при минимизации функционала вида
' Qz + uTQ2u + Ж(X) +
[+Ат [ А (X ) + В (X ) + Б (X)/(Г)-г (г)]
где 1 (^) - 2п - мерный вектор множителей Лагранжа. Следует заметить, что интегрирование здесь производится на рассматриваемом временном отрезке.
Условия минимизации 3 * следующие:
6(1) 3 *= 0; (10)
6(2) 3 *> 0, (11)
где 6 - вариация. Математически очень сложно удовлетворить условию (11) второй вариации
6 ^2) 3 *. Однако это возможно в случае реальных земных условий для потенциального силового поля . Так как интеграл (6), по существу, является квадратичным критерием ошибки, то первая форма его существования будет минимумом критерия ошибки, вторая форма - минимумом
критерия энергии и третья форма - минимумом стоимостного критерия. Первая вариация 6(1)
существует относительно г,иX . Множитель Лагранжа также является переменным. При этом удовлетворяются условия существования уравнений (1).
Возьмем первую вариацию функционала (9) по переменной Лагранжа
2(6zTQz + 6uTQ2u) +1т (6г + В6и - 6г) +
+V X Ж 6X +1т (х Аг + Vx Bu +^ X В/) 6^ +
+(А6 г + В6 u + Б/ — г )1
(12)
Здесь Vx - градиент вектор - функции X. Проинтегрировав слагаемое 1т6г и перегруппировав (12), получим
6г (2Qz + А1 +1) + 6uт (2Q2U + В>т 1)
т
П+^Ж +1т ((г + VXBu + VXБ/)] 6£ + ^Ж +1т6г |0 = 0, (13)
+(Аг + Bu + Б/ — г) )1
где учтена симметрия матриц М, С и К.
Поскольку вариации г,u,X независимы, то для выполнения условия (13) необходимо удовлетворение одновременно следующим четырем условиям за время Т:
Аг + Bu + Б/ — г = 0; (14)
2Qz + Ат1 +1 = 0; (15)
2Q2u + Bт 1 = 0; (16)
VXW + 1т (VXАг + VXBu + VXБ/) = 0. (17)
Равенства (14-17) - система четырех уравнений с четырьмя неизвестными г(^),u (^),X и
1 (^). Причем если предположить, что значение вектора г известно при статической нагрузке в момент времени 1=0, то тогда 6г(0) = 0 и уравнение (13) разрешимо относительно 1 при усло-
вии 1 (Т) = 0 . Другие виды граничных условий для ъ и 1 также могут быть реализованы в зависимости от объектов управления.
Решение задачи. Система дифференциальных уравнений (14-17) нелинейна и может быть решена только численно. Одним из возможных вариантов является разбиение процедуры решения на две части. Во-первых, решается задача отыскания оптимального управления путем удовлетворения уравнениям (14-17) при фиксированном векторе параметров конструкции Xк . Затем процедура повторяется с измененными параметрами Xк до тех пор, пока не будет достигнут оптимум. Так процесс продолжается для к=1,2,3,... Первая итерация при X1 может быть выполнена при Xs согласно условию (8). Изложенная процедура решения является поэтому по-
следовательностью оптимизаций активного управления связанной со структурной оптимизацией. Конструкционная переменная определяется в виде
X к+1 = X к - акЬк, (18)
где Ь’к =(Vx 3 ')* является градиентом функции Лагранжа, которая определяет направление изменения параметра; ак - амплитуда. Градиент Ь^ может быть найден непосредственно из уравнения (12) в виде
Т
ЬX = \^^ +1Т (( + V ^Ви + VxО/)} . (19)
о
Другим возможным способом оптимизации является метод крутого спуска [6], когда управляющие и конструкционные параметры оптимизируются одновременно с использованием выражений (18) и
ик+1 = ик - акЬки , (20)
где Ьи - может быть определено из выражения
Ьи ^иГ= 2£и + ВТ1. (21)
Процесс решения начинается с выбора первоначальных значений и и X ; г и 1 определяются затем при решении уравнений (14-15). Далее отыскиваются Ь^ и Ьи из (19, 21).
Следующим шагом является выбор амплитудного значения ак определения ик и Xк из соотношений (18), (20). Описанная процедура продолжается до тех пор, пока не будут удовлетворены условия ^ 3*|| = 0 и IVX3*|| = 0 с требуемой степенью точности.. В обоих предложенных
здесь случаях решения необходимо создавать алгоритм для выбора амплитуды ак .
П р и м е р. Рассмотрим пример построения алгоритма активного управления напряженно-деформированным состоянием двухсвязных пластин с использованием систем автоматического управления , включающих датчики перемещений, корректирующие звенья и исполнительные устройства. Расчетная схема представлена на рис.1.
Р и с. 1. Двухсвязная пластинка с системой управления колебаниями в вертикальной плоскости: 1 - датчик перемещений; 2 - блок управления; 3 - датчик момента
Решаем задачу в линейной постановке: напряжения и деформации подчиняются закону Гука, регулятор имеет линейную характеристику. Задача управления в силу симметричного описания движения относительно одной координаты одномерна. Уравнение движения для этой системы с одной степенью свободы (СОСС) может быть представлено в виде
ту + су + ку = / (ґ), (22)
где т представляет массу одной четвертой пластики (т = М/4), к и с являются линейными
коэффициентами жесткости и демпфирования пластинки (рис.2), /(ґ)- внешнее воздействие, а
у(ґ) означает движение точки приложения эквивалентной массы четверти пластинки по вертикали.
Для определенного возмущения /(ґ) при известных структурных параметрах реакции СОСС могут быть получены 0-
пошаговым итерационным методом. Нагрузка/(ґ) складывает-
М/4
ся из статической нагрузки интенсивностью д и произвольного возмущения:
/ (t ) = д - шуг, (23 )
Р и с. 2. Эквивалентная схема
где Уg - ускорение возмущения. четверти пластинКИ
Канонический вид уравнения (22) следующий:
у + 2Xwy + ю2у = д - У§, (24)
где X и 00 коэффициент демпфирования и собственная частота рассматриваемого участка бруса соответственно.
Если к рассматриваемой СОСС будет присоединена система активного управления, то уравнения движения (24) преобразуются к виду
у+ 2X0у + О2 у = и (^ + д - уе, (25)
где и (t) - нормализованная управляющая сила на единицу массы.
Основной задачей проектирования системы управления является синтез оптимального регулятора и^), минимизирующего напряжения в брусе. Поскольку задача управления решается полностью в линейной постановке, то при выборе типа регулятора остановимся на линейном квадратичном регуляторе (ЛКР) [7]. В ЛКР регуляторе иреализует линейную функцию, зависящую от перемещения уи скорости перемещения у эквивалентной массы:
и (t ) = ёуу + ёуу, (26)
где gy и gy являются двумя константами обратной связи, которые могут быть найдены из условия минимума функционала
3 = 2 ЯgyУ^) + gyУ2 + ги ^) , (27)
2 0
где gy, gy и г - весовые коэффициенты. В (27) первое слагаемое представляет вибрационную
энергию деформации бруса, второе слагаемое является ее кинетической энергией и третье -подводимая от внешнего источника энергия управления . Минимизация (27) обозначает, что общая энергия вибрации бруса будет минимизирована с использованием минимума подводимой извне энергии управления, что является идеальным оптимальным решением.
В соответствии с [4] найдены аналитические решения, определяющие постоянные gy, gy,
gy =-ю2С?у -1); (28)
gy =-2X0^ -1), (29)
где коэффициенты 8у и 8у находятся как
_ (1у / г) (іу -1)
^ ^'4Х V + 2Х2
Подставляя выражения (30) и (31) последовательно в (28)-(29)-(26), выведем закон управления
и(ґ) = -а2 -1)у(ґ) - 2£а(* -1)у. (32)
Внося полученный закон регулирования в (25), получим уравнение движения управляемой системы:
У + 2%œsÿ y + w2 Syj = q - y g . (33)
Дальнейшими этапами проектирования управляющей СОСС, основанной на ЛКР, являются: вычисление реакции неуправляемой системы из уравнения (24) и решение вопроса о необходимости управления;
определение значений весовых коэффициентов gy, g & и r и представление в числах коэффициентов настройки системы sy и s& непосредственно из (30) и (31), если управление необходимо;
нахождение реакции системы управления и требуемые управляющие моменты соответственно из (28) и (29);
решение об изменении реакций или потребления энергии управления и , если необходимо, запуск следующего итерационного процесса.
Численная реализация примера синтеза регулятора для конструкции, изображенной на рис.1, была произведена для следующих параметров: М = 20000 Н, e = 1/7, r = 25. При этом величины e и r входят в уравнение, описывающее наружный контур пластинки [7] :
x = r (cos J + e cosmJ);z = r (sin J - e sin mJ),
где J - параметр контура.
Принципиальная схема реализации задачи синтеза регулятора с помощью программы Matlab LQR представлена на рис.3.
1 h 1
S F S
Inte g rato И Integrator
Sum
Sumí
Mux
Mux
□
T
Soope
Р и с. 3. Принципиальная схема реализации синтеза регулятора колебательного процесса
двухсвязной пластины
Схема, изображенная на рис. 3, реализует синтез регулятора для уравнений движения в форме Коши вида:
X = х2, х2 =-2000000х1 - 2000х2 + 0,04м, и =-0,005х1 - 0,0005х2. (34)
При воздействии на расматриваемую конструкцию мгновенного возмущения переходный процесс будет иметь следующий вид, изображенный на рис.4. На этом рисунке по оси абсцисс отложено время в секундах, а по оси ординат - скорость изменения координаты в м/с и собственно координата перемещения ребра жесткости из плоскости. При этом собственно перемещения практически нет, что говорит о высоком качестве регулирования.
к 10
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
Р и с. 4. Переходный процесс в пластинке
Таким образом, решена задача управления колебательным процессом двухсвязной пластинки. Полученный результат показывает высокую эффективность управления. Однако при этом остается открытым вопрос о величине, затрачиваемой на управление энергии и связанной с этим стоимости рассматриваемого метода.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Уздалев А.И., Ковырягин М.А. Определение перемещений точек контура плоской упругой области // Теоретические и экспериментальные исследования в области строительства: Сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 1976. С.52-56.
2. Овчинников И.Г., Ковырягин М.А. Использование принципов активного управления конструкцией в транспортных сооружениях // Транспортное строительство. 2000. №6. С.7-9.
3. Ковырягин М.А. Новый подход к линейной фильтрации и предсказанию проблем / Перевод с англ. R.E.Kalman. // ASME. Journal of the Engeneering. 1960. №3. Р. 35-45. Перевод-201. ГОНТИ 603. 1969. 42с.
4. Soong Т. Т. Active Control: Theory and Practice. Longman Scientific and Technical. Essex, England,Wiley. New York,. 1990.
5. Soong T.T., Manolis D.B. Active structures // Journal of structural engeneering. V. 113. 1987. №11. P.2290-2310.
6. Dineva P., Ivanova J., Hadjikov L. On the choice if matrices Q, R and B in the optimal structural control problem // Proc. Int. Conf. Comput. Eng. Sci, Atlanta, Ga, Apr. 10-14, 1988. V. 2 / Comput. Mech.’88: Theory and Appl. Berlin. 1988. С. 47.IV.1. 47.IV.2.
7. Ковырягин М.А. Алгоритм активного управления напряженно-деформированным состоянием двухсвязных пластин // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2002. С.92-96.
Поступила 15.03.2003 г.
