CC BY
72
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ СИНТЕЗИРОВАННЫЙ АЛГОРИТМ МНК-ОПТИМИЗАЦИИ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ПСЕВДООБРАТНЫХ МАТРИЦ
Владимир Абрамович Падве
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, г. Новосибирск, ул. Плахотного 10, профессор кафедры прикладной информатики, тел. (383) 343-18-54, тел. 8-913-958-1234
Рассматривается использование универсального синтезированного алгоритма, позволяющего обрабатывать как свободные, так и несвободные геодезические сети.
Ключевые слова: универсальный синтезированный алгоритм, гиперматрица,
математическая модель, стохастическое расширение, ковариационные матрицы.
UNIVERSAL SYNTHESIZED ALGORITHM OF LS-OPTIMIZATION AND COMPUTATION OF PSEUDOINVERSE MATRICES
Vladimir A. Padve
Siberian state academy of geodesy, 10 Plakhotnogo, Novosibirsk 630108, professor, department of applied information science, tel. (383) 343-18-54, tel. 8-913-958-1234
A universal synthesized algorithm is considered. It permits mathematical processing of both “free” and “fixed” geodetic networks.
Key words: universal synthesized algorithm, hyper matrix, mathematical model, statistical extensions, pseudoinverse matrices.
Универсальный синтезированный алгоритм (УСА) [1] МНК-оптимизации геопространственных данных (ГД) представляет собой расширенный фундаментальный алгоритм коррелатной версии МНК-уравнивания и оценки точности ГД. Математическая модель УСА представляет собой неявные уравнения связи:
ф(иТ„+ч+к ) = ф (Y1Tn M ZTq M Xk ) = 0, ( 1)
где Yn1, Zq1, Xk1 - векторы «истинных» значений измеряемых величин, координат опорных пунктов и определяемых параметров. Линеаризованная форма этой модели имеет вид
Br nvn1 + Crq Zqi + Ark xk1 + 'Wr1 0r1. (2)
Здесь vn1, zq1, xk1 - это «истинные» поправки к измерениям yn1, координатам опорных пунктов zq1 и приближенным значениям определяемых параметров xk1,
“ T T T T
объединяемым в блочный вектор и = (у | Z | x ). Вектор Wr1 = ф(ут, zT, xT) (3)
представляет собой вектор «невязок» уравнений связи (1), а B, C, A - это коэффициенты, являющиеся частными производными, вычисляемыми в точке
uT = (yT| zT| xT):
B = (ЭФ / 0Y}u; C = (ЭФ / 0Z}u; A = {ЭФ / dX}u. (4)
Модель (2) дополняется стохастической составляющей в форме априорной блочной ковариационной матрицы ГД, некоррелированных между собой:
(5)
(2),
К 0 0
II К 0 К N 0
0 0 Кх
Функционал МНК-оптимизации модели
ковариационной матрицей (5), будет иметь вид:
0
ГТ /~Т-~Т-~Т
УТК-1У + ЪтК-1Ъ + ХТК-1Х = тіп:
характеризующейся
(6)
г, х.
К-1 0 0 Вт У 0 0
0 К-1 0 Ст * Ъ + 0 0
0 0 К-1 Ат Х 0 0
В С А 0 Л 0
~ т /~т.~т»~т\
где и = |У : Ъ :Х ) - это блочный вектор МНК-оценок для поправок V,
Минимизация (6) по Лагранжу порождает следующую систему уравнений: Э0/ЭУ = К-1У + Вт Л = 0
Э0/ЭЪ = К-1Ъ + Ст Л = 0 I (7)
Э0ЭХ = К-1Х + Ат Л = 0
Присоединив к этим уравнениям линеаризованную модель (2), можно построить синтезированную симметрическую гиперматрицу [1]:
(8)
Решение гиперсистемы (8) даёт корни, являющиеся МНК-поправками в измерения уп1, в координаты опорных пунктов гч1 и в приближенные значения искомых параметров хк1:
(9)
Обратная гиперматрица коэффициентов системы (9) является априорной блочной ковариационной матрицей оптимизированных (уравненных) значений
ГД [2]:
(10)
Уравненные (оптимизированные) значения данных будут получены после введения в них МНК-поправок (9):
У = у + V; 2 = г + 2; Х = х +Х. (11)
У К-1 0 0 Вт -1 0
Ъ 0 К-1 0 Ст * 0
Х 0 0 К-1 Ат 0
Л В С А 0
К-1 0 0 Вт -1 КУ КУЪ КУХ КУЛ
0 К-1 0 Ст КУЪ КЪ КЪХ КЪЛ
0 0 К-1 Ат КУХ КЪХ КХ КХЛ
В С А 0 КУЛ КЪЛ КХЛ - К Л
Завершив уравнивание (11), переходят к оценке масштабного показателя
г\
точности (МПТ) [3]. Априори МПТ ГД о 0 = 1 , т.к. теоретически
2 Т _1 /
Е(о = (у К у)/п) = 1. Апостериорное значение этого показателя вычисляется с использованием квадратичной формы (6):
т0 =вЛ, (10)
где г = п + q + к - б - это объем избыточных данных, а б - их необходимое количество, определяемое целью создания геодезического построения (ГП). ГП - это геометрическая структура, реализованная в околоземном и земном физическом пространстве с целью его координатизации.
Математическое ожидание апостериорного значения показателя точности (10) так же равно единице [3].
Классический алгоритм учёта ошибок координат опорных пунктов получается из УСА путём отказа от случайности приближенных значений
определяемых параметров. Это равносильно тому, что матрица К X1 полагается
равной нулевой. Гиперсистема (8) для такого алгоритма (Кх = 0; В = - I; W = -Ь) будет иметь следующую форму:
К-1 0 0 -1 V 0 0
0 К-1 0 ст * 7 0 0
0 0 0 Ат X 0 0
-1 с А 0 Л ь 0
(13)
При обращении матрицы коэффициентов этой системы вновь получится блочная матрица (10), содержащая априорные ковариационные блоки
уравненных
параметров:
значении измерении, опорных координат и определяемых
К-1 0 0 -1 -1 КУ Куг КУХ КУЛ
0 К-1 0 ст ку7 К7 К7Х к7л
0 0 0 Ат КУХ К7Х КХ КХл
-1 ст Ат 0 КУЛ К7л КХЛ - К л
Синтезированный алгоритм (13) решает задачу МНК-оптимизации как свободных, так и несвободных геодезических построений. Поскольку в свободных построениях отсутствуют опорные координаты 7, опустим блоки, связанные с ними, и выполним регуляризацию блока Кх-1= 0, заменив его блоком Кх-1 = а*1, в котором а = 10-6 ^ 10-8. В свободном геодезическом построении ранг матрицы «А» меньше числа её столбцов, т.е. гаик(А) < к.
(14)
Решение гиперсистемы (14) методом обращения принимает вид
К-1 0 -1 V 0
0 а*1 Ат * XX = 0
-1 А 0 Л ь
V К-1 0 -1 -1 0
X = 0 a * I AT * 0 . (15)
A -1 A 0 L
Обратная матрица коэффициентов системы (15) имеет такую структуру:
(16)
Центральный блок матрицы (16) представляет собой квадратную матрицу:
К-1 0 -I -1 KY KYX KYA
0 а * I AT = KXY S A+
- I A 0 К aY (A + )T A -
S
kk
1 1 . 1
1 1 1 . . 1
а * k K K. K.
1 1 . 1
(17)
kk
+
Крайний правый блок А в среднем ряду гиперматрицы (16) - это обобщённая обратная матрица Пенроуза, являющаяся «единственным решением минимальной длины для задачи наименьших квадратов» [4]. С её помощью производится вычисление априорной ковариационной матрицы уравненных значений параметров:
Кх = (А + )*Ку *(А + )т. (18)
В случае, когда матрица «А» является матрицей полного столбцового ранга, т.е. построение не свободно, матрица (18) вычисляется синтезированным алгоритмом автоматически и располагается на месте блока Б в (16), который принимает такой вид:
(19)
Пример построения априорной ковариационной матрицы уравненных значений параметров (18) по материалам данных свободной сети, заимствованной из [5, стр. 449], иллюстрирует работу формул (14) - (18).
В упомянутом примере измерения полагаются равноточными, т.е.
sо ° 1; Ky = S0 * ^55 = ^55 . (00)
Матрица коэффициентов уравнений поправок Ank = A54 определяется схемой ГП, приведённой там же:
KY KYX KYA
KXY KX KXA
K aY K AX A 1
A
54
-1 1 0 0
0 -1 1 0
1 0 -1 0
-1 0 0 1
0 0 1 -1
(21)
Синтезированная блочная матрица (14) для данного примера принимает вид (22):
1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1
0 0 0 0 0 1,E-06 0 0 0 -1 0 1 -1 0
0 0 0 0 0 0 1,E-06 0 0 1 -1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1,E-06 0 0 1 -1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1,E-06 0 0 0 1 -1
-1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 -1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 -1 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 -1 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 -1 0 0 1 -1 0 0 0 0 0
После обращения гиперматрица (22) будет иметь такую структуру:
(23)
KY KYX KYA
KXY S A+
K ay H + < с 1
-0,250 0,000 0,250 -0,250 0,000
0,375 -0,375 0,000 -0,125 0,125
0,000 0,250 -0,250 0,000 0,250
-0,125 0,125 0,000 0,375 -0,375
Окончательно, выполнив умножения матриц А+ (24), Ky = I55 и (А+)Т по формуле (18), получаем априорную ковариационную матрицу уравненных
отютт^тттттг ттсилалл^ттлгчтэ ТЧ.Т+ . . = А + А+ЛТ_. (^Л Л*
0,1875 -0,0625 -0,0625 -0,0625 3 -1 -1 -1
-0,0625 0,3125 -0,0625 -0,1875 = 1/16* -1 5 -1 -3
-0,0625 -0,0625 0,1875 -0,0625 -1 -1 3 -1
-0,0625 -0,1875 -0,0625 0,3125 -1 -3 -1 5
Полученный результат абсолютно согласуется с матрицей, приведённой в примере из [5] и воспроизведённой здесь в виде простых дробей.
Формулы (14) - (18) были дополнительно проверены на примерах из [5] (стр. 460), из [6], из [7] (стр. 409) и [8] (стр.77-79). Совпадение результатов полное.
Таким образом, можно резюмировать действительную универсальность синтезированного алгоритма для оптимизации как свободных, так и несвободных геодезических построений.
+
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Падве В. А. Универсальный синтезированный алгоритм МНК-оптимизации геопространственных данных [Текст] / В. А. Падве // ГЕО-Сибирь - 2005, Т.1, ч.2.
2. Падве В.А. Синтезированный алгоритм коррелатной версии МНК-оптимизации геопространственных данных [Текст] / В.А. Падве // ГЕО-Сибирь - 2006, Т.6.
3. Падве В. А. Показатель точности геопространственных данных [Текст] / В. А. Падве // Геодезия и картография. - 2005. - № 1 - С. 18 - 19.
4. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов -М.: Наука, 1986.
5. Машимов М.М. Методы математической обработки астрономо-геодезических измерений. - М.: Издание ВИА, 1990.
6. О вариационном методе регуляризации при уравнивании свободных геодезических сетей / А.Н. Тихонов и др. // Изв. вузов Г еодезия и аэрофотосъёмка. 1978 - №3. - С. 3 - 10.
7. Gilbert Strang & Kai Borre. Linear algebra, Geodesy, and GPS. Wellesley-Cambridge Press, 1997.
8. Барлиани А.Г. Разработка алгоритмов уравнивания и оценки точности свободных и несвободных геодезических сетей на основе псевдонормального решения - Новосибирск: СГГА, 2010.
© В.А. Падве, 2012
