Учёт средних квадратических погрешностей опорных координат и приближённых значений параметров при уравнивании результатов измерений Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УЧЁТ СРЕДНИХ КВАДРАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ОПОРНЫХ КООРДИНАТ И ПРИБЛИЖЁННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ ПРИ УРАВНИВАНИИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Владимир Абрамович Падве

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного 10, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной информатики и информационных систем, тел. (383)343-18-54, 8-913-958-12-34, 8-923-121-96-56, e-mail: evdapav@mail.ru

Предлагается трансформирование части необходимых измерений и их средних квадратических погрешностей (СКП) в приближённые значения параметров, сопровождаемые СКП этих значений. Одновременно учитываются СКП координат опорных точек. Эффект трансформирования - уменьшение объёма уравнительных вычислений.

Ключевые слова: средние квадратические погрешности (СКП), приближённые значения параметров, координаты опорных точек.

COMPUTATION OF ROOT-SUM-SQUARE UNCERTAINTIES OF DATA AND OF APPOROXIMATE VALUES OF PARAMETERS IN ADJUSTMENT OF MEASUREMENT RESULTS

Vladimir A. Padve

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., associate professor, department of the applied computer science and information systems, tel. (383)343-18-54, 8-913-958-12-34, 8-923-121-96-56, e-mailevdapav@mail.ru

Transformation is proposed for part of required measurements and their root-sum-square uncertainties (RSSU) into approximate parameter values, accompanied by the RSSU of these values. At the same time, RSSU of reference point coordinates are computed. The effect of transformation consists in reducing the amount of adjustment computation.

Key words: A root-sum-square uncertainties (RSSU), approximate parameter values, coordinates of reference points.

Традиционный алгоритм параметрического способа МНК-оптимизации (уравнивания) и оценки точности результатов геодезических измерений предполагает, что приближённые значения xk1 параметров Щ1 являются неслучайными величинами, точность которых не определена. Число линейно независимых параметров k обуславливается целью создания геодезического построения.

Реально приближённые значения параметров xk1 вычисляются по части

измеренных данных yk1, являющихся случайными величинами и

2 1

характеризующихся априорной ковариационной матрицей Kkk = с0 Pkk , известной с точностью до показателя точности а02. Учёт весов приближённых значений параметров известен в геодезической литературе, например, в работах [1] и [2]. Мы уже предлагали иное решение той же

задачи [3], которое ниже будет расширено с учётом СКП координат 2ч1 опорных пунктов.

Если вычислять компоненты вектора Хы по необходимым измерениям ум, изымая их из общего вектора измерений уп1 то, во-первых, приближённые значения станут случайными величинами, будучи функциями случайных аргументов:

^1).

(1)

Во-вторых, используя блок Ккк ковариационной матрицы Ку = Кпп, мы можем найти искомую ковариационную матрицу Кх теперь уже случайного вектора хк1:

Кх /кк'Ккк'/кк

(2)

где /кк = {дЗЦ/Э^ }У- частные производные функций, определяющих значения к параметров по использованным к измерениям.

Данная процедура приведёт к уменьшению объёма вектора измерений У„1, в котором останутся только избыточные измерения уг1, число которых равно разности г = п - к. Одновременно уменьшится ковариационная матрица Ку(п,п), сократившись на блок Ку(к,к) и став матрицей Ку(г,г).

Такой алгоритм может быть получен как частный случай универсального синтезированного алгоритма [4]:

(3)

к-1 0 0 ст 0

0 к-1 0 -1 V 0

0 0 к-1 = 0 Ат X 0

с -I А 0 А ь

Здесь К2 - ковариационная матрица опорных координат, 1пп - единичная матрица; Спф Апк и Ьп1 - коэффициенты и свободные члены параметрических уравнений поправок, 1~и1 и Хк1 - МНК-поправки в измерения и к приближённым значениям параметров, соответственно, Лп1 -

неопределённые множители Лагранжа (коррелаты).

После выполнения преобразований, предложенных выше, гиперсистема (3) уменьшится на 2к строк и 2к столбцов, а обратная ковариационная

матрица приближённых значений параметров К”1 будет содержать конкретные числовые значения:

К-1 0 0 ст 2? 0

0 К-1 0 -I V 0

т Ї * К 0 0 X 0

с -I А 0 А L

і

Уменьшение размеров гиперматрицы коэффициентов произойдёт за счёт уменьшения размеров блока К-1 на к строк и к столбцов, а так же

сокращения числа строк в матрицах Си А на к строк. Соответственно уменьшатся на 2к строк как вектор неизвестных, так и вектор правых частей, включая блок свободных членов Ь.

Одношаговое решение гиперсистемы (4) имеет вид:

Z

Z

X

л

К

Z

К

YZ

Kzy KZX КZЛ

К

Kxz Kxy Kaz KAY

Kyx Kya

Kx к

к

ax

xa

к

л

0

0

0

L

(4)

В результате такого решения мы сразу получаем:

1) вектор МНК-поправок Zql к опорным координатам zq1, Vr1 к

избыточным измерениям yr1, Zk1 к приближённым значениям параметров xk1 и вектор коррелат Лг1;

2) априорные ковариационные матрицы-блоки уравненных (МНК-оптимизированных) опорных координат, измерений, параметров и коррелат, являющиеся блоками обратной матрицы коэффициентов системы (3).

Вектор коррелат Лг1 может быть востребован для контроля вычислений:

Zq1 = — KZC • Лг1 Z = Krr' Лг1; Xk1 = — Кх-А • Лг1. (5)

Показатель точности измерений оценивается апостериори по трём векторам МНК-поправок:

ц2 = (ZTK~Z + VTK~lV + XTK~lX) / r. (6)

Апостериорную оценку точности уравненных измерений и параметров получим, умножив соответствующие блоки матрицы (5) на показатель точности:

Kz — ц2• Kz KT — ц2• KT Kx =ц2• Kx. (7)

Проблемы математической обработки геопространственных данных, затронутые в данной работе, обсуждаются и решаются во многих трудах учёных Сибирской государственной геодезической академии [5 - 15].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Wells D. E., Krakiwsky E. J. The Method of least squares.University of New Brunswick D.E. Wells, E.J. Krakiwsky, Canada, 1971.

2. Маркузе Ю. И. Теория математической обработки геодезических измерений, Кн.

2. - М.: МИИГАиК, 2005. - С. 19-21.

3. Падве В. А. Преобразование необходимых измерений в случайные приближённые значения параметров при МНК-оптимизации геопространственных данных // ГЕО-Сибирь-2011. VII Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2011 г.). - Новосибирск: СГГА, 2011. Т. 1. - С. 178-180.

4. Падве В. А. Потенциал универсального синтезированного алгоритма МНК-оптимизации геодезических данных // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2012. - № 4. - С. 34-42.

5. Антипов И. Т. Проверка соблюдения основного положения способа наименьших квадратов при параметрическом способе уравнивания // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2013. - № 4. - С. 79-83.

6. Антонович К. М. Использование спутниковых радионавигационных систем в геодезии: монография. В 2 т. Т. 1. - М.: Картгеоцентр, 2005. - 334 с.

7. Антонович К.М. Использование спутниковых радионавигационных систем в геодезии: монография. В 2 т. Т. 2. - М.: Картгеоцентр, 2006. - 360 с.

8. Барлиани А. Г. Разработка алгоритмов уравнивания и оценки точности свободных и несвободных геодезических сетей на основе псевдонормального решения: монография. - Новосибирск: СГГА, 2010. - 135 с.

9. Гуляев Ю. П. Прогнозирование деформаций сооружений на основе результатов геодезических наблюдений: монография. - Новосибирск: СГГА, 2008. - 256 с.

10. Гуляев Ю. П., Хорошилов В. С. Математическое моделирование. Анализ и прогнозирование деформаций сооружений по геодезическим данным на основе кинематической модели: учебное пособие. - Новосибирск: СГГА, 2012 - 93 с.

11. Мазуров Б. Т. Дорогова И. Е., Дербенёв К .В. Горизонтальные движения земной

коры вращательного характера, наблюдаемые на геодинамических полигонах // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф.

«Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 1. - С. 232-236.

12. Некрасова О. И., Мазуров Б. Т. Аппроксимация гравитационного влияния рельефа. / Б.Т. Мазуров // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2013. IX Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 15- 26 апреля 2013 г.). - Новосибирск: СГГА, 2013. Т. 1. -С. 211-213.

13. Панкрушин В. К. Математическое моделирование и идентификация геодинамических систем: монография. - Новосибирск: СГГА, 2002. - 423 с.

14. Середович В. А. Идентификация движений и напряжённо-деформированного состояния самоорганизующихся геодинамических систем. / В. А. Середович, В. К. Панкрушин, Ю. И. Кузнецов и [др.] - Новосибирск: СГГА, 2004. - 356 с.

15. Карпик А. П. Разработка методики качественной и количественной оценки кадастровой информации // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка. - 2013. - № 4. - С. 137-142.

© В. А. Падве, 2014