CC BY
29
УДК 528.3 В.А. Падве СГГА, Новосибирск
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕОБХОДИМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ В СЛУЧАЙНЫЕ ПРИБЛИЖЁННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ПРИ МНК-ОПТИМИЗАЦИИ ГЕОПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДАННЫХ
Предлагается модификация универсального синтезированного алгоритма МНК-оптимизации (уравнивания и оценки точности) геопространственных данных, принимающая в расчёт случайность приближённых значений параметров.
VA. Padve SSGA, Novosibirsk
TRANSFORMATION OF NESASSARY MEASUREMENTS INTO RANDOM APPROXIMATE PARAMETERS VALUES FOR LEAST-SQUARES OPTIMIZATION OF GEOSPATIAL DATA
The paper offers modification of the universal synthesized algorithm of least squares optimization (adjustment and accuracy estimation) of geospatial data taking into account randomness of the parameters approximated values.
Традиционная схема параметрической версии МНК-оптимизации (уравнивания) и оценки точности геопространственных данных предполагает приближённые значения «xk1» параметров Xk1 неслучайными величинами, точность которых не определена. Число линейно независимых параметров «k» обуславливается целью создания геодезического построения (ГП).
Реально величины «xk1» вычисляются по измеренным данным «yn1», являющимся случайными величинами и характеризующимися априорной ковариационной матрицей K = g02*P"\ Такой подход к этой проблеме известен в геодезической литературе, например, в работах [1] и [2]. Мы предлагаем иное по форме решение той же задачи.
Если вычислять вектор «xk1» строго по необходимым измерениям «yk1», изымая их из вектора «yn1» то, во-первых, приближённые значения станут случайными величинами, будучи функциями случайных аргументов:
Xk1 = Fk1(Fk1). (1)
Во-вторых, используя соответствующий блок Kkk ковариационной матрицы К„ мы можем найти ковариационную матрицу Kx уже случайного вектора «xk1»:
Kx = fkk* Kkk* fkkT (2)
Данная процедура приведёт к уменьшению объёма вектора измерений, в котором останутся только избыточные измерения «Уг1», число которых равно разности г = п - к. Одновременно уменьшится ковариационная матрица К/п,п), сократившись на блок Ккк и став матрицей К,(г,г).
Такой алгоритм может быть получен как частный случай универсального синтезированного алгоритма [3], в котором блоки, учитывающие влияние ошибок координат исходных пунктов отсутствуют:
^кгг1
0
0 к
-1
I А
-I
Ат
0
0
0
(3)
Здесь Іп- - единичная матрица; Агк и Ьг1 - коэффициенты и свободные члены
параметрических уравнений поправок; Уг1 и Хк1 - МНК-поправки в избыточные измерения и приближённые значения параметров, соответственно; Лг1 - неопределённые множители Лагранжа (коррелаты).
Одношаговое решение системы (3) имеет вид:
^кгт1
0
-I
0
к
-1
А
-I
Ат
0
,-1
Ґ0Л
0
(4)
В результате такого решения мы сразу получаем:
1) Вектор МНК-поправок Уг1 к избыточным измерениям «уг1», вектор МНК-поправок Хк1 к приближённым значениям параметров «хк1» и вектор «коррелат» Лг1;
2) Априорные ковариационные матрицы-блоки уравненных (МНК-оптимизированных) данных, параметров и «коррелат», являющиеся блоками обратной матрицы коэффициентов системы (4), те.
\-і . .
^кгт1
0
-I
0
к
-1
X
А
-I
Ат
0
к
у
к
УХ
к
УЛ
к
к^ к,
чклу
ХУ ^Х ^ХЛ
к*~ к
(5)
^ 'ЛХ кл 7
Вектор коррелат Лможет быть востребован для контроля вычислений:
Уг1 = к-г*Л; Хк1 = - к/Ат* Л. (6)
Показатель точности измерений оценивается апостериори по обоим векторам МНК-поправок:
ц2 =(утк1;1у+хтк;1х)/г. (7)
Апостериорную оценку точности уравненных измерений и параметров получим, умножив соответствующие блоки матрицы (5) на показатель точности:
*К-14 у
Кх — (і
*к-
кХ.
(8)
X
X
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Wells, D.E., The Method of least squares. University of New Brunswick /D.E. Wells, E.J. Krakiwsky. - Canada, 1971.
2. Маркузе, Ю.И. Теория математической обработки геодезических измерений, Кн. 2. - М.: МИИГАиК, 2005. - С. 19 - 21.
3. Падве, В.А. Универсальный синтезированный алгоритм МНК-оптимизации геопространственных данных /В.А. Падве// ГЕО-Сибирь - 2005. -Новосибирск, СГГА, 2005. - Т. 1, ч. 2. - С. 24-29.
© В.А. Падве, 2011
