Синтезированный алгоритм коррелатной версии МНК-оптимизации геопространственных данных Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 528.3 В.А. Падве СГГ А, Новосибирск

СИНТЕЗИРОВАННЫЙ АЛГОРИТМ КОРРЕЛАТНОЙ ВЕРСИИ МНК-ОПТИМИЗАЦИИ ГЕОПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДАННЫХ

Классический алгоритм коррелатной версии МНК-оптимизации и оценки точности геопространственных данных может быть описан десятью укрупнёнными этапами, представленными на схеме (рис. 1).

Моделирование Линеаризация Нормализация

Ф(Г) = 0 У; Е(у)=Г Ку = к Вгп Ул1 + ^г1 =0Г1 N0- Лг1 - Wrl =0-1

1 г

МНК- МНК- Решение НУ

оптимизация оценивание

Л-1 = Ч.' Wr1

У = у + У V = - квт л <

А

Показатель точности Ковариации V

2 у'к-'у и = г Ку=КВт>Г1ВК

і Т Ковариации У а posteriori Ковариации У а ргіогі

Ку=[12*Ку К^=к-К^

Рис. 1. Классическая МНК-оптимизация, показатель точности данных и ковариации оптимизированных значений данных

Объединив линеаризованные условные уравнения

БУ + W = 0

(1)

и МНК-оценки поправок к данным V = -КБтЛ (2)

в единую гиперсистему [1] коэффициентов с гипервектором неизвестных, получим симметричную синтезированную матрицу .

К Б

тЛ

0

(3)

*

Её решение методом обращения позволит одновременно найти:

- Гипервектор МНК-оценок поправок к данным и коррелат;

- Априорные ковариационные матрицы оптимизированных значений данных и коррелат. Количество укрупнённых этапов при этом сокращается до семи (рис. 2).

Моделирование

Линеаризация

Синтезирование

Ф(Г) = 0

У; Е(у)=Г Ку = К

Вгп Уп1 + 'г1 -0Г1

/

V

К в в о

МНК-

оптимизация

V - у + У

Решение СС

ч.Ау

к¥ к,о У о

ЧК21 - N

12

-1

Показатель

точности

2 УТК-’У

ц

Ковариации У а posteriori

К7 = Ц2*К^

Рис. 2. Синтезированный алгоритм МНК-оптимизации и оценки точности

Доказательство сказанного легко выполнить, используя аппарат обращения блочных матриц:

K

B

B

O

T

-1

K

KBTN-1BK KBTN-П

N-1BK

-N

-1

где

N = БКБт - (5)

нормальная матрица коррелат, не присутствующая в явном виде.

Блоки гиперматрицы (4) суть ковариационные матрицы оптимизированных значений данных и коррелат, а так же ковариации этих величин:

K - KBTN-1BK = K - K~ = Kv; Л

KBTN-1 = Ky. = K12;

N-1BK = K Л? = K21; N-1 = K л .

(б)

Гиперматрица (3) объёмнее матрицы нормальных уравнений (5). Однако больший объём вычислений на этапе «Решение», компенсируется тем, что априорная ковариационная матрица оптимизированных данных получается сразу на этом же этапе. Переход к её апостериорному значению осуществляется простым умножением на показатель точности ц2 [2].

Синтезированный алгоритм может найти применение при МНК-оптимизации данных в геодезических построениях небольшого объёма, особенно типовых фигурах.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. D.E. Wells, E.J. Krakiwsky The Method of least squares. University of New Brunswick, Canada, 1971.

2. Падве В.А. Показатель точности геопространственных данных. // Геодезия и картография. - 2005. - № 1 - С. 18 - 19.

© В.А. Падве, 2006