CC BY
26
УДК 528.9 В.А. Падве СГГА, Новосибирск
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ СИНТЕЗИРОВАННЫЙ АЛГОРИТМ МНК-ОПТИМИЗАЦИИ ГЕОПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДАННЫХ
Внедрение в геодезию новых технологий ставит вопрос о совместной обработке разнородной информации. Совокупность таких материалов представляет собой геопространственные данные. Это могут быть разнородные измерения, уравненные значения наблюдений, данные из каталогов и прочие материалы.
Универсальный алгоритм МНК-оптимизации [1] геопространственных данных строится на основе расширенной коррелатной версии этого алгоритма, математическая модель которого представлена в форме неявных уравнений связи:
ф(иТ„+ч+к )= ф(у1Тп ; ; Хк) = 0. (1)
Здесь Yn1, Zq1, Xk1 - векторы истинных значений данных: измеряемых величин, координат опорных пунктов и искомых параметров. Линеаризованная форма этой математической модели имеет вид
бу+сг + АХ+W = 0, (2)
где V, г, X - это МНК-поправки к измерениям У0, координатам опорных пунктов 7° и приближенным значениям искомых параметров X0;
W = Ф(У°, Z°, X0) (3)
- Невязки уравнений связи (1), а В, С, А - коэффициенты уравнений, представляющие собой соответствующие частные производные:
б = аФ/ау; с = аФ/аг; а = аФ/ах. (4)
Измерения У°, координаты опорных пунктов Z° и приближенные значения искомых параметров Х° предполагаются свободными от неслучайных ошибок, т. е.:
Е(У0 ) = У; Е(г0 ) = г; Е(Х0 ) = X (5)
Модель (2) дополняется стохастической составляющей в форме априорной блочной ковариационной матрицы геопространственных данных [6]:
>н 0 0
Ки0 = 0 кг0 0
0 0 °х к
Функционал МНК-оптимизации модели (2), характеризующейся ковариационной матрицей (6), будет иметь вид:
0 = иТк -10 и = УТк -10 V + гТк-1 г + ХТк -1о X = шт, (7)
где
иТ = (УТ2ТХТ)
- Блочный вектор МНК-поправок в данные.
Минимизация (7) с учетом (2) по Лагранжу позволяет построить симметричную синтезированную универсальную систему [2]:
K У
О
K Z10
0
0
B
C
T
T
0
0 0 K х; A
B C A 0 Решение этой системы
T
V 0 0
2 0 0
+ =
XX 0 0
А W 0
(8)
V к у1 0 0 Бт -1 0
2 0 К 2 0 Ст * 0
XX 0 0 К х10 Ат 0
А Б С А 0 W
(9)
даёт корни, являющиеся МНК-поправками в данные. Обратная матрица этой системы сразу обеспечивает априорную блочную ковариационную матрицу уравненных значений всех данных:
К у10 0 0 Бт -1 КУ КУ2 КУХ КУА
0 К 2 0 Ст КУ2 К2 К2Х К2а
0 0 К Х Ат КУХ К2Х КХ КХа
Б С А 0 КУА К2а КХа - К А
(10)
Синтезированная система (8) допускает и поэлементное решение:
V = -К^ BT А; Z = -^0 Ст А; Х = -Кх
oAT А;
(11)
А
N.
N у + ^N7 +
БК^Бт^
Z
СК
'X;
,0СТ;^
А^Х0А
т
'У — вку°в ,^2 — СК20С
Уравненные значения данных будут получены после введения в них МНК-поправок, найденных из решений (9) или (11):
У — у0 + у,2 — г0 + 2; X — х0 + X. (12)
Априорные ковариационные матрицы этих величин, полученных последовательно, потребуют реализации дополнительных вычислений:
Ку = КУ0 -К^Б^БК^; К2 = ^0 - К^С^-1СК20;
>
КХ = Кх0
КХ0 АтК-1А^Х0.
(13)
Таким образом, оптимальное решение уравнений (2) под условием (7) и получение ковариационных матриц оптимизированных данных может быть выполнено двумя путями:
а) С использованием единого синтезированного алгоритма, реализуемого по (8), (9), (12);
случаях
б) С использованием последовательных шагов (11), (12), (13). Апостериорная оценка точности измерений в обоих выполняется с помощью квадратичной формы (7):
Ц2 — ©/ г, (14)
где г — п + q + к х в - это объем избыточных данных, а s - их
необходимое количество, определяемое целью создания геодезического построения. Математическое ожидание этой оценки тождественно равно единице, что доказывает следующая цепочка преобразований:
Е(©)/г — Б(1г(©))/ г — Б(1г^тК х^))/г — E(tг(WWTN х1)/г —
— tг(E(WWT)Nх1 /г — 1г(К^х1)/г — 1г(11Г)/г — г/г = 1. (15)
Полученный результат ведет, с одной стороны, к упрощенному переходу
от априорных к апостериорным ковариационным матрицам:
2 = ц К2 ; КХ = ц КХ , (16)
К у = ц2Ку; К2 = ц 2К2; Кх = ц 2К
у - ^ ^у , ^2 _ ^ ^2’ *^Х ~ г ^Х ’
а с другой - к унитарной форме нулевой гипотезы о равенстве
1 [6]:
Л Л
масштабного показателя точности ст его априорному значению ст0
И.
1ст
2 11
сто =
против альтернативной И
А
в альтер {ст2,і[
(17)
(18)
Тестом для проверки нулевой гипотезы служит статистика [4]:
X2
(г*ц )/ст0 =0,
(19)
которая сопоставляется с двухсторонним доверительным интервалом % т
1 (20)
на уровне значимости а:
2 I 2 .2
хТ — [XгДха/2; Xг,а/2
Нулевая гипотеза отвергается, когда хэ £ Xт.
Классический алгоритм получается из универсального путём отказа от случайности приближенных значений искомых параметров. Это равносильно
тому, что матрица К У полагается тождественно равной нулевой.
Синтезированная система (7) при этом дополнительно претерпевает перестановку блоков (это обязательно только для последовательного
решения!). Классический параметрический алгоритм (К ^ = 0; В = -I; W =
L), как вариант универсального, будет выглядеть так:
0 х! 0
Ст 0
0
К у10 0 -1 0
А
т
А
0
V 0 0
2 0 0
+ =
А ь 0
Х 0 0
(21)
При обращении матрицы коэффициентов этой системы вновь получится блочная матрица, содержащая априорные ковариационные блоки уравненных значений измерений, опорных координат и искомых параметров (после
введения МНК-поправок X уравненные значения параметров становятся случайными величинами):
Ку10 0 -1 0 -1 КУ КУЪ КУл КУХ
0 КЪ10 Ст 0 КУЪ КЪ КЪл КЪХ
-1 С 0 А КУЛ КЪл - К л К лХ
0 0 Ат 0 КУХ КЪХ К лХ КХ
Последовательное решение системы (21) приводит к алгоритму В.К. Христова [5], естественно, представленному ^обозначениях данной работы:
V = к Л = АХ + СЪ + Ь; Ъ = -К^Стл
"У
Ъ0
(22)
Л = (К2 + КУ0 )-1 * (АХ + ь); X = -Я -1О где
N = СК2о Ст; Я = Ат (К2 + Куо )-1 А; О = Ат (К2 + Куо)-1 Ь.
Переставив в системе (21) местами уравнения, формирующие её, получим блочную матрицу:
ку1»
I 0 0
-1 0 А С
0
0
Ат 0
0
Ст 0 к-1
V 0 0
л Ь 0
* + =
Х 0 0
Ъ 0 0
(23)
Её последовательное решение реализуется как алгоритм Ю.И. Маркузе [3], формулы которого приводятся ниже с учётом наших обозначений:
V = куо Л = АХ + СЁ + Ь; Л = К-1о(АХ + СЁ + Ь);
л-1
*
V Ъ У
ГАтК -1сА
АтК -1сС
V СтК -1сА СтК -1сС + К -1 у
ГАтК -1сЬЛ
Итак, переход от универсального алгоритма МНК-оптимизации к любому его частному случаю осуществляется воздействием на обе составляющие его модели:
а) Детерминированную (матрицу коэффициентов В, С, А);
б) Стохастическую (ковариационную матрицу (6)).
Универсальный синтезированный алгоритм (8) позволяет анализировать
влияние опорных пунктов, вводя очень малые значения для дисперсий
опорных координат (К20 = ёй§{...10 6 -10 8...}), что практически отключает
их влияние через стохастическую составляющую (6), хотя в детерминированной части (2) они не исключаются. Переход к неслучайным значениям определяемых параметров также может быть реализован с помощью воздействия на стохастическую составляющую:
-8
КХо = ^{...10+6 -10+8...}.
\+8
1. Машимов М.М. Методы математической обработки астрономо-геодезических измерений. - М.: Издание ВИА, 1990.
2. D.E. Wells, E.J. Krakiwsky. The Method of least squares. University of New Brunswick, Canada, 1971.
3. Маркузе Ю.И. Основы уравнительных вычислений. - М.: Недра, 1990.
4. Дж. Поллард. Справочник по вычислительным методам статистики. - М.:
Финансы и статистика, 1982.
5. В.К. Христов. Расширение уравнивания по способу наименьших квадратов // Тр.
Центр. лаб. по геодезии. - София: Болг. АН, 1966. - № 12.
6. Падве В.А. Показатель точности геопространственных данных // Геодезия и картография. - 2005. - № 1 - С. 18 - 19.
© В.А. Падве, 2005
