11УМУМИЙ УРТА ТАЪЛИМ МАКТАБЛАРИДА ФАНЛАРАРО
БОГЛЩЛИК
Ме^рибон Норимоновна Солаева
Низомий номидаги Тошкент давлат педагогика университети
АННОТАЦИЯ
Ушбу маколада мактаб 11 синф укувчиларига бошланFич функция ёки аникмас интеграл мавзусини тушунтиришда мактаб укувчиларига таниш булган атамалардан фойдаланиш ва бошланFич функция топишдаги баъзи коидалар ва теоремаларнинг урнини мисолларда тахлил килишга баFишланган.
Калит сузлар: таълим, мактаб, педагогика, интеграция, математика, физика, фан.
INTERDISCIPLINARY CONNECTION IN GENERAL SECONDARY
SCHOOLS
Mehribon Norimonovna Solaeva
Tashkent State Pedagogical University named after Nizami
ABSTRACT
This article is devoted to the use of terms familiar to school students in explaining the topic of primary function or indefinite integral to 11th grade students and to analyze in examples the place of some rules and theorems in finding primary function.
Keywords: education, school, pedagogy, integration, mathematics, physics, science.
КИРИШ
Мактаб физика ва математика курсидан маълумки математиканинг куплаб булимлари физика фанининг асоси хисобланади. Масалан физикадаги моддий нуктанинг тезлиги ва тезланишини топиш масаласи математикада албатта функция хосиласини топиш оркали топилади. Яъни харакатнинг тенгламаси вакт утиши билан йулнинг узгариш конуни берилган деб фараз килиб, аввал тезликни сунгра тезланишни функция хосиласи ёрдамида топилади. Бирок амалда купрок тескари масалани ечишга туFри келади.
АДАБИЁТЛАР ТАХЛИЛИ ВА МЕТОДОЛОГИЯ
Масалан a тезланиш t вактнинг функцияси a = a(t) сифатида берилган булиб, t вакт утилган 5 йулни ва тезлик v ни топиш талаб этилади. Бу хам албатта физика ва математика фанининг узвий боFликлиги ва баъзи физикага оид мисолларни математик йул билан ишлаш мумкинлигини курсатади [1]. Бу ерда хосиласи a(t) булган v = v(t) функцияни a = a(t) функциядан топиб, сунгра хосиласи v булган S = S(t) функцияни топамиз.
Масалан тезлиги v = бх3 - 8х+3 формула билан берилган моддий нукта х = 1 вакт моментида S = 0 га тенг йул босиб утса, ушбу нуктанинг х = 5 моментдаги босиб утган йули узунлигини топинг. Каби масалалар берилганда ва шунга ухшаш, х укнинг [0, х] туFри чизикли кесмаси буйлаб узликсиз таксимланган m = m(х) масса маълум булганда, дифференциаллаб р = р(х) "чизикли" зичликни топиш мумкин. Лекин табиий шундай савол туFилади; зичликнинг берилган р = р( х) узгариш конуни буйича таксимланган массанинг микдорини топиш, яъни берилган р(х) функция буйича хосиласи р(х) булган m = m(х) функцияни топиш талаб этилади. Бундай масалалр ечимини топиш учун мактаб укувчиларига хали таниш булмаган яна битта атамани ёки математик амални киритишга туFри келади. Яъни бошлаетич функция ёки аникмас интеграл топиш амалидир. БошланFич функция ёки аникмас интеграл узи нима саволига куйида жавоб берамиз.
Агар берилган р = X ораликнинг барча нукталарида f (х) функция F(х) нинг хосиласи, яъни F (х) = f (х) булса, у холда F(х) функция берилган ораликда f (х) функциянинг бошлаетич функцияси ёки аникмас интеграли дейилади.
НАТИЖАЛАР
Биз биламизки замонавий математика курсида бошлаетич функция ёки аникмас интеграл тушунчаси билан укувчи мактаб праграммасининг 11 синф курсида танишиб утади ва албатта янги тушунчани мактаб укувчилар онгига сингдиришда укувчилар тушунадиган атама-ю терминлардан фойдаланиш жуда катта рол уйнайди. Шунинг учун юкоридаги аникмас интеграл ёки бошлаетич функция таърифини киритгач, аникмас интеграл ёки бошлаетич функция топиш амали бу хосила топиш амалига мутлако тескари тартибда бажариладиган амал, яъни хосиласи берилган функцияга тенг булган функцияни топиш амали эканлигини тушунтириш лозим. Бу мактаб укувчиларида албатта эшитган ва
билган амалига тескари амал эканлигидан бу интеграллаш амалини хам укувчилар оддий тушунча каби кабул килади.
Теорема. Агар бирор (чекли ёки чексиз, очик ёки ёпик) X ораликда F(x) функция f (x) функциянинг бошланFич функцияси булса, у холда F (x) + C хам
(бу ерда C ихтиёрий узгармас сон) бошланFич функция булади. Аксинча, X ораликда f (x) нинг хар бир бошланFич функциясини шу куринишда ёзиш мумкин [2].
Исбот: F(x) функция билан биргаликда F(x) + C функция хам f (x) нинг бошланFич функцияси эканлигини курсатиш учун хар иккала функциядан хосила олишнинг узи етарли ва булардан куринадики (F (x) + C) = F (x) = f (x) булади бу эса теоремани исботлайди.
Ушбу теоремадан берилган f(x) функциянинг хамма бошланFич функцияларини топиш учун факат битта бошланFич функцияни топиш етарли эканлиги келиб чикади, чунки улар бир биридан узгармас кушилувчигагина фарк киладилар.
Бунга кура F (x) + C ифода, бу ерда C ихтиёрий узгармас сон, f (x) хосилага эга булган функциянинг умумий куриниши булади. Бу ифода f (x) нинг аникмас интеграли дейилади ва Jf (x)dx каби белгиланади [2].
Юкоридаги таъриф ва теоремаларни укувчиларга тушунтиргач бошланFич функция ёки аникмас интеграл хисоблашнинг баъзи хосса ва коидалар тушунтирилиши шарт. Бунинг сабабини хар бир хосса ва коидаларни тушунтириб бераётганда ёритиб утамиз.
10 dJf (x) dx = f (x)dx яъни d ва J белгилар биринчиси иккинчисидан
олдин ёзилган булса, узаро кискаради. Яъни интеграллашдан олинган хосила шу интеграл белгиси остидаги функциянинг узига тенг булади.
20 F(x) функция F (x) нинг бошланFич функцияси булгани учун Jf (x) dx = F (x) + C га эга буламиз, буни JdF(x) = F (x) + C куринишда хам
ёзиш мумкин. Бундан F(x) олдидаги d ва J белгилар d белги J дан кейин келса хам кискаради, факат бунда F(x) га ихтиёрий узгармас сон кушиш керак [2].
МУХОКАМА
Бу теоремаларни укувчиларга ургатгандан кейин асосий элементар функцияларнинг интеграллар жадвалини бериб кетиш керак ва жадвалдаги хар бир функция интегралини тушунтириб бериш лозим.
Интеграллаш жадвалини тушунтириб мактаб укувчиларига ёдлатгандан сунг баъзи интеграллашнинг энг содда коидаларини тушунтириб бериш лозим куйида худди шу каби содда коидаларни тушунтириб тахлил килиб утамиз.
I. Агар a узгармас сон булсабу холда Jaf (х) dx = aJf (x)dx . Яъни узгармас купайтувчини интеграл белгиси остидан чикариш мумкин.
II. J( f (х) + g (x))dx = Jf (x)dx + Jg (x)dx арифметик йотиндининг
интеграли интеграллар арифметик йиFиндисига тенг [3].
Бу иккала формула хакида куйидагини айтиб утайлик. Буларга иккита хар бири ихтиёрий узгармасни уз ичига оладиган аникмас интеграл киради. Бу типдаги тенгликни унг ва чап томони орасидаги айирма узгармасга тенг деган маънода тушунилади. Бу тенгликларни асл маънода тушуниш хам мумкинб лекин у вактда бунда иштирок этган интеграллардан биттаси ихтиёрий бошлаетич функция булмай колади: тенгликдаги узгармас сон бошка интеграллардаги узгармасларни топилгандан кейин аникланади.
III. Агар Jf (t) dt = F (t) + C булса, у холда: Jf (ax + b)dx = — F (ax + b) + C' булади [3].
Бу коидаларни укувчиларга тушунтиришдан максадни юкорида мисол тарикасида берилган масала ва куйида мисолларда тахлил киламиз.
Энди юкорида бериб кетилган мисолни тахлил киладиган булсак, тезлиги v = бх3 - 8х+3 формула билан берилган моддий нукта х = 1 вакт моментида S = 0 га тенг йул босиб утса, ушбу нуктанинг х = 5 моментдаги босиб утган йули узунлигини топинг.
Ечиш: биз биламизки моддий нуктанинг босиб утган йули узунлигини топиш учун йул формуласи берилган холда, формуладаги узгарувчи урнига вактни куйиб хисоблаш етарли. Демак биз ушбу мисолни ечишимиз учун йул формуласини топишимиз керак. Функция хосиласи коидасидан биламизки йул формуласидан олинган хосила моддий нуктанинг тезлиги формуласини берар эди. Бундан куринадики моддий нуктанинг тезлиги формуласи берилган холда унинг йул формуласини топиш учун бошлаетич функция топишимиз лозим. J (бх3 - 8 х + 3)dx [4] аникмас интегрални хисоблашимиз керак. Бу аникмас
интегрални хисоблаш учун юкоридаг аникмас интеграл хисоблаш учун теорема ва коидалардан фойдаланамиз.
6 8 3
J(6x3 -8x + 3)dx = J6xidx-J8xdx + J3dx = — x4 - — x2 + 3x + C = — x4 -4x2 + 3x + C
бундан куринадики моддий нуктанинг вакт давомида босиб утган йулининг узунлиги формуласи S = -x4 - 4x2 + 3x + C га тенг экан. Масаланинг шартига кура
моддий нукта вактнинг 1 га тенг момонтида 0 га тенг узунликдаги йулни босиб
3 3 1
утар экан. Бундан эса S(1)= --14-4-12 + 3-1 + C = --4+3 + C = - + C = 0 эканлиги
келиб чикади ва охирги ифодадан, яъни 1 + C = 0 эканлигидан C = -1 га тенг
эканлиги келиб чикади. Буларнинг барчасидан моддий нуктанинг харакат
3 1
троекторияси умуий формуласи S = - x4 - 4x2 + 3x — га тенг эканлигини курамиз.
Энди моддий нуктанинг вактнинг 5 га тенг моментидаги босиб утган йули узунлигини топиш учун топилган умумий йул формуласи урнига 5 ни куйиб
3 11875 1 1874
хисоблаймиз. S(5) = - - 54 - 4 - 52 + 3 - 5--=--100 +15--=--85 = 937 - 85 = 852
2 2 2 2 2
демак моддий нукта вактнинг 5 га тенг моментида 852 бирликка тенг йул босиб
утади.
Мисол. J(6x2 - 3x + 5)dx [4] аникмас интегрални хисобланг.
Ечиш: бу мисолни ечиш учун юкоридаги коида ва хоссалардан фойдаланамиз:
J (6x2 - 3x + 5)dx = J 6x2dx - J 3xdx + J 5dx = 6J x2dx - 3J xdx + 5J dx =
3
2 x3 — x2 + 5 x + C 2
ХУЛОСА
Юкоридагилардан келиб чикган холда шуни хулоса килиб айтиш мумкинки, умумий урта таълим мактабларида 11 синф уцувчиларига бошланFич функция ёки аникмас интеграллар мавзусини тушунтириш давомида оддий деб хисобланадиган хоссалар ва формулаларни тушунтиришда оддийликдан фойдаланиш самарали натижа беради.
ФОЙДАЛАНИЛГАН АДАБИЁТЛАР
1. Ш.А.Алимов, О.Р.Холмухаммаедов, М.А.Мирзаахмедов. "Алгебра" Умумий урта таълим мактабларининг 9- синфи учун дарслик. "Укитувчи" нашриёт матбаа ижодий уйи Еушкент-2014.
2. Ш.Р.Хуррамов Олий матаматика. I жилд Чулпон номидаги нашриёт- матбаа ижодий уйи Тошкент -2018
3. М.А.Мирзаахмедов, Ш.Н.Исмаилов, А.К,.Аманов. "математика" 11 -синф учун дарслик. Тошент- 2018.
4. Ф.А.Ахмедова, М.М.Хабибуллина, М.Р.Ахмадеева. "Математика ва информатика" фанларидан мавзулаштирилган тестлар туплами. Тошкент "Spectrum media group" нашриёти 2017й
REFERENCES
1. Ш.А.Алимов, О.Р.Холмухдммаедов, М.А.Мирзаахмедов. "Алгебра" Умумий урта таълим мактабларининг 9- синфи учун дарслик. "Укитувчи" нашриёт матбаа ижодий уйи Еушкент-2014.
2. Ш.Р.Хуррамов Олий матаматика. I жилд Чулпон номидаги нашриёт- матбаа ижодий уйи Тошкент -2018
3. М.А.Мирзаахмедов, Ш.Н.Исмаилов, А.К,.Аманов. "математика" 11 -синф учун дарслик. Тошент- 2018.
4. Ф.А.Ахмедова, М.М.Хабибуллина, М.Р.Ахмадеева. "Математика ва информатика" фанларидан мавзулаштирилган тестлар туплами. Тошкент "Spectrum media group" нашриёти 2017й
