CC BY
9УДК 517.9
Умови б1фуркащ1 розв'язку крайово1 задач1
Т. В. Шовкопляс
Кшвський нац1ональний ун1верситет iM. Тараса Шевченко Ки1в 03022. E-mail: from_Tatyana@ukr.net
Анотащя. Вивчаеться питання розв'язност лшшно! неоднорщно! крайово! задач1 3i збуренням для си-стеми звичайних диференщальних рiвнянь другого порядку, яка не завжди е розв'язною, за умови, що 11 породжуюча крайова задача не мае розв'язюв при довшьних неоднорiдностях. На основi встанов-леного взаемозв'язку мiж розглядуваною крайовою задачою 3i збуренням та алгебра!чною системою, коефiдiенти яко! складаються з коефщентв неоднорщно! крайово! задачi зi збуренням, знайдено умову розв'язностi розглядувано! крайово! задачi, при виконаннi яко! крайова задача зi збуренням матиме хоча б один розв'язок, який мае вигляд частини збiжного ряду Лорана.
Ключов1 слова: крайова задача зi збуренням, породжуюча крайова задача, критерш розв'язност, критичний випадок, бiфуркацiя розв'язку, алгебра!чна система.
1. Вступ. Постановка задач1
Питання встановлення умов розв'язност та вщшукання розв'язюв р1зних тишв край-ових задач е актуальним впродовж тривалого часу. Вивченню р1зних аспект1в розгляду-ваного питання присвячено багато наукових роб1т. Нетеров1 крайов1 задач1 розглядалися та дослщжувалися в роботах [4]. Вивченню автономних крайових задач присвячено робо-ти [3, 9, 10, 11]. Слабконелшшт крайов1 задач1 наведено в [3]. Вивчення умов розв'язност крайових задач з1 збуренням для систем лшшних диференщальних р1внянь I-го порядку розглянуто в [1, 2, 8, 16]. Вироджет крайов1 задачу умови 1х розв'язност1, б1фуркацп та розгалудження розв'язюв розглянуто в [17]. Умови розв'язност слабкозбурених крайових задач для систем лшшних диференщальних р1внянь другого порядку встановлено в [13, 15].
У данш робота розглядаеться лшшна неоднородна крайова задача з1 збуренням
(P(t)x')' - Q(t)x - eQi(t)x = f (t), t £ [a,b], (1.1)
lx(-,e) = a + el1x(-,e). (1.2)
Тут [a, b] - вщр1зок, на якому розглядаеться лшшна крайова задача з1 збуренням (1.1), (1.2), x = x(t,e) — п-вим1рна дв1ч1 неперервно диференцшовна шукана векторна функ-щя: x(,e) £ C2([a,b]), x'(-,e), x''(,e) £ C2([a,b] x (0,eo]). P(t), Q(t), Qi(t) — квадрат-m (n x n)- вим1рт дшст матрищ-функщ'ь Елементи матриц P(t) е дшсш, неперервно диференцшовш на вщр1зку [a,b] функщ!: P(t) £ C 1([a, b]); елементи матриць Q(t) та Q1 (t) е неперервними на вщр1зку [a,b]: Q(t),Q1(t) £ C([a,b]). Матриця P(t) е неви-родженою: det P(t) = 0. f (t) — п-вим1рна неперервна на вщр1зку [a,b] вектор-функщя: f (t) £ C([a,b]). l, li — лшшш обмежет т-вим1рт векторт функщонали, визначет на простор1 п-вим1рних кусково-неперервних векторних функцш: l, li:C([a, b]) ^ Rm. a — т-вим1рний дшсний вектор: a £ Rm; e — малий невщ'емний параметр.
© Т. В. ШОВКОПЛЯС
Крайова задача 3i збуренням (1.1), (1.2) мае породжуючу крайову задачу:
(P(t)x')' — Q(t)x = f (t), t £ [a, b], (1.3)
lx(-,e) = a. (1.4)
Система диференщальних рiвнянь другого порядку (1.3) мае загальний розв'язок вигля-ду: x(t) = X(t)c + x(t), c £ R2n, де X(t) — (n x 2п)-вим1рна фундаментальна матриця однорщно'! системи другого порядку (1.3), яка складаеться з 2п-лшшно незалежних розв'язюв однородно'! (f(t) = 0) системи (1.3); вектор-функщя x(t) = J^ K(t,s)P-1(s)f (s)ds е частинним розв'язком системи диференщальних рiвнянь (1.3); K(t, s)-(n x n)-вимiрна матриця Кошi [14, 15]. У результатi дп лiнiйного m-вимiрного функцiоналу l на фундаментальну матрицю X(t) утворюеться (m x 2n)-вимiрна пря-мокутна матриця D, rankD= ni, ni < min(2n,m). Матриця D* е транспонованою до матрицi D. (2n x m) — вимiрна матриця D+ е псевдооберненою за Муром-Пенроузом до матриц D [2, 6].
Через Pd i Pd* позначимо (2n x 2n)- i (m x m)-вимiрнi матрицi-ортопроектори, якi проектують простори R2n i Rm на нуль-простори N(D) та N(D*) вщповщно: Pd ■ R2n — N(D), N(D) = PDR2n; PD ■ R2n — N(D), N(D*) = PD* Rm. Матриця N(D) мае розмiр-шсть r: dim N(D) = 2n-rank D = 2n — n1 = r, а матриця N(D*) мае розмiрнiсть d: dim N(D*) = m—rank D = m — n1 = d. Звщки rank Pd = r, а rank Pd* = d. Тобто, матриця Pd складаеться з r лшшно незалежних стовпчиюв, а матриця Pd* складаеться з d лшшно незалежних рядюв. Отже, (2n x 2n)-вимiрну матрицю Pd можна замшити (2n x r)-вимiрною матрицею Pdt , що складаеться з r лiнiйно незалежних стовпчикiв матрицi Pd; (m x m)-вимiрну матрицю Pd* можна замшити (d x m)-вимiрною матрицею Pd* , яка складаеться з повно'! системи d лiнiйно незалежних рядкiв матрицi Pd* [2].
Для породжуючо'! крайово'! задачi (1.3), (1.4) мае мiсце твердження [14].
Теорема 1 (Критичний випадок). Нехай виконуеться умова rank D = ni < miin{2n, m}. Тодг одноргдна (f(t) =0, a = 0) крайова задача (1.3), (1.4) мае r, (r = 2n — n1) г лише r лгнгйно незалежних розв'язкгв.
Неодноргдна крайова задача (1.3), (1.4) розв'язна modi г тгльки modi, коли вектор-функщя f (t) £ C([a, b]) i сталий вектор a £ Rm задовольняють умову розв'язностг
PD* [a — lx(-)]=0, (d = m — ni). (1.5)
При виконаннг цих умов крайова задача (1.3), (1.4) мае r-параметричну сгм'ю лгнгйно незалежних розв'язкгв x(t, cr) = Xr(t)cr + (G[f])(t) + X(t)D+a, t £ [a,b], V cr £ Rr, де Xr(t)-(n x r)-вимгрна матриця, стовпчики яког утворюють повну систему r лгнгйно незалежних розв'язкгв одноргдног системи другого порядку (1.3): Xr(t) = X(t)PDr; Pdt -(2n x r)-вимгрна матриця-ортопроектор, яка складаеться з r лгнгйно незалежних стовпчикгв матрицг Pd; cr-довгльний вектор-стовпчик з простору Rr; (G[f])(t), t £ [a, b], - узагальнений оператор Гргна, який дге на довгльну вектор-функцгю f (t) £ C([a, b]):
(G[f])(t) d= f K (t,s)P-1(s)f (s)ds — X (t)D+1 f K ( ■ ,s)P-1(s)f (s)ds.
J a J a
Необхщно визначити, чи юнують умови, при виконанш яких крайова задача 3i збу-ренням (1.1), (1.2) буде розв'язною, при умовi, що i'i породжуюча крайова задача (1.3), (1.4) розв'язюв не мае.
2. Умови б1фуркащ1 розв'язку крайово!' задач1
Розглядаеться випадок, коли породжуюча крайова задача (1.3), (1.4) не мае розв'язюв при довшьних неоднорщностях f (t) € C([a,b]) та а € Rm, тобто, мае мю-це критичний випадок (rank D = n\ < n) i в силу довшьного вибору неоднорщностей f (t) € C([a,b]) та а € Rm критерш розв'язностi (1.5) для породжуючо'' крайово'' задачi (1.3), (1.4) не виконуеться.
У публжацп [15] розглянуто лшшну неоднорiдну крайову задачу зi збуренням (1.1), (1.2) у випадку, коли i'i' породжуюча крайова задача (е = 0) (1.3), (1.4) не мае розв'язюв. Тад для розглядувано'' крайово'' задачi за допомогою (d х r)-вимiрноi матрицi
f ь
Во := Pd* {liXr(•) - l K(■, s)P-1(s)Qi(s)Xr(s)ds}, (2.1)
Ja
побудовано' за допомогою коефiцiентiв задачi (1.1), (1.2), були встановлеш умова розв'язностi та умова единост розв'язку, який мае вигляд збiжного ряду Лорана при k = -1.
Рв0 — (r х r)-вимiрна матриця-ортопроектор, Рв0:Rr ^ N(В0); В* — (r х d)-вимiрна матриця, спряжена до матрищ Во, Pb* — (d х d)-вимiрна матриця-ортопроектор, PB** :Rd ^ N (В*); (r х d)-вимiрна матриця В+ е псевдооберненою за Муром-Пенроузом до матрищ В0 [15].
У роботi [12] розглядалися умови бiфуркацii розв'язку iмпульсноi крайово'' задачi, у випадку, коли умова Pb* =0 не виконувалася. Тод була побудована (d х r)-вимiрна матриця Bi:
f ь
Bi := Pd*{liGi( ■) - l K(■, s)P-i(s)Qi(s)Gi(s)ds}, (2.2)
a
де (n х r)-вимiрна матриця Gi(t) е такою:
Gi(t) = (G[Qi(s)Xr (s)])(t) + X (t)D+liXr (■). (2.3)
В * — (r х d)-вимiрна матриця, транспонована до матрищ Bi; Pb — (r х r)-вимiрна матриця-ортопроектор, яка проектуе r-вимiрний евклiдiв простiр Rr на нуль-простар N(В\) матрицi В1; Pb* - (d х d)-вимiрна матриця-ортопроектор, яка проектуе d-вимiрний евклiдiв простiр Rd на нуль-простар N (В*) матрицi В*.
У роботi [12] за допомогою матриць Во та В1 були знайдеш умови бiфуркацii розв'язку розглядувано' iмпульсноi крайово' задачi. Встановлено, що при виконанш умови Pb* Pb* = 0 розглядувана iмпульсна крайова задача розв'язна i мае розв'язок у виглядi збiжного ряду Лорана при k = —2.
У данш роботi розглядаеться випадок, коли умови Pb* = 0, Pb* Pb* =0 не вико-нуються. Тому побудовано (d х r)-вимiрну матрицю В1 := —Pb*BlPвo, при виконанш певних умов на яку, задача (1.3), (1.4) буде розв'язною. У цьому випадку розв'язок крайово'' задачi (1.3), (1.4) шукаеться за допомогою методу Вшика-Люстерника [5] у виглядi частини збiжного ряду Лорана при k = —3.
Мае мюце теорема.
Теорема 2. Нехай породжуюча крайова задача (1.3), (1.4) при довгльних неодноргдно-стях f (г) € С([а,Ь]) та а € Кт не мае розв'язкгв та для крайовог задачг зг збуренням (1.1), (1.2) виконанг умови Рв* = 0, Рв*Рв* = 0.
Тодг крайова задача зг збуренням (1.1), (1.2) розв'язна, якщо виконуеться умова
Рв* рв* =0 (2.4)
та гг розв'язок при достатньо малгй фгксовангй величинг е € (0 , е0] мае вигляд частини збгжного ряду Лорана:
те
к
(•,e)=Y, £кxk(t) (2.5)
х.
к=-3
коефгцгенти Хк, к > -3, ряду (2.5) шукаються з вгдповгдних крайових задач, утворених пгсля пгдстановки в задачу (1.1), (1.2) ряду (2.5) та приргвняння вгдповгдних коефгцген-тгв при кожному зг степенгв е.
Доведення. Шдставимо ряд (2.5) в задачу (1.1), (1.2), 1 тод1 при кожному степен1 е от-римаемо в1дпов1дну крайову задачу.
При е-3 маемо однор1дну крайову задачу:
(Р(г)х-3)' - Я(г)х-3 = 0, г € [а,Ь], ¡х-з(-,е) = 0. (2.6)
За теоремою 1 крайова задача (2.6) завжди розв'язна 1 мае г-параметричну с1м'ю розв'язк1в:
х-3(г) = Хг(г)с-2, С-2 € Ег, (2.7)
с—2-довшьний г-вим1рний вектор, який буде знайдено з умови розв'язност1 крайово!' за-2
дач1 при е 2.
При е-2 маемо неоднор1дну крайову задачу:
(Р(г)х-2)' - Я(г)х-2 = Я\(г)х-3, г € [а,ь], (2.8)
1х-2(-,е) = ¡гх-3(-,е). Зг1дно теореми 1 умова розв'язност1 неоднородно! крайово!' задач1 (2.8) е такою:
Po* |I1X-3(•) - l j K(•,s)P-1(s)Qi(s)x-3(s)ds j = 0, d = m - m.
(2.9)
Ыдставивши в (2.9) значення вектора х-3(г,с-2), виражене р1вн1стю (2.7), отримаемо:
Ро* |¡Хг(■) - I а К(■, 8)Р-1(8)Яг(з)Хг(5)^1 с-2 = 0. (2.10)
Враховуючи позначення (2.1), з (2.10) отримаемо алгебра'чну систему:
ВоС-2 =0. (2.11)
Алгебра'чна система (2.11) завжди розв'язна, 11 розв'язком е г-вим1рний вектор:
С-2 = Рво С—2г, С-2г € КГ. (2.12)
Ыдставивши (2.12) в (2.7), отримаемо r-параметричну множину розв'язюв крайово' за-дачi (2.6):
x-3(t) = Xr(t)PBoc-2r, c-2r € Rr. (2.13)
За теоремою 1 крайова задача (2.8) мае r-параметричну множину розв'язюв:
x-2(t, c-i) = X(t)c-i + (G[Qi(s)x-3(s)])(t) + X(t)D+liх-^,е), c-i € Rr. (2.14)
Ыдставимо (2.13) в (2.14), тодi r-параметрична множина розв'язюв крайово'задачi (2.8), матиме вигляд:
х-2(t, c-i) = X(t)c-i + Gi(t)PB0c-2r, c-i € Rr, (2.15)
де матриця Gi(t) мае вигляд (2.3).
Невщомий вектор c-i буде знайдено на наступному крощ з умови розв'язност край-ово1 задачi, утворено1 при е 1. При е-1 маемо крайову задачу:
(P(t)x'-i)' - Q(t)x-i = Qi(t)x-2, t € [a,b], (2.16)
lx-i (■,е) = lix-2(^,e). Згщно теореми 1 умова розв'язност крайово'' задачi (2.16) е такою:
PD* jlix-2(■) - l j K(■,s)P-i(s)Qi(s)x-2(s)ds| =0, d = m - ni. (2.17)
Шдставимо (2.15) в (2.17), звщки, враховуючи позначення (2.1) та (2.2), отримаемо алгебра'чну систему вщносно невiдомого вектора c-i € Rr:
Вое-i = -В^во c-2r. (2.18) Умова розв'язност алгебра'чно'' системи (2.18) е такою:
Pb* [-В^воc-2r]=0. (2.19) Позначимо за (d х r)-вимiрну матрицю В1 таку матрицю:
Вi := -PB* В^. (2.20) Враховуючи позначення (2.20), рiвнiсть (2.19) перепишемо у виглядi:
В1 c-2r = 0. (2.21) Запишемо r-параметричну множину розв'язюв алгебра'чно' системи (2.18):
c-i = В^-В^воc-2r] + Pboc-ir, c-ir € Rr. (2.22)
Шдставимо (2.22) в (2.15), шсля чого отримаемо r-параметричну множину розв'язюв крайово''задачi (2.8):
x-2(t, c-i) = Xr(t)PBoc-ir + [Xr(t)В+[-В1] + Gi(t)]PBoc-2r, c-ir € Rr. (2.23)
Зг!дно теореми 1 r-параметрична множина розв'язк!в крайово!' задач! (2.16) е такою:
x-i(t, co)= Xr(t)co + (G[Qi(s)x-2(s)])(t) + X(t)D+hx-2(-,e), co G Rr. (2.24)
Позначимо за (n x г)-вим!рну матрицю G2(t) матрицю вигляду:
G2(t) = (G[Q1 (s)Gi(s)])(t) + X (t)D+llGl(-), (2.25)
тод!, застосовуючи до (2.24) позначення (2.3) та (2.25), отримаемо:
x-i(t, co) = Xr(t)co + Gi(t)PB0С— ir + [Gi(t)B+[-Bi] + G2(t)]Ps0c-2r. (2.26)
(2.26)-г-параметрична множина розв'язк!в крайово!задач! (2.16). Нев!домий вектор co G Rr буде знайдено на наступному кроц!.
При маемо неоднор!дну крайову задачу:
(P(t)x'0)' - Q(t)xo = Qi(t)x—i + f (t), t G [a,b], (2.27)
lx0(-,e) = lix—i(-,e) + a. Згщно теореми 1 умова розв'язност! крайово! задач! (2.27) е такою:
PD*d |hx—i(-)+ a - l J K(■,s)P—i(s)[Qi(s)x—i(s) + f (s)]dsj = 0, d = m - ni. (2.28)
В (2.28) п!дставимо (2.26) та зробивши вщповщн! перетворення, отримаемо алгеб-ра!чну систему в!дносно нев!домого вектора co G Rr :
Boco = Ф0 - BiPb0c—ir - [BiB+[-Bi] + B2]Pboc—2r. (2.29)
В (2.29) Bo та Bi — матриц! вигляду (2.1), (2.2) в!дпов!дно, (d x г)-вим!рна матриця B2 та d-вимфна вектор-функщя фo визначен! так:
г ь
B2 := Pd*{liG2( ■) - l Kt,s)P —i(s)Qi(s)G2(s)ds}, d = m - ni, (2.30)
J a
Г ь
Фo = PDd[a - l / K(■, s)P —i(s)Qi(s)f (s)ds]. (2.31)
J a
Умова розв'язност! алгебра!чно! системи (2.29) е такою:
Pb* [<fio - BiPBoc—ir - [BiB+[-Bi] + B2]Pbo —r] = 0. (2.32)
Покладемо
B2i := BiB+ [-Bi] + B2, (2.33) B2i-(d x г)-вим!рна матриця. Зв!дки,
-Pb*BiPb0c—ir = Pb* [B2iPb0c—2r - Ы- (2.34)
В (2.34) добуток матриць -Pb*B1Pb0, згщно позначення (2.20) е (d x г)-вим!рною матрицею Bi, отже, умова (2.34) р!вносильна умов!:
Bic—ir = Pb* [B2iPboc—2r - фo}■ (2.35) ISSN 0203-3755 Динамические системы, 2014, том 4(32), №1-2
Умова розв'язност алгебршчно! системи (2.35) така:
РщРб* [B21PB0c-2r - Ф0] = 0, (2.36)
умова (2.36) виконуеться, якщо Рб*Рб* = 0.
Умова розв'язност алгебршчно!' системи (2.35) е умовою розв'язност алгебра!чно! системи (2.29). Отже, алгебра!чна система (2.29) е розв'язною i мае r-параметричну множину розв'язюв:
Со = Рвоcor + В+[фо - BiРвоc-ir - B21PB0c-2r], cor € Rr. (2.37)
Значення вектора Со вигляду (2.37) шдставимо в (2.26), шсля чого r-параметрична мно-жина розв'язкiв крайово!' задачi (2.16) е такою:
X-i(t,co) = Xr (t)PBo cor + {Xr (t)B+[-Bi] + Gi(t)}PBo c-ir + {Xr (t)B+[-B2i] +
+ Gi(t)B+[-Bi] + G2(t)}PBoc-2r + Xr(t)B+<po, cor € Rr. (2.38)
Згщно теореми 1 крайова задача (2.27) мае r-параметричну множину розв'язюв:
xo(t, ci) = X(t)ci + (G[Qi(s)x-i(s) + f (s)])(t) + X(t)D+(hx-i(-) + a), ci € Rr. (2.39)
Шдставимо x-i(t, c0) в (2.39). Позначимо за G3(t)-(n x r)-вимiрну матрицю, та за G^ (t)-п-вим1рну векторну функщю:
G3(t) := (G[Qi(s)G2(s)])(t) + X(t)D+hG2(-), (2.40)
G00) (t):=(G[f (s)])(t) + X (t)D+a. (2.41)
Тад r-параметрична множина розв'язкiв крайово! задачi (2.27) е такою:
xo(t, ci) = X (t)ci + Gi(t)PBo cor + {Gi(t)B+[-Bi] + G2(t)}PBo c-ir +
+ {Gi(t)B+[-B2i] + G2(t)B+[-Bi] + G3(t)}PBoc-2r + Gi(t)B+<po + G^W, ci € Rr.
(2.42)
Вектор ci буде знайдено на наступному крощ. При £i маемо неоднорщну крайову задачу:
(Р(t)xi)' - Q(t)xi = Qi(t)xo, t € [a, b], (2.43)
lxi (-,£) = lixo (•,£). Згщно теореми 1 умова розв'язност крайово! задачi е такою:
PD*^lixo(-) - l J K(-,s)P-i(s)Qi(s)xo(s)ds j = 0, d = m - ni. (2.44)
В (2.44) шдставимо (2.42). Використовуючи позначення (2.1), (2.2), (2.30), (2.33) отримаемо алгебрш'чну систему вщносно невщомого вектора ci € Rr :
Boci = ^i - BiB+^o - BiPbocor - B2iPBoc-ir - B3iPboc-2r. (2.45)
у (2.45) ^>i-d-BHMipHa вектор-функщя вигляду:
f b
Ф1 = Po*[liG^t) - l K(•,s)P-1(s)Qi(s)G00)(s)ds\. (2.46)
Ja
У (2.45) (d x r)-вимiрна матриця B31 визначена так:
B31 : = BB+[-B21] + B2B+—B1] + B3. (2.47)
Умова розв'язност алгебра1чно1 системи (2.45) е такою:
Pb* [ф1 - B1B+p0 - BPbocor - B21 Pßoc-1r - B31 PboC—2r] = 0. (2.48)
Звщки, враховуючи позначення (2.20), маемо:
B1Cor = Pb* [B21 Pboc-1r + B31PB0c-2r + B1 B+фо - Ф1]. (2.49)
(2.49)-алгебра1чна система вiдносно вектора cor € Rr. Умова розв'язностi алгебра1чно1 системи (2.49) е такою:
Pb*Pb* [B21PB0c-1r + B31Pb0c-2r + B1B+i£o - Ф1] = 0. (2.50)
Умова розв'язност (2.50) алгебра1чно1 системи (2.49) виконуеться, якщо мае мiсце рiв-шсть: Pb*Pb* = 0. З умови розв'язност (2.50) алгебра1чно1 системи (2.49) випливае розв'язшсть алгебра1чно1 системи (2.45) вщносно невiдомого вектора c1 € Rr. r-параметрична множина розв'язкiв алгебрашно!" системи (2.45) така:
c1 = Pboc1r + B+{f1 - B1B+ifo - B1PB0cor - B21PB0c-1r - B31Pb0c-2r}, c1r € Rr. (2.51)
Ыдставимо (2.51) в (2.42), шсля чого отримаемо r-параметричну множину розв'язшв крайово1 задачi (2.27):
xo(t, c1) = Xr(t)PBoc1r + [Xr(t)B+ [-B1] + G1(t)]PBocor+
+ {Xr (t)B+[-B21] + G1(t)B+[-B1 ] + G2(t)}PBo c-1r+ + {Xr (t)B+[-B31] + G1 (t)B+ [-B21] + G2(t)B+[-B1] + G3(t)}PBo c-2r+
+ Xr (t)B+[<fi1 - B1B+<po]+ G1(t)B+<po + G{o\t), c1r € Rr. (2.52)
Згщно теореми 1 крайова задача (2.43) мае r-параметричну множину розв'язшв:
X1(t, c2) = X(t)c2 + (G[Q1(s)xo(s)])(t) + X(t)D+hxot), c2 € Rr. (2.53)
(2.52) шдставимо в (2.53). Враховуючи рашше введет позначення функцт (2.3), (2.25), (2.40) та, поклавши за G4(t)-(n x r)-вимiрну матрицю-функщю, за G01)(t)-n-вимiрну вектор-функцда:
G4(t) := (G[Q1(s)G3(s)])(t) + X(t)D+hG3(•), (2.54)
G0\t) := (G[Q1(s)G0)(s)])(t)+ X(t)D+l1G0\•), (2.55)
з (2.53) отримаемо r-параметричну множину розв'язк1в крайово1 задач1 (2.43):
xl(t, С2) = Xr (t)c2 + G1(t)Pß0 dr + {Gl(t)B+[-Bl] + G2(t)}Ps0 cor + + {Gi(t)B+—B2i ] + G2(t)B+[-Bi] + G3(t)}Pß0 c-ir + {Gi(t)B+[-B3i] + G2(t)B+[-B2i] + G3(t)B+[-Bi] + G4(t)}Pß0 c-2r+
+ Gi(t)B0 Wi - BiB+ ф0} + G2(t)Bo Ф0 + G{¿\t), c2 e Rr. (2.56)
Нев1домий вектор c2 e Rr буде знайдено на наступному кроц1 з умови розв'язност1
2
крайово1 задач1, утворено1 при е2.
При е2 маемо неоднор1дну крайову задачу:
(P(t)x'2)' - Q(t)x2 = Qi(t)xi, t e [a, b], (2.57)
lx2 t,e) = lixi (•,е). Зг1дно теореми 1 умова розв'язност1 крайово! задач1 (2.57) е такою:
Pd* {lixit) - l a K(•, s)P-i(s)Qi(s)xi(s)dsI = 0. (2.58)
П1дставимо (2.56) в (2.58). Враховуючи позначення (2.1), (2.2), (2.30), (2.33), (2.47), та, поклавши:
Ф2 := -PD^hG^t) - l K(•,s)P-i(s)Qi(s)Goi)(s)ds], (2.59)
Ja
B^i := BiB+[-B3i] + B2B+[-B2i] + B3B+[-Bi] + B4, (2.60)
в (2.59) та (2.60) ф>2^-вим1рна вектор-функц1я, B^i-(d х г)-вим1рна матриця в1дпов1дно; тод1 з (2.58) отримаемо алгебра'чну систему в1дносно нев1домого вектора c2 e Rr:
B0c2 = -BiPB0cir - B2iPB0c0r - B3iPBoc— ir - B4iPBoc-2r -
- BiB+{tpi - BiB+фо} - B2B+v 0 + Ф2- (2.61) Умова розв'язност1 алгебра1'чно1 системи (2.61) е такою:
PB* {ф2 - BiPB0cir - B2iPBo c0r - B3iPBo c— ir - B4iPB0c—2r -
- BiB+{<fi - BiB+фо} - B2B+<fo} = 0. (2.62)
Зв1дки, враховуючи, що Bi := -Pb*BiPb0, р1вн1сть (2.62) матиме вигляд: Bicir = Pb* {B2iPb 0 c0r + B3i PBo c—ir + B4iPBo c—2r -
- ф2 + BiB+tei - BiB+фо} + B2B+Vo}. (2.63) (2.63)-алгебра1'чна система в1дносно вектора cir e Rr, 11 умова розв'язност1:
Pb**Pb* {B2iPBo cor + B3iPbo c—ir + B4iPBo c—2r -
- Ф2 + BiB+ф - BiB+фо} + B2B+<fo} = 0. (2.64)
Умова (2.64) виконуеться, якщо мае мюце рiвнiсть: PB* Pb* = 0. Запишемо розв'язок алгебра1чно1 системи (2.61):
c2 = Pbo c2r + B+ф - B1PB0 c1r - B21 Pbo cor - B31PB0 —r - B41PB0 c-2r -
- B1B+&1 - B1B+ фо}- B2B+po}, c2r € Rr, (2.65)
(2.65) - розв'язок алгебра1чно1 системи (2.61). Знаючи вектор c2, можна записати r-параметричну множину розв'язюв крайово'1 задачi (2.43):
x1(t, c2) = Xr (t)PBo c2r + {Xr (t)B+[-B1] + G1(t)}PBo c1r + {Xr (t)B+[-B21] +
+ G1(t)B+[-B1] + G2(t)}PBo cor+ + {Xr (t)B+[-B31] + G1 (t)B+ [-B21] + G2(t)B+[-B1] + G3(t)}PB0 c-1r+ + {Xr (t)B+[-B41] + G1(t)B+[-B31] + G2(t)B+[-B21] + G3(t)B+[-B1] + G4(t)}PB0 c-2r+ + Xr(t)B+{V2 - B1B+&1 - B1 B+фо} - B2B+Vo}+
+ G1(t)B+ {ф1 - B1B+ ф0} + G2(t)B+ фо + G0\t). (2.66)
Запишемо r-параметричну множину розв'язюв крайово1 задачi (2.57):
x2(t, c3) = Xr(t)c3 + (G[Q1(s)x1 (s)])(t) + X(t)D+hX^), c3 € Rr. (2.67)
Ыдставимо x1(t, c2) в (2.67), використовуючи рашше введет позначення (2.3), (2.25),
(2.40), (2.54) та позначивши за (n x r)-вимiрну матрицю-функщю G$(t) та n-вимiрну
(2)
векторну функщю G0 (t) функцп:
G5(t) = (G[Q1 (s)G4(s)])(t) + X (t)D+hG4(•), (2.68)
G0\t) = (G[Q1(s)G0\s)])(t)+ X (t)D+hG0\) (2.69)
в результата чого r-параметрична множина (2.67) розв'язюв крайово1 задачi (2.57) набуде вигляду:
x2(t, c3) = Xr (t)c3 + G1(t)PBo c2r + {G1 (t)B+[-B1] + G2(t)}PBo c1r + + {G1(t)B+[-B21] + G2(t)B+[-B1] + G3(t)}PBo cor+ + {G1(t)B+[-B31] + G2(t)B+[-B21] + G3(t)B+[-B1] + G4(t)}^Bo c-1r+ + {G1(t)B+[-B41 ] + G2(t)B+[-B31] + G3(t)B+[-B21] + G4(t)B+[-B1] + G5(t)}PB0 c-2r+ + G1(t)B+&2 - B1B+&1 - BlB+фo} - B2B+фo}+
+ G2(t)B+ {ф1 - B1B+ ф0} + G3(t)B+ ф0 + G^tf). (2.70)
Вектор c3 € Rr буде знайдено на наступному крощ.
Продовжуючи цей процес, при ek, k > 1, маемо неоднорщну крайову задачу:
(P(t)xk)' - Q(t)xk = Q1(t)xk-1, t € [a, b], (2.71)
lxk (•,£) = hxk-1t,e),
яка, згщно теореми 1 мае умову розв'язностк
Рщ |г1хк-1(■) - I а К(■, в)Р-l(s)Ql(s)xk-1(s)ds^ = 0, (2.72)
з яко1 випливае алгебраина система вщносно невщомого вектора Ск: Во Ск = Фк - В1В+{фк-1 - В1В+{фк-2 - В1В+{фк-з-
- В1В+{фк-4 - ... - Вк-4В+фо} - ... - Вк-2В+Фо} - ... - Вк-2В+{ф1 - В1В+ Фо}-
- Вк-1В+фо} - ... - Вк-1В+{ф1 - В1В+Ф0} - Вк В+фо. (2.73)
яка розв'язна, коли виконуеться умова
РЕ1РВ0 =0. (2.74)
г-параметрична множина розв'язюв алгебра1чно1 системи (2.73) така:
Ск = РБ0 Скг + В+[Фк - В1РБ0 Скг - В21РБ0 С(к-1)г - — - Вк+2РБ0 С-2г-
- В1В+{Фк-1 - В1В+{Фк-2 - В1В+{Фк-з - В1В+{...}- ... - Вк-2В+Фо}-
- ... - Вк-2В+Фо{Ф1 - В1В+ Фо} - Вк-1В+Фо} - ... - Вк-1В+Фо }-
- ... - Вк-2В+Фо{Ф1 - В1В+ Фо} - Вк В+Фо], Скг € Ег, (2.75)
тут
Г ь
Фк := -Рп^кС^Ч-) - I К(-^)Р-1
■) а
с™® = (см^с^т® + х №+10-1) (■).
г-параметрична множина розв'язюв крайово!' задач1 (2.71) е такою:
хк(г, Ск+1) = хг(г)Ск+1 + С1(г)РБ0Скг + {С1(г)В+[-В1] + С2(г)}Рв0с(—)г+
+ {С1(г)В+[-В21] + С2(г)В+[-В1] + Сз(г)}РБ0 С{—)г +...+ + {С1(г)В+[-В(к+2)] + С2(г)В+[-В{к+1)] +... + Ск+2(г)В+[-В1] + Ск+з (1)}Рб0—г+ + С1(г)В+ ■ {Фк - В1В+{Ф— - ВВ+ {Фк-2 - В1В+{Ф— - В1В+1..}-... -- Вк-2В+Фо} - ... - Вк—2 {Ф1 - В1В+Фо} - Вк-1 В+Фо} - ... -- Вк-1В+{Ф1 - В1В+Фо} - Вк В+Фо}} + С2(г)В+{Фк-1-
- В1В+ {Фк-2 - В1В+{Фк-33 - В1В+{. ..}- ... - Вк-2В+Фо} - ... -
- Вк-2В+{Ф1 - В1В+ Фо} - Вк-1В+Фо} - ... - Вк-1В+{Ф1 - В1В+Фо}-
- Вк В+Фо} + ... + Ск (г)В+{Ф1 - В1В+Фо} + Ск+1В+Фо + С{окЧг), Ск+1 € Кг. (2.76)
За допомогою методу математично'1 шдукцп для довшьного натурального к > 1 мож-на довести, що крайова задача вигляду (2.71), утворена шсля подстановки ряду (2.5) в крайову задачу (1.1), (1.2) та прир1вняння вщповщних коефщ1ент1в при кожному з1 сте-пешв ек, розв'язна, якщо виконуеться умова (2.74), та мае при цьому г-параметричну множину розв'язюв (2.76).
Зб1жшсть ряду Лорана доводиться за допомогою традицшних метод1в мажорування
[5]. □
Доведення теореми базуеться на метод1 Вшика-Люстернжа [5]. Отримаш в робот
результати е узагальненням результатав, наведених в [13, 15] та узгоджуються з рашше
отриманими в теорп крайових задач результатами [1, 2, 8, 14, 15, 16].
Перелж цитованих джерел
1. Бойчук А. А. Конструктивные методы анализа краевых задач. — К.: Наук. думка, 1990. — 96 с.
2. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нете-ровы краевые задачи. — Ки!'в: Труди 1нституту математики НАН Украши, 1995. — 318 с.
3. Бойчук А. А., Чуйко С. М. Автономные слабонелинейные краевые задачи // Дифференц. уравнения. — 1992. — Т. 28, №10. —С. 1668-1674.
4. Бойчук И. А., Чуйко С. М. Автономная нетерова краевая задача в критическом случае // Нелшшт коливання. — 2009. — Т. 12, №3. — С. 405-416.
5. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущениях в случае матриц и самоспряженных и несамоспряженных диффференциальных уравнений // Успехи матем. наук. — 1960. — Т.15, №3. — С. 3-80.
6. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984. — 318 с.
7. Кублановская В. И. О вычислении обобщенной обратной матрицы и проекторов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1966. — Т.6, №2. — С. 326-332.
8. Чуйко С. М. Возникновение решений линейной нетеровой краевой задачи // Укр. мат. журнал. — 2007. — Т.59, №8. — С. 1148-1152.
9. Чуйко С. М. Область сходимости итерационной процедуры для автономной краевой задачи // Нелшшш коливання. — 2006. — Т.9, №3. —С. 416-432.
10. Чуйко С. М, Бойчук И. А., Пирус О. Е. О приближенном решении автономной краевой задачи методом Ньютона // Нелшшш коливання. — 2012. — Т.15, №2. — С. 274-288.
11. Чуйко С. М., Старкова О. В. Автономные краевые задачи в частном критическом случае // Динамические системы. — 2009. — Вып. 27. —С. 127-142.
12. Шовкопляс Т. В. Достатш умови б1фуркацп розв'язку 1мпульсно1' крайово!' задач1 з1 збурен-ням // Динамические системы. — 2010. — Вып. 28. — С. 141-152.
13. Шовкопляс Т. В. Достатш умови виникнення розв'язку слабкозбурено!' крайово!' задач1 // Динамические системы. — 2009. — Вып. 27. — С. 143-149.
14. Шовкопляс Т. В. Критерш розв'язност лшшно!' крайово!' задач1 для системи другого порядку // УМЖ. — 2000. — Т.52, №6. — С. 861-864.
15. Шовкопляс Т. В. Слабкозбуреш лшшш крайов1 задач1 для системи диференщальних р1внянь другого порядку // Допов1д1 НАН Украши. — 2002. — №4. — С. 31-36.
16. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. // Utrecht, Boston: VPS. — 2004. — 317 p.
17. A. A. Boichuk, L. M. Shegda Bifurcation of Solutions of Singular Fredholm Boundary Value Problems //Differential Equations.— Pleiades Pbblishing, Ltd., 2011. — Vol.47, №4. —p. 453-461.
Получена 23.05.2014
