CC BY
25
УДК 519. 863
УЧЕТ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ
Т. К. Юлдашев1, А. Н. Абдулложонова2
1Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
Е-mail: tursunbay@rambler.ru 2Ошский государственный университет Кыргызстан, 723500, г. Ош, ул. Масалиева, 80 Е-mail: aziza.abdullazhanova.81@mail.ru
Построена математическая модель с запаздыванием оптимального управления производственным процессом малых предприятий, описывающая связь изменения объема производимой продукции с изменением ценообразования на рынке. При решении задачи оптимального управления применяется метод вариационного исчисления на условный минимум.
Ключевые слова: математическая модель, оптимальное управление с запаздыванием, объем продукции, ценообразование, вариационная задача на условный минимум.
ACCUNTING THE DELAY IN A MATHEMATICAL MODEL OF CONTROL
Т. К. Yuldashev1, A. N. Abdullozhonova2
1Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: tursunbay@rambler.ru 2Osh State University 80, Masaliev Str., Osh, Kyrgyzstan, 723500 Е-mail: aziza.abdullazhanova.81@mail.ru
Is constructed a mathematical model with delay of optimal control on the production process of small enterprises, which describes the relationship between the change in the volume of products and the change in market pricing. Is applied the method of the variation calculus for the conditional minimum in solving the problem of optimal control.
Keywords: Mathematical model, optimal control with delay, volume of products, market pricing, variation problem for the conditional minimum.
Математическая теория оптимального управления связано с ростом требований к быстродействию и точности систем регулирования. Сложность задач математической теории оптимального управления потребовала более широкой математической базы для ее построения. Здесь используются вариационное исчисление и теории дифференциальных и интегральных уравнений. Приближенные методы решения задач оптимального управления рассматривались в работах многих авторов, в частности в работах первого автора [1-5].
Рассматривается производственный процесс одного предприятия в условиях рыночных отношений. Пусть u (t) - объем продукции предприятия, реализованной к моменту времени t. Его доход к данному моменту времени t составит
y (t) = p (t) u (t), (1)
p (t) - рыночная цена реализации продукции производимой предприятием в момент времени t. Из (1) видно, что если цена реализации продукции возрастает, то и доход предприятия тоже воз-
растает к данному моменту времени t. Но, повышение цены может отрицательно отражаться в скорости реализации товара, производимой предприятием. Путем дифференцирования формулы (1) по времени t находим скорость реализации продукции
y (t) = p (t) и (t) + p (t) и (t), (2)
p (t) - тенденция формирования ценообразования. Нас интересует случай, когда y (t) > 0, т. е. с каждым днем больше продукции реализуются. Из формулы (2) видно, что это зависит от тенденции формирования ценообразования p (t) и скорости выпуска продукции U (t). Но p (t) определяется из равновесия спроса и предложения на рынке к моменту времени t.
Скорость выпуска продукции определяется из следующего соотношения
U (t) = a(t) z (t - т (t)), (3)
где z (t) - функция инвестиций, направленных на расширение производства, a (t) - коэффициент эффективности использования инвестиций, 0 <a(t) < 1,0 <10 <т(t) <t. Если функция запаздывания т (t) меньше будет, то это способствует тому, что скорость выпуска продукции больше становится. Если т (t) = t, то процесс инвестирования будет останавливаться. Очевидно, что запаздывание т (t) зависит от объема продукции и (t) и скорости реализации производимой предприятием продукции y (t) к моменту времени т(t) = т (t,и (t), y (t) ).т(t) = т (t,и (t), y (t)). Тогда формула (3) приобретает вид
и(t) = a(t)z(t-т (t,и(t), y(t))). (4)
Величина инвестиций z (t) является частью дохода
z (t) = q (t) y (t), (5)
где q (t) - доля прибыли в составе дохода, 0 < q (t) < 1. Подставляя (5) в (4), получаем
и(t) = a(t)q(t-т (t,и(t), y(t) ))y (t-т (t,и(t), y(t) )). (6)
Из формулы (6) следует, что величина скорости выпуска продукции и (t) взаимосвязана с величиной рентабельности производства. Запаздывание т характеризуется величиной продукции, накопленных в складах предприятия, и скоростью выпуска продукции к данному моменту времени t. Подстановка (6) в (2) дает нам следующее дифференциальное уравнение
y(t) = p(t)и(t) + p(t)q(t-т (t,и(t), y(t) ))y (t-т (t,и(t), y(t) )). (7)
где 0 <P(t) <1,0 <P(t) <1, 0 < q (t) < 1- 0 < q (t) < 1- известные функции, y (t) - неизвестная функция, и(t)- функция управления, t-т (t,и(t), y(t) )>t0 -^,0 <^ = const. В уравнении (7) учтем фактор внешнего воздействия f (t). Отметим, что фактор внешнего воздействия чаще всего зависит от дохода самого предприятия. Если не учтем малых и случайных внешних факторов, то дифференциальное уравнение (7) приобретает вид
y(t) = p(t)и(t) + p(t) q [t-т (t,и(t), y(t) )] y [t-т (t,и(t), y(t) )] + f (t,y(t)). (8)
На большом временном отрезке [t -т (t, и (t), y (t)); t ] максимизировать доход предприятия практически невозможно. Поэтому этот вопрос решается путем минимизации функции запаздывания т (t, и (t), y (t)) управлением объемом продукции на отрезке времени DT . В равенстве (5) положим, что q(t) = q0 = const, t e [ 10 ; 11 J. Тогда уравнение (8) принимает более упрощенный вид
у (0 = к (г) и (г) + р (г) У [г-т (г, и (г), у (г))] + / (г, у (г)), (9)
где к (г) = р (г), р (г) = q 0 р (г). Уравнение (9) рассмотрим при начальном условии
у (г) = Ф(г), г е[ г о г о ], (10)
где Ф (г) е С [ го го ]. Таким образом, мы пришли к следующей постановке задачи оптимального управления. Найти управление и * (г) е С1 [ г 0; Т ] и состояние функции у * (г) е С1 [ г 0; Т ] - решение задачи (9), (10), что доставляют минимум функционалу
Т
3 [и ] = | т (г, и (г), у (г))). (11)
г о.
Данная задача является вариационной задачей на условный минимум. Для её решения вводим в рассмотрение новый функционал
Т
3 [и ] = | Т (г, и (г), у (г), у (г), у (г))), (12)
г о.
в котором
+у (г) • [у (г) - к (г) и (г) - р (г) у [г - т (г, и (г), у (г)) ] - / (г, у (г)) ], +у (г) • [у (г) - к (г) и (г) - р (г) у [г - т (г, и (г), у (г)) ] - / (г, у (г)) ],
где у (г) пока неизвестная функция, называемая множителем Лагранжа. С помощью этого множителя задача об условном минимуме функционала (11) сводится к задаче на безусловный минимум функционала (12). Уравнения Эйлера для безусловных экстремалей функционала (12) имеют вид
т1-у (г)—{к (г) и (г) + р (г) у [г-т (г, и (г), у (г))]} = о;
о и т и
тт 0
Т--У (г)—{к (г) и (г) + р (г) у [г-т (г, и (г), у (г))]} = о;
о и о и
Ту = у (г) - к (г) и (г) - р (г) у [г-т (г, и (г), у (г)) ] - / (г, у (г)). Ту = у (г) - к (г) и (г) - р (г) у [г-т (г, и (г), у (г)) ] - / (г, у (г)).
Если кривые доставляют безусловный минимум функционалу (12), то на них достигается и условный минимум функционала (11). Если эти кривые доставляют безусловный минимум функционалу (12), то они будут доставлять минимум и в более узком классе кривых, удовлетворяющих дифференциальному уравнению (9).
Библиографические ссылки
1. Юлдашев Т. К. Приближенное решение нелинейного параболического и обыкновенного дифференциального уравнений и приближенный расчет функционала качества при известных управляющих воздействиях // Проблемы управления. 2о14. № 4. С. 2-8.
2. Юлдашев Т. К. О построении приближений для оптимального управления в квазилинейных уравнениях с частными производными первого порядка // Матем. теория игр и её приложения. 2о14. Т.6. № 3. С. Ю5-119.
3. Юлдашев Т. К. Приближенное решение точечной подвижной задачи оптимального управления для нелинейного гиперболического уравнения // Моделирование и анализ информационных систем. 2014. Т. 21. № 3. С. 106-120.
4. Юлдашев Т. К. Нелинейная точечная задача оптимального управления для псевдопараболического уравнения // Вестник ВоронежГУ. Сер. Системный анализ и информационные технологии. 2014. № 3. С. 9-16.
5. Юлдашев Т. К. Приближенное решение системы нелинейных интегральных уравнений Вольтерра с максимумами и приближенное вычисление функционала качества // Вестник Воро-нежГУ. Сер. Системный анализ и информационные технологии. 2015. № 2. С. 13-20.
© Юлдашев Т. К., Абдулложонова А. Н., 2017
