CC BY
35
УДК 517. 91
ОБ ОДНОМ ПРИЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА С МАКСИМУМАМИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИМ ПРОЦЕССОМ
С. М. Овсяников Научный руководитель - Т. К. Юлдашев
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева
Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 Е-mail: tursunbay@rambler.ru, s.ovsianikov@yandex.ru
Разработана математическая модель управления производственным процессом компании, которая описывается задачей нелинейного оптимального управления для нелинейных интегральных уравнений со сложными максимумами.
Ключевые слова: оптимальное управление, математическая модель, интегральное уравнение, уравнение со сложными максимумами, управление производственным процессом.
AN APPLICATION OF VOLTERRA INTEGRAL EQUATIONS WITH MAXIMA IN CONTROL PROBLEMS OF THE ECONOMIC PROCESS
S. M. Ovsyanikov Scientific supervisor - Т. К. Yuldashev
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: tursunbay@rambler.ru, s.ovsianikov@yandex.ru
In this paper we developed the mathematical model of the production process control of the company, which describes by the problem of nonlinear optimal control for nonlinear integral equations with complicated maxima.
Keywords: optimal control, mathematical model, integral equation, equation with complicated maxima, control of production process.
Современные методы решения задач управления основываются на концепции оптимальности, что определяет широкое применение методов и алгоритмов теории оптимизации при проектировании и совершенствовании систем управления. Многие задачи управления формулируются как конечномерные оптимизационные задачи. К таким задачам относятся и задачи адаптивных систем управления. Разрабатываются эффективные численные методы и программные средства для решения задач динамики и управления. При приближенном решении задач оптимального управления используются широкий спектр разных методов (см., напр. [1-10]).
В данной работе рассматривается математическая модель управления производственным процессом, которая описывается нелинейным интегральным уравнением с нелинейными максимумами. Рассмотрим производственный процесс одной компании в условиях рыночных отношений. Объем продукций обозначим через u (t). Тогда доход компании от реализации продукции к данному моменту времени t составляет
y(t) = p(t) u(t), (1)
где p (t) - рыночная цена реализации продукции производимой компанией в момент времени t.
Из (1) видно, что если цена реализации продукции возрастает, то и доход предприятия тоже возрастает к данному моменту времени t. Но, повышение цены может отрицательно отражаться в скорости дальнейшей реализации товара, производимой компанией. Путем дифференцирования соотношения (1) по времени t находим скорость реализации продукции
Секция «Математические методы моделирования, управления и анализа данных»
y'(t) = p'(t) u (t) + p (t) u'(t), (2)
где p ' (t) - тенденция формирования ценообразования продукции.
Нас интересует случай, когда y'(t) > 0, то есть с течением времени все больше и больше продукции реализуются. Из формулы (2) видно, что это зависит от тенденции формирования ценообразования p'(t) и скорости выпуска продукции u'(t). Но, p'(t) определяется из равновесия спроса и предложения на продукцию на рынке к моменту времени t. Скорость выпуска продукции определяется из следующего соотношения
u' (t) = a(t) z (t — т (t)), (3)
где z (t) — функция инвестиций, направленных на расширение производства продукции; a (t) — коэффициент эффективности использования инвестиций; 0 <a(t) < 1, 0 <10 <т(t) < t.
Если функция запаздывания т (t) меньше будет, то это способствует тому, что скорость выпуска продукции больше становится. Если т(t) = t, то процесс инвестирования будет останавливаться. Очевидно, что запаздывание т (t) зависит от объема продукций u (t) и скорости реализации производимых компанией продукций y'(t) к моменту времени t, то есть т (t) = т^, u (t), y \t) ). Тогда формула (3) приобретает вид
u'(t) = a(t) z (t - т (t, u (t), y '(t) )). (4)
Величина инвестиций z (t) является частью дохода
z (t) = q (t) y (t), (5)
где q (t) - доля прибыли в составе дохода от реализации продукции, 0 < q (t) < 1. Величина q (t) характеризует рентабельность производства продукции. Подставляя (5) в (4), получаем
u'(t) = a (t) q (t — т (t, u (t), y '(t) ) ) y (t — ^t, u (t), y '(t) ) ). (6)
Из формулы (6) следует, что величина скорости выпуска продукции u'(t) взаимосвязана с величиной рентабельности производства этой продукции. Запаздывание т характеризуется величиной продукций, накопленных в складах компании, и скоростью выпуска продукций к данному моменту времени t. Подстановка (6) в (2) дает нам следующую дифференциальную уравнению
y'(t) = p'(t)u (t) + p (t) a (t) q (t — ^t, u (t), y '(t) ) ) y (t — т(t,u (t), y '(t) ) ), (7)
где 0 < q (t) < 1— известные функции; y (t)- неизвестная функция; u (t) — функция управления, t — т (t, u (t), y '(t) )>t 0 —n, 0 <n = const.
Рассмотрим вопрос о максимизации дохода предприятия от реализации его продукции на отрезке времени [t — т (t, u (t), y '(t) ); t ] . В этом случае дифференциальное уравнение (7) принимает вид
y'(t) = p' (t) u (t) + p (t) max { q (0): 0e[t — т(t,u (t), y '(t) ); t ]j x
xmax{ y (0):0 e [t — т(t,u (t), y '(t));t ]j, (8)
где P (t) = p (t) a (t), 0 <p (t) < 1. В дифференциальном уравнении (8) учтем фактор внешнего воздействия f (t). Отметим, что фактор внешнего воздействия чаще всего зависит от дохода самой компании. Если учтем случайных внешних факторов, то дифференциальное уравнение (8) приобретает вид
y'(t) = p'(t)u (t) +p (t) max { q (0):0e[t — т(, u (t), y '(t) ); t ]} x
xmax{y(0):0e[t — т(,u(t), y'(t));t]} + f (t,y(t),£(t)), (9)
где £ (t) — непрерывный случайный процесс.
Дифференциального уравнения (9) будем рассматривать при начальном условии у'(0 = ф(0, * е[-п; * 0 ] ,0 <п = соп81;. На большом временном отрезке [*-т(*, и (*), у '(*) ) ; * ] максимизировать доход компании очень сложно. Поэтому этот вопрос решается путем минимизации
функции запаздывания т(*, и (*), у '(*) ) , управляя объемом продукции на отрезке времени [ * 0;Т ].
*
Примем обозначение у' (*) = 3(*). Тогда с учетом начального условия имеем у (*) = ф(* 0 ) + |3( 5) .
* 0
В этом случае дифференциальное уравнение (9) принимает вид интегрального уравнения Вольтерра 3 (*) = р'(*)и (*) + р (*) тах { ^ (0): 0 е [* - т (,и (*), у '(*) );* ] } х
( * ^ + / *, ф (* 0) + {3 (5) , (*)
ф (* 0) + | тах {3(0):0е[5-т(, и (5), 3 (5) ); 5 ]}
[ * 0 ,
: условием 3(*) = ф(*), *е[-п;*0].
* 0
Библиографические ссылки
1. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М. : Наука, 1982. 432 с.
2. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М. : Наука, 1973.
448 с.
3. Срочко В. А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М. : Физмат-лит, 2000. 160 с.
4. Юлдашев Т. К. Об одной задаче оптимального управления для псевдогиперболического уравнения // Моделирование и анализ информационных систем. 2013. Т. 20. № 5. С. 78-89.
5. Юлдашев Т. К. Приближенное решение задачи оптимального управления для нелинейного псевдопараболического уравнения // Вестн. ВоронежГУ. 2014. № 1. С. 45-51. Сер. Системный анализ и информационные технологии.
6. Юлдашев Т. К. Нелинейная точечная задача оптимального управления для псевдопараболического уравнения // Вестник ВоронежГУ. 2014. № 3. С. 9-16. Сер. Системный анализ и информационные технологии.
7. Юлдашев Т. К. Приближенное решение точечной подвижной задачи оптимального управления для нелинейного гиперболического уравнения // Моделирование и анализ информационных систем. 2014. Т. 21. № 3. С. 106-120.
8. Юлдашев Т. К. О построении приближений для оптимального управления в квазилинейных уравнениях с частными производными первого порядка // Матем. теория игр и её прилож. 2014. Т. 6. № 3. С. 105-119.
9. Юлдашев Т. К. Приближенное решение нелинейного параболического и обыкновенного дифференциального уравнений и приближенный расчет функционала качества при известных управляющих воздействиях // Проблемы управления. 2014. № 4. С. 2-8.
10. Юлдашев Т. К. Приближенное решение дифференциальных уравнений с нелинейным запаздыванием и приближенное вычисление функционала качества при известном управлении // Журн. СВМО. 2014. Т. 16. № 4. С. 75-84.
© Овсяников С. М., 2015
