Нелинейная задача оптимального управления для одной системы с параболическим уравнением при наличии нескольких подвижных источников Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519. 3:62-50

Вестник СибГАУ Том 17, № 1. С. 103-109

НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ С ПАРАБОЛИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ ПРИ НАЛИЧИИ НЕСКОЛЬКИХ ПОДВИЖНЫХ ИСТОЧНИКОВ

Т. К. Юлдашев

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: [email protected]

Во многих задачах нелинейного оптимального управления процессом теплопередачи часто приходится учитывать вспомогательные элементы, без которых невозможно управлять исследуемым процессом. Эти элементы обычно имеют сосредоточенные параметры. Поведение таких систем в общем случае описывается совокупностью нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и параболических уравнений при начальных и граничных условиях. Изучены вопросы аналитического и приближенного решения подвижной точечной задачи нелинейного оптимального управления для одной системы с параболическим и обыкновенным дифференциальными уравнениями при наличии нескольких подвижных источников. При этом параболическое уравнение рассмотрено с начально-нелокальными условиями, а обыкновенное дифференциальное уравнение -с начальным условием. Отличительной чертой данной работы является то, что задание нелокальных граничных условий относительно второй переменной в параболическом уравнении упрощает процедуру применения метода Фурье разделения переменных. Функционал качества имеет нелинейный вид и дополнительно зависит от квадрата решения обыкновенного дифференциального уравнения. Сначала доказано, что функция состояния принадлежит классу соболевских функций. На основе принципа максимума сформулированы необходимые условия нелинейной оптимальности управления. Определение оптимальной управляющей функции сведено к сложному функционально-интегральному уравнению, решение которого состоит из решения отдельно взятых двух уравнений: нелинейных функциональных уравнений и нелинейных интегральных уравнений. При доказательстве однозначной разрешимости интегральных уравнений применен метод последовательных приближений в сочетании его с методом сжимающих отображений. В качестве итераций взят итерационный процесс Пикара. Получена формула для приближенного вычисления подвижного нелинейного оптимального управления и оценка для допускаемой погрешности по оптимальному управлению. Приведены формулы для приближенного вычисления нелинейного оптимального процесса и минимального значения функционала качества. Полученные результаты могут найти дальнейшее применение в развитии математической теории нелинейного оптимального управления системами с распределенными параметрами при наличии подвижных источников.

Ключевые слова: параболическое уравнение, подвижная точечная задача, необходимые условия оптимальности управления, нелинейность управления, минимизация функционала.

Vestnik SibGAU Vol. 17, No. 1, P. 103-109

A NONLINEAR PROBLEM OF OPTIMAL CONTROL FOR A SYSTEM WITH PARABOLIC EQUATION IF THERE ARE SEVERAL

DOT MOBILE SOURCES

Т. К. Yuldashev

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]

In studying many problems of nonlinear optimal control for heat conduction often we have to take into account the auxiliary elements, without which it is impossible to control the studying process. These elements have usually lumped parameters. The behavior of such systems is generally described by a set of nonlinear ordinary differential equations and parabolic equations with initial value and boundary value conditions. It is studied the questions of analytical and approximation solving the nonlinear dot mobile point problem of nonlinear optimal control for a system with parabolic and ordinary differential equations in the case of presence of several dot mobile sources. At that time, the parabolic equation is considered with initial-nonlocal conditions, while ordinary differential equation is considered with initial

value condition. A distinctive feature of this work is that nonlocal boundary conditions with respect to the second variable in the parabolic equation is simplified the application of the Fourier method of separation of variables. Functional of quality has nonlinear type and it additionally depends from the square of solution of the given ordinary differential equation. First, it is proved that the function of the state belongs to the class of Sobolev functions. On the base of maximum principle it is formulated the necessary conditions for nonlinear optimal control. Determination of the optimal control function is reduced to the complex functional-integral equation, the solving process of which is composed of solutions of two different equations: nonlinear functional equations and nonlinear integral equations. In the proof of the one-valued solvability of integral equations the method of successive approximations in combination it with the method of compressing mapping is applied. As iterations the Picard iterative process is taken. The formula for approximation calculating the dot mobile nonlinear optimal control and the estimate for the permissible error with respect to optimal control are obtained. The formulas for approximation calculating the nonlinear optimal process and the minimum value of the functional of quality are given. The results obtained in this work can find further application in the development of the mathematical theory of nonlinear optimal control of distributed parameter systems in the presence of mobile sources.

Keywords: Parabolic equation, dot mobile point problem, necessary conditions for optimal control, nonlinearity of control, functional minimization.

Введение. Математическое моделирование многих процессов, происходящих в реальном мире, приводит к изучению прямых и обратных задач для уравнений в частных производных, не имеющих аналогов в классической математической физике. Теория смешанных задач для уравнений в частных производных в силу ее прикладной важности в настоящее время является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Одним из классов качественно новых задач для дифференциальных уравнений в частных производных являются нелокальные задачи. Нелокальные задачи в виде интегральных условий встречаются при математическом моделировании явлений различной природы, в случае, когда граница области протекания процесса недоступна для непосредственных измерений. Примером могут служить задачи, возникающие при исследовании диффузии частиц в турбулентной плазме, процессов распространения тепла, процесса влагопереноса в капиллярно-пористых средах.

С другой стороны, теория оптимального управления для систем с распределенными параметрами получила бурное развитие. К системам с распределенными параметрами относятся задачи аэрогазодинамики, химических реакций, диффузии, фильтрации, процессов горения, нагрева и т. д. [1-7].

Разрабатываются эффективные численные методы и программные средства для решения задач динамики и управления. При приближенном решении задач оптимального управления системами с распределенными параметрами используется широкий спектр разных методов (см. [8-15]).

Одним из направлений теории оптимального управления системами с распределенными параметрами является разработка методов решения задач оптимального управления при наличии подвижных источников [16]. Во многих задачах нелинейного оптимального управления процессом теплопередачи часто приходится учитывать вспомогательные элементы, без которых невозможно управлять процессом. Эти элементы обычно имеют сосредоточенные параметры. Поведение таких систем в общем случае описывается совокупностью нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и параболических уравнений при начальных и граничных условиях.

В данной работе рассматриваются вопросы аналитического и приближенного решения нелинейной задачи оптимального управления для одной системы с параболическим и обыкновенным дифференциальными уравнениями при смешанных и начальном условиях и с квадратичным критерием оптимальности. При этом предполагается существование нескольких подвижных точечных источников.

Постановка задачи. Рассмотрим в области D нелинейную задачу управления процессом распространения тепла по стержню конечной длины

=_+ £ 5(x-a t (t)) (t, Pk it)) (1)

_t _ x k=i

при начальном

u (t,x)|t =o = Ф(x) (2)

и нелокальных условиях

l

u(t,x)|x=0 = o, Ju(t,y)dy = 0, (3)

o

где fk (t, pk ) e N(DT xQ) - функции внешнего источника; pk (t)e N (DT) - управляющие функции,

k = 1, m ; u (t, x) - функция состояния управляемого процесса; ф (x) - функция распределения тепла по стрежню в начальный момент времени, ф( x) x=0 = 0,

ф(x) eN3(Dl); б(x-ak (t)) - дельта-функция

Дирака, k = Lm; D = DT x Dl, DT =[ 0,T ];

Q^[0,M *], 0 < M *<да; D, =[ 0,l ]; 0 < T < да,

0 < l < да .

Функции a k (t) e C (DT) описывают изменения

положения подвижных точечных источников в пределах от нуля до l и определяются как решение следующей задачи Коши:

ak '(t) = 9 k (t,ak (t)), ak (0) = ak = const, (4) где qk (t,ak ) e C0,1(Dt xD,), k = 1,m.

В данной работе при фиксированных управлениях йк (г) используется метод разделения переменных,

основанный на поиске решения смешанной задачи (1)—(3) в виде ряда Фурье

(5)

и (г,х) = 2 а1 (г)' Ъ1 (х),

г =1

где Ъ1 (х) = X¡х, Xг = -2у^ , г = 1, 2,...

Задача. Найти такие управляющие функции

Рк (г) :| (г) | < М*, к = 1, т, г е Бт

и соответствующее им состояние и (г, х) - решение смешанной задачи (1)-(3), что доставляют минимум функционалу

J [ p] = J[u (T, y)(y) ]2 dy +

0

m T m T

+ aXJ pk2(t) dt + PXJCT 2(t) d

k=1 0 k=1 0

(6)

где ^ (x) - заданная функция такая, что ^ (x) =

го l

= XSA (x), ^ i = J^ (y) b (y) dy, $ (0) = 0, 0 < a, i=1 0 P = const.

В работе на основе принципа максимума формулируются необходимые условия оптимальности, вычисляются управляющие функции и решается соответствующая смешанная задача (1)-(3). Данная работа является дальнейшим развитием работы [17]. Смешанная задача (1)-(3). Обозначим

Clu2(D) = |u (t, x): u e C1,2 (D)

1,2 ,

i(t,0) = 0, }u(t,y)dy = 0}

Замыкание этого пространства по норме

1

( t '

u IIЯ(D) =

j J J u (t,x) J2 dt

< го

0

обозначим Н (П).

Для числовой последовательности фг в пространстве 12 используется следующая норма:

Ф

=jX |фiП <го.

1=1

чим через Lip|N|u а |. А для функций одной переменной индекс опускается.

Как и в работе [13], можно убедиться, что решение смешанной задачи (1)-(3) при фиксированных значениях управлений с помощью ряда Фурье (5) представляется в следующем виде:

(7)

u (t, x) =Xi® t (t)+ i=1 I

t m

+JGi (t,s)Xbi (ak (s))fk (s,pk (s))ds }• b, (x),

где (t) = ^2t; Gt(t,s) = e^2(t-s); фt =Jф(y)bt(y)dy.

0

Предположим, что нелинейные функции fk (t, pk (t)) удовлетворяют следующим условиям:

fk (t,pk (t)) e Bnd(M°), 0 < M°k = const; (8) fkP (t, pk (t)) 0, (9)

W ^ fk (t, pk (t)) , Г"

где fkp (,pk (t)) =-1-, k =1, m .

v ; 3 pk

Теорема 1. Пусть ф (x) e L 2(Dl) и функции

fk (t, pk (t)), k = 1, m удовлетворяют условиям (8), (9).

Тогда для функции (7) справедливо u (t, x) e H (D) . Доказательство. Действительно, имеем

T l

JJ u2(t,y)dydt:

0 0

T l I го t m

<JJjX ® (t) + jGf (t,s)Xb (k (s))x

0 0 I i =1 L 0 k=1

X fk (s, pk (s))ds

2

bi (y)} dydt <

1 I го 2 го

< 2 J|X[® i (t) ] +2 X[® i (t)]

0 I =1

X

i=1

ч

го

-X

i=1

' m

J Gt (t,s)Xb ( (s)) (s,pk(s))ds

l 0 k =1

t m

J Gt (t, s) X bt ( (s))fk (s, pk (s))ds

0 k =1

m

< 2tm 12 + 4 V2 t 2 X M°k m1m 2 m3 +

1

2\2

dt <

Кроме того, в данной работе используются следующие обозначения. Класс функций, ограниченных по норме числом М, обозначим через Впё(М). Класс функций, удовлетворяющих условию Липшица по переменным и,О,... с коэффициентом N обозна-

k=1

4T3

X Ml M 2 M 3

V k=1

< го,

где

M1 =

X max { ю i (t)

i=1 teDT 1

=11® (t )||

B 2 (T):

2

M2 G (t, s M3 = 11 b (a

I B 2 (T)'

k = 1, m.

где

в 2 (Т)'

Отсюда следует утверждение теоремы. И при этом нетрудно убедиться, что при выполнении условий этой теоремы функция (7) является единственным обобщенным решением смешанной задачи (1)-(3) при фиксированных значениях функций рк (г), ст к (г),

к = 1, т.

Построение оптимального управления. Пусть рк (г) являются оптимальными управлениями

А J [рк (г) ] = J [рк (г) + А рк (г) ] - J [ рк (г) ] > 0,

где рк(г) + Арк(г) еНфТ), к = 1,т .

Нетрудно показать, что применение принципа максимума приводит к следующим необходимым условиям оптимальности [4]:

9(г,стк (г))/кр (г, рк(г))-2 арк(г) = 0, (10)

9 (г, ст к (г)) /крр (г, рк (г))- 2 а < 0, к = (11) где 9 (г, х) - обобщенное решение следующей задачи: 9г (г, х) + 9хх (г, х) = 0, (г, х) е Д

9(г,х) = -2[и(Т, х)(х) ],

1

9 (г ,0) = 0, |9 (г, у) а у = 0,

0

сопряженной с задачей (1)-(3), и определяется по формуле

ю [ Т

9 (г, х) = -2 X

юi (T) + JGt(T,s)£b (ak(s))x

k=1

x fk (s,Pk(s))ds i

(12)

G (T, t) b (x).

С учетом условий (8), (9) условия оптимальности (10), (11) перепишем в следующем виде:

2 а рк (г) /-1р(г, рк (г)) = 9 (г, ст к (г)), (13)

ftp(t, Pk(t))

Г Pk(t) ^ fkp (t, Pk (t))

> 0, k = 1, m . (14)

Pk

С учетом (14) из (12) и (13) получаем a Pk (t) filp(t, Pk (t)) +

да T m

+X J Gt (T, t) Gt (T, s) X b2(ak (s))fk (s, Pk (s))ds =

i=1 0 k=1

да

= X(i(T) + ^i)Gi(T,t)b (ak(t))

i =1

или

m T

m (t) fkP!(t, Pk (t)) + ZJ Q (t, s) fk (s, Pk (s)) ds = F (t), (15)

k =10

Q (t, s) = £ Gt (T, t) Gi (T, s) b 2(ak (s)),

i=1

да _

F(t) = £ ( ю (T) + ^i) Gt (T, t) b (ak (t)), k = 1, m.

i =1

В уравнение (15) положим

aPk(t) Ul(t, Pk(t)) = gk k =1, m, где gk (t) - пока неизвестные функции, но мы для начала предположим, что они заданы. Тогда имеем следующие функциональные уравнения:

Pk (t)=—f (t, Pk (t)), k=1m. (16) a

Пусть выполняется следующее условие: fkv (t,Pk(t) ) e Bnd(M 1) nLip{ N 1|Pk j, k = 1,m ,0 < N1, M1 = const.

Тогда функциональные уравнения (16) имеют единственное решение, которое на отрезке DT находится из следующего итерационного процесса:

P-1(t)=^aif (t, pi(t)), k=1,m, n=1, 2,... (17)

a

Это решение обозначим так:

pk (t) = hk (t, gk (t)), k = 1m. (18)

Теперь для определения функции gk (t), подставляя (18) в (15), получаем интегральные уравнения Фредгольма

m T _

gk(t) + £JQ(t,s) fk (s,hk (s,gk(s)))ds = F(t), k = 1,m. (19)

k=1 0

В качестве нормы для произвольной функции у (t) e C (DT) используем евклидову норму

t ^ = max

teDT

|¥ (t)|.

Теорема 2. Пусть:

1) Выполняются условия теоремы 1 и условие (14);

2) ^ (x) e L2 (D,);

k 1| gk '

3) hk (t, gk (t) ) e Bnd(Mk 1) n Lip{{Vk 0 < Nk 1, Mk 1 = const;

4) fk (t, hk (t) ) e Bnd(Mk2) n Lip {{ k21 gk j, 0 < Nk 2, Mk2 = const;

2 m

5) p = ((2 M3) T£ Nk1 Nk2 < 1.

k=1

Тогда нелинейные интегральные уравнения Фред-гольма второго рода (19) имеют единственное решение gk (t) e C (Dt ).

Доказательство. Сначала заметим, что функции Q (t, s) и F (t) ограничены

го 2 2

Q(t, s) <X I Gi (T, t)| \bi (CTk (t))| <

i=1

го2 <X max |gi (T, t)| X

i=1teDT 1 1

го2 x X max\bt (CTk (t))| = MM3 ) 2 < го;

(20)

i=1 ^DT-

\F (t)| 2 XX I®i (T) + S\\g, (T, t)| <

1

.W

XI® i (T) +

i =1

X I Gi (T, t)|

i =1

(21)

((1 + И1U2)

M2 < го

С учетом оценок (20) и (21) рассмотрим следующий итерационный процесс:

т т

ёI(г) + 2|Q(г,я) /к (,К (я,0)) = Р(г),

к=10

тт

ёГ(г) + 2|Q(г,я) /к (,Ь (,ё"к(я))) = Р(г), (22)

к=1 0

п = 1, 2,...

В силу условий теоремы из (22) получаем следующие оценки:

т т

< Р(г)Q(г,я)/(,К(я,0))

к =10

[? / \ о _т

- ((1 +Щ\ <2) ) + (М2М3 ) 2 2 Мк2Т < (23)

k=1

g"k+1(t)-g"k (t)ll <

<XJ|Q(t,s) fk (s,hk (s,gl(s))

k =1 0

- fk (s, hk (s, g^s)

m

(M2M3)2 TX Nk2 hk (s, g; (s)) - hk (s, gn-1 (s))

ds <

k=1

<р|ёП (г)-ёП 1 (г)|с ёП (г)-ёП 1 (г)|с • (24)

Из оценок (23) и (24) следует, что нелинейные интегральные уравнения Фредгольма второго рода (19) имеют единственное решение ёк(г) е С(Пт),

к = 1, т. Теорема доказана.

Кроме того, из (19) и (22) аналогично (23) и (24) можно получить, что справедлива оценка

1 -Р

||gk (t) - gn (t )|| C <

2m

((+И ,2 )M 2+(M2 M3 )2 X m

Отсюда с учетом (18) и второго условия теоремы 2 для погрешности приближенного вычисления управляющих функций получаем оценку

||pk (t) - pI (t )|| C <

1 -р

((1+И ,2)

M,

(25)

-(M2M3) XMk2T

k=1

X Nk 1.

k=1

Построение оптимального процесса и вычисление минимального значения функционала. Согласно (7) оптимальный процесс находим по формуле

да т г

и (г, х) = 21® г (г) + 21 (г,я) Ъ ((я) )х

г=1 [ к=10 (26)

X fk (^pk(s))dsVbi(x)

Оптимальный процесс (26) можно приближенно найти с помощью итерационного процесса Пикара

n m 1

un (t, x) = X j Ю (t) + X J G (t, s) bt (an (s)) X

i=1 | k=1 0

X fk (^ pI (s))ds}^ bi(x).

(27)

Минимальное значение функционала, согласно формулам (6) и (26), находится из следующей формулы:

i

J [pk ] = J

го m 1

Xj®i (T) + XJGt (T,s)bl (ak (s))x

k=10

X fk (s,pk (s))dsi bi (y)

dy-

m 1 2 m 1

aXJ(pk(t)) dt + PXJ(ak(t))2 dt. (28)

k=10

k=10

Из работы [18], в частности, следует, что задача Коши (4) при выполнении условия

qk (^ak (t) ) e Bnd(M4)nLip|N31ak¡, k = 1, m, 0 < M 4, N 3 = const

имеет единственное решение ak (t) e C (D T), k = 1, m .

Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 2. Тогда функционал (28) принимает конечное значение.

Доказательство. Учитывая доказательства теорем 1 и 2, из (28) получаем

J [ pk ] < 2 (m 1 +|| i; 11, '2

M1 +11;II,2 )XMl (M2M3)

' k=1

n

n

2

2T2

V k=1

m \ 2

£M0M2M3 I + aT(mM*) + 0Tm2l2 <».

Отсюда следует, что функционал (28) принимает конечное значение. Теорема доказана.

Приближенное значение функционала вычисляется по следующему итерационному процессу:

J [ рП ] = }

n m 1

i (T) + Gt (T, s) bi (an (s) )x

i=1 I k=1 о

x f (s, pnk (s) )ds 4 i|-b, (y)

dy-

m 1 2 m T 2

a£j(p*n (t)) dt + p£j(( (t)) dt, n = 1,2,3,...; (29)

k=1 о

k=1 о

ак (г), к = 1, да определяется из следующего итерационного процесса:

г _

(г) = дк (,< (*) )с18, к = 1,т. (30)

о

Заключение. В работе предлагается методика решения одной точечной подвижной задачи нелинейного оптимального управления для одной системы с параболическим и обыкновенным дифференциальными уравнениями при смешанных нелокальных и начальном условиях. Сначала используется метод Фурье разделения переменных. На основе принципа максимума формулируются необходимые условия оптимальности управлений при квадратичных критериях. Доказывается однозначная разрешимость оптимальных управлений. При этом используется метод последовательных приближений в сочетании его с методом сжимающих отображений. Получается формула для приближенного вычисления подвижных оптимальных управлений и оценка для допускаемой погрешности по оптимальным управлениям. Приводятся формулы для приближенного вычисления оптимального процесса и минимального значения функционала. При этом используются итерационные процессы (17), (22), (27), (29) и (30). Полученные результаты могут найти дальнейшее применение в развитии математической теории нелинейного оптимального управления системами с распределенными параметрами при наличии подвижных источников.

Библиографические ссылки

1. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М. : Наука, 1965. 474 с.

2. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М. : Наука, 1982. 432 с.

3. Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М. : Наука, 1978. 464 с.

4. Керимбеков А. Нелинейное оптимальное управление линейными системами с распределенными параметрами : дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Бишкек :

Ин-т математики НАН Кыргызской Республики, 2003. 224 с.

5. Лионе Ж. Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М. : Мир, 1972. 412 с.

6. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М. : Наука, 1975. 480 с.

7. Рапопорт Э. Я. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. М. : Высш. шк., 2009. 680 с.

8. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М. : Наука, 1973. 448 с.

9. Миллер Б. М., Рубинович Е. Я. Разрывные решения в задачах оптимального управления и их представление с помощью сингулярных пространственно-временных преобразований // Автомат. и телемех.

2013. № 12. С. 56-103.

10. Срочко В. А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М. : Физматлит, 2000. 160 с.

11. Тятюшкин А. И. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем. Новосибирск : Наука, 1992. 193 с.

12. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М. : Наука, 1978. 488 с.

13. Юлдашев Т. К. Приближенное решение нелинейного параболического и обыкновенного дифференциального уравнений и приближенный расчет функционала качества при известных управляющих воздействиях // Проблемы управления. 2014. № 4. С. 2-8.

14. Юлдашев Т. К. О построении приближений для оптимального управления в квазилинейных уравнениях с частными производными первого порядка // Матем. теория игр и её прилож. 2014. Т. 6, № 3. С. 105-119.

15. Юлдашев Т. К. Приближенное решение точечной подвижной задачи оптимального управления для нелинейного гиперболического уравнения // Моделирование и анализ информационных систем.

2014. Т. 21, № 3. С. 106-120.

16. Бутковский А. Г., Пустыльников Л. М. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами. М. : Наука, 1980. 384 с.

17. Юлдашев Т. К. Нелинейная точечная задача оптимального управления для псевдопараболического уравнения // Вестник ВоронежГУ. Сер. «Системный анализ и информационные технологии». 2014. № 3. С. 9-16.

18. Юлдашев Т. К. Развитие теории нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Бишкек : Ин-т математики НАН Кыргызской Республики, 1993. 121 с.

References

1. Butkovskiy A. G. Teoriya optimal 'nogo upravle-niya sistemami s raspredelyonnymi parametrami [The theory of optimal control of systems with distributed parameters]. Мoscow, Nauka Publ., 1965, 474 p. (In Russ.).

2. Evtushenko Yu. G. Metody resheniya ekstremal'nykh sadach i ikh primeneniye v sistemakh

2

optimizatsii [Methods for solving extremal problems and their application in optimization systems]. Moscow, Nauka Publ., 1982, 432 p. (In Russ.).

3. Egorov A. I. Optimal'noye upravleniye teplovymi i diffuzionnymi protsessami [Optimal control of thermal and diffusion processes]. Moscow, Nauka Publ., 1978, 464 p. (In Russ.).

4. Kerimbekov A. Nelineynoye optimal'noye uprav leniye lineynymi sistemami s raspredelyonnymi paramet-rami. Dis. d-ra fiz.-mat. nauk. [Nonlinear optimal control of linear systems with distributed parameters. Dis. Dr. Sci. Sciences.]. Bishkek, Inistitut matematiki NAN Kyrgyzskoy Respubliki Publ., 2003, 224 p. (In Russ.).

5. Lions J. L. Optimal'noye upravleniye sistemami, opisyvayemymi uravneniyami s chastnymi proizvodnymi [Optimal control of systems described by partial differential equations]. Moscow, Mir Publ., 1972, 412 p. (In Russ.).

6. Lur'ye K. A. Optimal'noye upravleniye v zada-chakh matemsaticheskoy fiziki [Optimal control in the problems of mathematical physics]. Moscow, Nauka Publ., 1975, 480 p. (In Russ.).

7. Rapoport E. Ya. Optimal'noye upravleniye sistemami s raspredelyonnymi parametrami [Optimal control of systems with distributed parameter]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 2009, 680 p. (In Russ.).

8. Krotov V. F., Gurman V. I. Metody i zadachi optimal 'nogo upravleniya [Methods and problems of optimal control]. Moscow, Nauka Publ., 1973, 448 p. (In Russ.).

9. Miller B. M., Rubinovich E. Ya. Discontinuous solutions in the optimal control problems and their representation by singular space-time transformations. Automation and Remote Control. 2013, Vol. 74, No 12, P. 1969-2006.

10. Srochko V. A. Iteratsionnye metody resheniya zadach optimal'nogo upravleniya [Iterative methods for solving optimal control problems]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2000, 160 p. (In Russ.).

11. Tyatyushkin A. I. Chislennye metody i program-mnye sredstva optimizatsii upravlyaemykh sistem [Numerical methods and software for optimization of control systems]. Novosibirsk, Nauka Publ., 1992, 193 p.

12. Fedorenko R. P. Priblizhennoe reshenie zadach optimal'nogo upravleniya [Approximate solution of optimal control problems]. Moscow, Nauka Publ., 1978, 488 p. (In Russ.).

13. Yuldashev T. K. [Approximate solution of nonlinear parabolic and ordinary differential equations and an approximate calculation of the functionality of quality at known operating influences]. Problemy upravleniya. 2014, No 4, P. 2-8 (In Russ.).

14. Yuldashev T. K. [On an optimal control in quazilinear partial differential equations of the first order]. Matematicheskaya teoriya igr i eyo prilozheniya. 2014, Vol. 6, No 3, P. 105-119 (In Russ.).

15. Yuldashev T. K. [Approximate solution of optimal control dot mobile problem for a nonlinear hyperbolic equation]. Modelirovanie i analiz informa-tsionnykh sistem. 2014, Vol. 21, No 3, P. 106-120 (In Russ.).

16. Butkovskiy A. G., Pustyl'nikov L. M. Teoriya podvizhnogo upravleniya sistemami s rasprederlyonnymi parametrami [Theory dot movable control systems with distributed parameters]. Moscow, Nauka Publ., 1980, 384 p. (In Russ.).

17. Yuldashev T. K. [A nonlinear point problem of optimal control for pseudoparabolic equation]. Vestnik VoronezhGU. Seriya: Sistemnyi analiz i informatsionnyie tekhnologii. 2014, No 3, P. 9-16 (In Russ.).

18. Yuldashev T. K. Razvitie teorii nelineynykh differentsialnykh uravneniy s maksimumami. Diss. kand. fiz.-mat. nauk. [Development of the theory of nonlinear differential equations with maxima. Dis. Cand. Sci. Sciences]. Bishkek, Institut matematiki NAN Kyrgyzskoy Respubliki Publ., 1993, 121 p. (In Russ.).

© rowmeB T. K., 2016