Приближенное решение задачи оптимального управления для нелинейного псевдогиперболического уравнения третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Система (1) описывает двумерные движения жидкости с дополнительным условием постоянства величины p / p0 в частице.

Это условие позволяет интерпретировать каждое решение (1) как движение жидкости со свободной границей, определяемой соотношением p = 0.

Запишем систему (1) в специальных лагранжевых координатах, характеризуемых условием p / p0 = п :

% - P0У; = 0 у и + Po x; = 0

x; Уп- ^ У;=1 (2)

В данной работе проведен частичный анализ на совместность системы (2). Построены примеры точных решений. Подробно разобран случай p0 = 1.

© Шанько Ю. В., 2014

УДК 519.3:62-50

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Т. К. Юлдашев

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: [email protected]

Изучены вопросы приближенного решения одной задачи оптимального управления для нелинейного псевдогиперболического уравнения третьего порядка при смешанных условиях. Приведены формулы приближенного вычисления функционала качества при известных управляющих воздействиях.

Ключевые слова: псевдогиперболическое уравнение, смешанные условия, оптимальное управление, обобщенная разрешимость, приближенное решение, минимизация функционала.

APPROXIMATE SOLUTION OF OPTIMAL CONTROL PROBLEM FOR A NONLINEAR PSEUDOHYPERBOLIC EQUATION OF THIRD ORDER

Т. К. Yuldashev

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation E-mail: [email protected]

The issues of approximate solution of optimal control problem for nonlinear partial pseudohyperbolic differential equations of the third order with mixed value conditions are studied. The formulae of approximate calculation of functionality of quality at known control activities are presented.

Keywords: Pseudohyperbolic equations, mixed value conditions, optimal control, generalized solvability, functional minimization, approximate solution.

Псевдогиперболические уравнения третьего порядка возникают в теории нестационарного течения вязкого газа при конвективной диффузии солей в пористой среде, распространении начальных уплотнений в вязком газе, а также при рассмотрении двухфазной стратифицированной пористой среды, состоящей из жидкости и твердых тел.

Пусть управляемый процесс описывается квазилинейным псевдогиперболическим уравнением вида

д u (t, x)

-ц-

д 3u (t, x) д 2u (t, x)

д t2 д t д x2 д x2

= P (t, x) + f (t, x, u (t, x ) ) со смешанными условиями

u (t, x)| t=0 =ф l( x) , ut (t, x)| t =0 =ф 2 ( x),

u (t, x)| x=0 = u (t, x)| x=l = 0,

(1)

(2) (3)

где f (t, x,u) e С (D x R), P (t, x) - управляющая функция; 0 <ц- малый параметр; фj(x)x=0 =

= ф/ ( x)l x=l = 0

ф j (x) e С3(Dl),

j = 1,2.

D = DT х , DT =[ 0^ ], Dl = [ 0,l ] ,0 <l 0 < T

При фиксированном управлении P (/, x) используется метод разделения переменных, основанный на поиске решения смешанной задачи (1)-(3) в виде ряда Фурье

u (t,x, ц) = ^ai (t, ц) • bt(x).

i =1

i = 1,2,

где bt(x) = Jysin^ix, ^i = -

Прикладная математика и механика

Задача. Найти такую управляющую функцию

Р* (г, х) :| Р* (г, х) | < М *, (г, х) ей }

и соответствующее ей состояние м* (г, х, ц) смешанной задачи (1)-(3), что доставляют минимум функционалу

GN (t, 5, ц) = ■

t - 5

2 exp j- ю 1г (ц) — | sinю 2l (ц) ю 2г(Ц) + ю N(K>sin ю г1-(Ц) 5

t - 5

ю 1N(ц) = X2Nц , юN(ц) = 4-X2Nц2 , а начальные данные ф^, ф^- подбираются из (2) так,

J[P] = }g(t,x,u (t, x, ц), P (t, x) )dt. (5) что суммы

Предполагается также, что Р (г, х) допускает разложение в ряд Фурье по собственным функциям

bl (x) дифференциального оператора -

д2

д x2

где

P(t,x) = ZPi (t) • b, (x),

i=1

i

Pi (t) = JP(t,y)bi (y)dy ,

(t, x , N I ц) =Z I i =1 1

l +}f ( N

5, y, Z

0 V j =1

X bN ( y ) dy ]•

(

ю N (ц)

N , ф 21 N , ч

Ф2, +— ю 1, (ц)

Л

sin ю N (ц^

Ф N (х) = Ё Ф^^ (х), Ф N ( х) = £ ф^Г (х)

- =1 г =1

аппроксимируют при N ^ад функции

Ф1 (х), ф2 (х) е 12Й).

Теорема 1. Пусть выполняются условия:

1. X2 ц2 - 4 < 0.

т

2. П / (г1, х, мГ)) II сИ <Д<ад.

0 Ь 2(Р,)

Ь- (У) = X г у, х г = у, - = 1,2,. ..

Аналогично функционал (5) перепишем в следующем виде:

ад Т I { ад

3[Р-] = £Я* 1,У,Ё (1,Ц)•ьз (У),

-=1 0 0 V 3 = Ё Рз (г) • Ь з (у) ъг (у) сусг.

Рассмотрим укороченную систему интегральных уравнений

3. f (t,x,uN) £ Lip{L(t,x)

{ L (t, x )| uN },

где 0 <j||L (5,x )| l2(Di)d5 <».

4. IK(t,<(t)

Тогда при фиксированных значениях управления Р (г, х) укороченная система интегральных уравнений (6) имеет единственное решение в области Р .

Таким образом, мы пришли к следующей задаче: найти управляющую функцию РГ (г, х), которая вместе с функцией (6) минимизирует функционал

3[РГ] = £}}*(г,У, Ё аЗ(г,ц)• ЬГ(у),

-=! 0 0 V 3 =

Z pN (t) • bN (y)

J =1

• bN (y) dydt.

где a n (t, ц) определяется как решение следующей конечной системы нелинейных интегральных уравнений (КСНИУ):

t

af (t, ц) = WN (t, ц) + J[ pN (5) +

0

l ( N

+ j f 5, y, z aN (5, ц) • bN (y)

о V j =1

X bN ( y ) dy ]• GN (t, 5, ц) d5 , WN (t, ц) = exp j-1 ю (ц) t ^[ф Ц cos ю N (ц)-2 +

Пусть Р (г, х) - оптимальное решение поставленной задачи.

Рассмотрим следующие соотношения:

, Nk*

(t,x, ц) =z j wN(t, ц) +J[p Nk*(5) + i =1 I 0

+ }f ( 5, y, ¿af* (5, ц) • bN (y)

о V J =1

xbN ( y ) dy ]• GN (t, 5, ц) d5 }bN ( x );

T l (

i=1 0 0

j [PNk* ] = Z}}g t, y, z af* (t, ц) •bN(y)„

J =1

Z pf* (t) • bN (y)

j =1

• bN( y) dydt.

Предположим, что для этого оптимального управления справедлива оценка

Р-(t,x) -PNk;(t,x)| < qNk(t) lim qNk(t) = о .

N ^ад k ^ад

(7)

Теорема 2. Пусть:

1) выполняются условия теоремы 1 и (7);

2) g(t,x,u,S) e С(DxR2)nLip{L^и ; l2 (t) |aj,

где

0 <JLm (t)dt < ад , да = 1,2;

< ад .

3) W (t,в2(T) Тогда справедливо следующее соотношение

= 0.

lim

N ^ад k ^ад

j [ p;]-j [ pinkw]

© Юлдашев Т. К., 2014

УДК 519. 635

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО

УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

Т. К. Юлдашев, А. О. Булов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: [email protected]

Рассматриваются вопросы обобщенной разрешимости обратной задачи для одного нелинейного псевдогиперболического уравнения высокого порядка с интегральным условием переопределения. Методом разделения переменных обратная задача сводится к системе нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода. При этом нелинейные интегральные уравнения Вольтерра первого рода сводятся с помощью неклассического интегрального преобразования к нелинейным интегральным уравнениям Вольтерра второго рода. Далее применяется метод последовательных приближений в сочетании его с методом сжимающих отображений.

Ключевые слова: обратная задача, нелинейное псевдогиперболическое уравнение, интегральное условие переопределения, интегральное тождество, обобщенные производные.

AN INVERSE PROBLEM FOR A NONLINEAR PSEUDOHYPERBOLIC EQUATION

OF HIGHER ORDER

Т. К. Yuldashev, A. O. Bulov

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation E-mail: [email protected]

The questions of generalized solvability of the inverse problem for nonlinear pseudohyperbolic equation of higher order with restoring integral condition are considered. Due to the method of separating variable the inverse problem results in the system of nonlinear Volterra integral equations of first kind. In addition, the nonlinear Volterra integral equations of first kind results in the nonlinear Volterra integral equations of second kind due to nonclassical integral transformation. Further the method of successive approximation in combination with the method of compressing mapping is applied.

Keywords: inverse problem, nonlinear pseudohyperbolic equation, restoring integral condition, integral identity, generalized derivatives.

В области D рассматривается уравнение

д

It2

2 (

u (t, x) + (-1)n V

д 2 nu (t, x) ^

д x2 n

д4 n+1u (t, x) д4 nu (t, x)

д t д x4 n д x4 n

= f (t, x, u (t, x ), S (t-t) )

с начальными

д

u (t, x)| t=0 = Ф1 (x), — u (t, x)| t=0 =ф 2 (x)

д t

граничными

u (t, x)| x=0 = u (t, x)| x=l = uxx(t, x)| x=0 = uxx(t, x)| x=l =

(2)

(1)

д

4 n - 2

д x

4 n - 2

u (t ,x).

д

4 n-2

д x

4 n-2

u (t ,x), x=, = 0