CC BY
11поля Т* (х, u 0) равна характеристике этого векторного поля на ГD1.
Непрерывно зависящее от параметра 6 (0 < 6 < 1), семейство везде непрерывных на ГD1 векторных полей
V, (х, 6, u о ) = = т, (х, и о ) + 6(( (х, и о )-т, (х, и о )) , = 1,2 ,
соединяющее поля Vi (х,0,и0) = Тк (х,и0) и
V, (х, 1,и0) = Т (х,и0),, = 1,2, нигде не обращается на в нуль.
Действительно, из оценки
IIТ (х, и 0 )-Тк (х, и 0 )||< --- • ^, , = 1,2 1 2
и из (4) следует, что на выполняется неравенство
IV (х, 6,и0)||>|| Тк (х,и0)||-
-||т* (х, и 0 )-Т (х, и 0)||> 0, , = 1,2.
Следовательно, поля Тк (х, и 0) и
Т (х, и 0) , , = 1,2 гомотопны на ГD1. Поскольку
характеристики гомотопных на компакте полей равны между собой, то характеристика на ГD1 поля
Т, (х, и 0) равна индексу особой точки и0 поля Т, (х, и 0) и отлична от нуля. Поэтому векторные поля Т, (х, и 0) имеют в D1 особую точку и 0 , для которой Т (х,и00) = 0, , = 1,2.
Таким образом, существует ю -периодическое решение уравнения (1).
© Юлдашев Т. К., Крапивкина А. С., 2013
УДК 519.3:62-50
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Т. К. Юлдашев, К. X. Шабадиков
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 E-mail: [email protected], [email protected]
Изучаются вопросы приближенного решения одной задачи оптимального управления для нелинейного параболического уравнения со смешанными условиями.
Ключевые слова: параболическое уравнение, смешанные условия, оптимальное управление, обобщенная разрешимость, приближенное решение, минимизация функционала.
OPTIMAL CONTROL FOR NONLINEAR PARABOLIC EQUATION
Т. К. Yuldashev, K. H. Shabadikov
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, "Krasnoyarsky Rabochy" Av., Krasnoyarsk, 660014, Russia E-mail: [email protected], [email protected]
The approximation to solve an optimal control problem for nonlinear partial parabolic differential equations with mixed value conditions is examined.
Keywords: parabolic equation, mixed value conditions, optimal control, generalized solvability, functional minimization, approximate solution.
Пусть управляемый процесс описывается квазили- со смешанными условиями нейным параболическим уравнением вида
д u (t, x) д 2u (t, x) _ u (t, x)l t =0 _Ф ( x), u (t, x)| x=0 = u (t, x)| x=l = 0 , (2)
дt дx (1) где f (t,x,u) e С(DxR), P(t,x)- управляющая
_ P (t, x) + f (t, x, u (t, x)) функция;
Решетневскуе чтения. 2013
Ф з (х)|х=0 = Ф з (х)|
= 0;
ф , (х) е С3(Б,); ] = 1,2; Б - Б Бт0,Т ]; Б1 0,1 ].
т х Б1;
Современные методы решения задач управления в значительной степени основываются на концепции оптимальности, что определяет широкое применение методов и алгоритмов теории оптимизации при проектировании и совершенствовании систем управления. Многие задачи управления формулируются как конечномерные оптимизационные задачи. К таким задачам, в частности, относятся и задачи адаптивных систем управления. При приближенном решении задач оптимального управления системами с распределенными параметрами используется широкий спектр разных методов.
В данной работе рассматриваются вопросы приближенного решения задачи оптимального управления нелинейными тепловыми процессами. Здесь при фиксированном Р (*, х) используется метод разделения переменных, основанный на поиске решения смешанной задачи (1), (2) в виде ряда Фурье:
ад
и (*, х) = Ё а1 (*) • Ъг (х) ,
' =1
Ъ' (х) = ^7 ^»х, х» = 1~Г, ' = 1,2, ...
Задача. Найти такую управляющую функцию Р* (*, х) еП-{р* :| Р* (*, х) | < М *, (*, х) е Б } и соответствующее ей состояние и* (*,х) смешанной задачи (1), (2), что доставляют минимум функционалу
3 [ Р] = | g (*, х, и (*, х), Р (*, х) )* .
(3)
Предполагается также, что Р (*, х) допускает разложение в ряд Фурье по собственным функциям Ъ' (х). Функционал (3) преобразуем, т. е. функцию
g (*,у,и (*,у), Р (*,у)) разложим в ряд Фурье:
3 Р ] =
ад Т I { ад ад Л
= Ё|^ *, У, Ё а, (*) • Ъ} (у), X Р3 (*) • Ъ} (у)
'=1 0 0 V 3 =1 3 =1
х Ъ' (у) dydt.
(4)
где функции а 1 (*) определяются как решение следующей конечной системы нелинейных интегральных уравнений:
а N (*) = Ф N ехр {-X2 *} +
I
Р N (8) + | / 8, у, Ё а N 8 • Ъ N (у)
з =1
Ъ N (у) dy ]• ехр {-X 2^ (* - 8)},
а начальные данные ф 1 подбираются из (2) так, что
N
сумма ф N (х) = Ё ФЪ1^ (х) аппроксимирует при
' =1
N ^ад функции Ф (х)е Ь2(Б,).
Теорема 1. Пусть выполняются следующие усло-
вия:
1
1) I /(*,х,uN) )
dt < Д <ад;
Ь 2 (Б,)
2) /(*,х,им) е Ь'р{ Ь(*,х)
{ Ь (*,х )| И },
где
0 <|11Ь (8,х )1 1ь2с 01)ds <ад;
3) Ф'
<ад.
Тогда при фиксированных значениях управления Р (*, х) укороченная система интегральных уравнений (5) имеет единственное решение в области Б .
Доказательство теоремы проводится методом последовательных приближений и методом интегральных неравенств.
Таким образом, мы пришли к следующей задаче: найти управляющую функцию Р1Я (*, х), которая вместе с функцией (5) минимизирует функционал
3 [Р? ] =
= £^[*,у, Ё а"!(*)• ЪN(у), ёр!(*)• ЪN(у)
з =1
^ (у) dydt.
Рассмотрим укороченную систему интегральных уравнений
uN (*,х) =Ё {ФN ехр {-X2 *} +
' =1
+| pN (8) + |/[ 8, у, 1aN (8) • ЪN (у) X
0 |_ 0 V з =1
X ЪN (у) dy ]• ехр {-X 2(* - 8) } }• ЪN (х), (5)
Пусть Р * (*, х) - оптимальное решение поставленной нами задачи. Рассмотрим следующие соотношения:
Ык*
(*, х) =ё] Ф N exp {-X 2N * } + |[ pNk*(s) + ' =1 I 0
+ |/ Г 8, у, ЁaNk* (8) • ЪN (у) ]х
0 V з =1 )
ЪN (у) dy ]• exp {-X 2N (* - 8)} ds }• ЪN (х), (6)
У [ Р
Ык*Л
N Т I (
I
,=1 0 0 V 1 =
',у, С 3с)• ^(у), Ър?*О•^(у)
з =1
х й" (у) ¿ул.
(7)
Тогда для этого оптимального управления справедлива оценка
Р* (Г,х) -РМ*(Г,х)| < )
где
Ига qNk(t) =
N ^ад к ^ад
(8)
где
Теорема 2. Пусть:
1) выполняются условия теоремы 1;
2) я (Г, х,и,9) е С^х Я 2) п Ьр{ Ь (0 ^ ; ¿2 (0| о}
Т
0 <| Ьг (0 Ж < ад , , = 1,2;
3) Р ю|в 2(Т) <ад.
Тогда справедливо следующее соотношение:
Иш
N ^ад к ^ад
У [ Р * ]-У [ рГ]
= 0 .
Иш VNk = Иш и * ,х)-uNk* ,х) <
N^ад N^ад I I
к ^ад к ^ад
< Иш и * (?, х) - им * (?, х) +
N^ад I I
+ Иш| и N * , х) - ^к * , х) I = 0 .
(10)
Тогда, в силу условий теоремы, из (4) и (7) имеем
[р*]-У[PNk*] <
Т
<| {¿ДО | и * , х) - uNk* ((, х) | +
0
+12(о| Р* (Г,х) -PNk* (Г,х)| }а <
Т Т
< | ¿1 (Г) VNk (?) Л + | Ь 2 (0 9 N (?) Я . (11)
(9)
Доказательство. Сначала оценим допускаемую погрешность по состоянию и * , х), т. е. величину
VNk = |и*(^,х)-uNk* ,х)| . Здесь имеет место соотношение
С учетом (8) и (10) переход к пределу в (11) при N ^ад , к ^ад дает (9).
Аналитическое решение нелинейных задач оптимального управления очень сложно. На практике широко используются различные приближенные методы построения программного и синтезирующего оптимального управления.
В работе предлагается методика приближенного решения одной нелинейной задачи оптимального управления для параболического уравнения со смешанными условиями. При этом используется последовательность функций (6) и последовательность функционала (7).
© Юлдашев Т. К., Шабадиков К. Х., 2013
