О периодических решениях квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

где

Q (x, y) = sh ц (x + y) + sh ц (x - y), v = <JA

A = | Ь • q (s) ds , q (t) = | a (s) ds . о о

Таким образом, доказано, что справедлива следующая теорема. Пусть:

1) выполняется условие (10);

2) K (1, s) = a (1) • Ь (s) ;

3) max {|ф (x)|;| f (t, x)| }<œ;

4)

5)

J Q (x, y) -ф ''(y) dy

< œ ;

J Q (x, y) - fyy (t,y) dy

< œ .

Тогда в области Б существует единственное решение задачи (1)-(5), которое имеет вид (17).

© Юлдашев Т. К., Довгий М. А., 2013

УДК 517. 9

О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Т. К. Юлдашев, А. С. Крапивкина

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 E-mail: [email protected], [email protected]

Рассматриваются вопросы существования периодических решений задачи Коши для квазилинейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка. Используется нелинейный метод характеристик, который позволяет задачу свести к нелинейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Изучаются вопросы существования и практические пути отыскания периодических решений нелинейного интегрального уравнения Вольтерра второго рода.

Ключевые слова: квазилинейное уравнение, нелинейный метод характеристик, нелинейное интегральное уравнение, периодические решения, метод последовательных приближений.

ON PERIODIC SOLUTIONS OF THE QUAZILINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL

EQUATIONS OF FIRST ORDER

Т. К. Yuldashev, A. S. Krapivkina

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, "Krasnoyarsky Rabochy" Av., Krasnoyarsk, 660014, Russia E-mail: [email protected], [email protected]

The questions of existence of the periodic solutions of initial value problem for a quazilinear partial differential equations of the first order is considered. By the nonlinear method of characteristic the Volterra nonlinear integral equation of the second kind is obtained. The existence ofperiodic solutions and the ways offinding these periodic solutions of the obtained Volterra nonlinear integral equation are studied.

Keywords: The quazilinear partial differential equation, nonlinear method of characteristic, nonlinear Volterra integral equations, existence of the periodic solutions, the method of successive approximations.

В области D рассматривается квазилинейное дифференциальное уравнение вида

д U (t,x) + A (t, x, u (t, x) ) U (t,x) =

д t

д x

f (t, x, u (t, x) )

с начальным условием

u (t, x) |t=0 =ф ( x),

(1)

где А (1, х, и )е С (Б х К ), / (, х, и )е С (Б х К ) ф (х) е С (К), Б = [ 0;Т ]х К, К = (-с» ;сю).

Уравнения вида (1) встречаются при решении многих задач механики. В отличие от стандартных методов в данной работе уравнение (1) сводится к нелинейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Стандартные методы позволяют найти точныхе (частные) решения уравнений при конкрет-

Решетневскуе чтения. 2013

ных случаях нелинейных функций, входящих в уравнение. Для нахождения общих решений квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных с общими нелинейными функциями эффективным является метод, который позволяет поставленную задачу заменить эквивалентным ей нелинейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода.

Пусть функции A (t, X, u (t, x)) и f (t, x, u (t, x)) -

периодические и имеют ю период. Предположим, что уравнение (1) имеет ю -периодическое решение и известна точка u 0, через которую это решение проходит в момент времени t = 0.

Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:

1) ф (x) = a + bx, a, b = const, b Ф 0;

2) A(t, x, u) e Bnd(M1) nLip(L^u), 0 <M1,

L1 = const;

3) f (t, x, u) e Bnd(M2)nLip(L2|u), 0 <M2, L 2 = const;

4) q < 1, где q = (|b L1 + L2) —.

Тогда

p(t,x) = lim uk(t,x,u0)

k ^вд

относительно t, u0 e D -

M ю

p (t, x) - uk (t, x, u 0) <-

M ю

1 - q 2

M =| b |-Mj +M 2, k = 1,2,3, ...,

где uk(t,x, u0) (u0(t,x, u0) = u0 = a + bx) являются ю -периодическими функциями, определенными со-

отношением

uk+j(i,x, u0) = a + b x

xjx -J" | A (t, x, uk (t, x, u 0)) - A (t, x, uk (t, x, u 0)) J dt j +

t _

+i[ f (t,x, uk(t,x, u0)) - f (t,x, uk(t,x, u0)) J dt, (2)

а посредством g (/, х, и) обозначено интегральное среднее по времени t:

1 ю

g (/, х , и) = — [ g (/, х , и) . ю 0

Доказательство теоремы проводится с помощью численно-аналитического метода Самойленко.

Согласно теореме 1 отыскание периодического решения уравнения (1) сводится к вычислению функций ик(/,х, и0), если такое решение существует и

известна точка и 0, через которую при t = 0 оно проходит. Введем обозначения

T1(x,u0) = A(t,x, u(t,x,u0))

u 0 = a + bx,

Г2(х, и о) = / ^, х, и ю (t, х, и о)) где х - некоторый параметр; и т ^, х, и 0) - предел последовательности периодических функций(2) с периодом ю.

Нетрудно видеть, что при (х, и 0) = 0, г = 1,2 функция и ю ^, х, и 0) является ю -периодическим

решением уравнения (1).

Точка и0, для которой Т(х,и0) = 0, г = 1,2, является особой точкой отображения

М ю

Ti : D —

-*R, i = 1,2.

Чтобы найти это отображение, рассмотрим следующие отображения

Tj (x,u0) = A (t,x, uk (t, x,u0))

справедливо соотношение

равномерно сходящееся

Т (х,и0) = /(t,х, ик ^,х,и0)) ,

к = 0,1,2, ... (3)

Исходя из отображений (3), решим вопрос о существовании периодических решений уравнения (1).

Теорема 2. Пусть:

1. Выполняются условия теоремы 1.

2. Существует к такое, что отображения (3) при к > 1 имеют особую точку, индекс которой отличен от нуля.

3. Существует замкнутая выпуклая область

D1 с R, принадлежащая D -

M ю 2

и имеющая един-

ственную особую точку и00, такую, что на ее границе ГГ^ выполняется неравенство

inf

где

Tk(x,u0) t: ue }>

1 }> г

M: ю

i = 1,2,

q 1 =

I b I L1 ю

q 2 =■

L 2ю

(4)

2 2 Тогда уравнение (1) имеет ю -периодическое решение и = и (t, х), для которого и (0, х)е .

Доказательство. Индекс особой точки и0 непрерывного отображения Тгк (х, и 0) равен характеристике векторного поля, порожденного отображением Тк (х, и 0). Отображение Тгк (х, и 0) взаимно однозначно отображает окрестность точки и 0 на ее образ. Поэтому из того, что в нет отличных от и0 особых точек, следует, что характеристика векторного

и

2

поля Т¡к (х, и 0) равна характеристике этого векторного поля на ГД1.

Непрерывно зависящее от параметра 6 (0 < 6 < 1), семейство везде непрерывных на ГБ1 векторных полей

V (х, 6, и о ) =

= Т (х, и о ) + 6(( (х, и о )-Т, (х, и о )) , = 1,2 ,

соединяющее поля Vi (х,0,и0) = Тк (х,и0) и

V, (х, 1,и0) = Т (х,и0),, = 1,2, нигде не обращается на в нуль.

Действительно, из оценки

IIТ (х, и 0 )-Тк (х, и 0 )||< 1-- • ^, , = 1,2 1 2

и из (4) следует, что на ГБг выполняется неравенство

| V, (х, 6,и0)||>|| Тк (х,и0)||-

- 11Т, (х, и 0 )-Т (х, и 0 )||> 0, , = 1,2.

Следовательно, поля Тк (х, и 0) и

Т (х, и 0) , , = 1,2 гомотопны на ГД1. Поскольку

характеристики гомотопных на компакте полей равны между собой, то характеристика на поля

Т, (х, и 0) равна индексу особой точки и0 поля Т, (х, и 0) и отлична от нуля. Поэтому векторные поля Т, (х, и 0) имеют в Д особую точку и 0 , для которой Т (х,и00) = 0, , = 1,2.

Таким образом, существует ю -периодическое решение уравнения (1).

© Юлдашев Т. К., Крапивкина А. С., 2013

УДК 519.3:62-50

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Т. К. Юлдашев, К. X. Шабадиков

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 E-mail: [email protected], [email protected]

Изучаются вопросы приближенного решения одной задачи оптимального управления для нелинейного параболического уравнения со смешанными условиями.

Ключевые слова: параболическое уравнение, смешанные условия, оптимальное управление, обобщенная разрешимость, приближенное решение, минимизация функционала.

OPTIMAL CONTROL FOR NONLINEAR PARABOLIC EQUATION

Т. К. Yuldashev, K. H. Shabadikov

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, "Krasnoyarsky Rabochy" Av., Krasnoyarsk, 660014, Russia E-mail: [email protected], [email protected]

The approximation to solve an optimal control problem for nonlinear partial parabolic differential equations with mixed value conditions is examined.

Keywords: parabolic equation, mixed value conditions, optimal control, generalized solvability, functional minimization, approximate solution.

Пусть управляемый процесс описывается квазили- со смешанными условиями нейным параболическим уравнением вида

д u (t, x) д 2u (t, x) _ u (t, x)l t =0 _Ф ( x), u (t, x)| x=0 = u (t, x)| x=l = 0 , (2)

дt дx (1) где f (t,x,u) e С(DxR), P(t,x)- управляющая

_ P (t, x) + f (t, x, u (t, x)) функция;