Обратная задача для квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка

Юлдашев Т.К.; Шабадиков К.Х.

Решетневскуе чтения. 2014

Д. (X, x) -

ci (x) =-, i = 1, n,

Л' Д (X) ' ' '

(15)

где

Д (X, x) =

1-X A -X A,

11

-X A,

A1(i-1) B1(x) X A1(i+1) -X A2(i-1) B2 (x) -X A2(i+1)

-X A

-X A.

2 n

X Д, (X, x) — c, (x) = N,e ~X x + —--, i = 1,n .

г Д, (X)' '

Подставляя (16) в (7), имеем

u (t, x) = ф (x) +1 f (x) -

(16)

-X 9, (t)

i=1

I X Д, (X, x)Л Ne ~ x + Л '

Д, (X, x) = Д i (X, x) + f'(x) Д2 i (X),

где

-X An! ... -X A,(i-1) Bn (x) -X A(i+1) ... 1-X An

Решая дифференциальное уравнение (12) при начальном условии (3) и учитывая (15), получаем, что решение дифференциально-алгебраической системы уравнений (11) имеет вид

1-X a

-X A21

-X A„

1-X A -X A

Д1 i (X, x) = -X A1(i-1) B11(x) -X A1(i+1) -X A2(i-1) B1 2 (x) -X A2(i+1)

-X An(i-i) Bi n (x) -X Ai

n(i+1)

-X A -X A2

1-X An

Д2 i (X) =

11

-X A

n1

X A1(i-1) B21 X A1(i+1) -X A2(i-1) B2 2 -X A2(i+1)

X An(i-1) B2 n X An(i+1)

-X A -X A

1n

2n

1-X A

Тогда (17) приобретает вид

n Д (X) u (t, x) = h (t,x) + tf (x) - f '(x)X 9, (t)-2^, (18)

где h (t, x) = ф (x) -X (t)

i=1

Примем обозначение

N, e - Xx +

Д (X)

x x . Д1, (X, x) ^

I _

(17) g (x) = (h(tо ,x)-y (x))l X 9, (t0)

Дг (X) ^

Выражение (10) запишем в следующем виде

Бг(х) = Б 1г(х) + /'(х) В2 г,

Т т

где Б11 (х) = | Ь (5) ф х (х) ds, Б21 = | 5Ь1 (5)

0 0

В этом случае, согласно свойству определителя имеем

Д (X)

Д2, (X) Д (X)

Пусть ю =t0

V (t ) Д2, (X) ^ X 9, (tо) "Дтрг

V ,=i Д (X)

> 0. Тогда, ис-

пользуя условие (5), из (18) имеем дифференциальное уравнение

/'(х)-ю /(х) = я(х). (19)

Решая уравнение (19) при условии (5), окончательно получаем

/(х) = Ме их (у)е и(х-у>dy.

0

УДК 517.95

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Т. К. Юлдашев1, К. Х. Шабадиков2

1 Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: [email protected]

2Ферганский государственный университет имени Улугбека Узбекистан, 150100, г. Фергана, ул. Мураббийлар, 19 E-mail: [email protected]

Предлагается методика изучения однозначной разрешимости обратной задачи для двумерной системы квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Для решения обратной задачи приходится находить восстанавливаемые функции из нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода.

Ключевые слова: обратная задача, двумерная система квазилинейных уравнений, интегральное преобразование, метод сжимающих отображений.

Прикладная математика и механика

INVERSE PROBLEM FOR THE QUAZILINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF FIRST ORDER

T K Yuldashev1, K H. Shabadikov2

1 Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation. E-mail: [email protected]

2Fergana state university named after Ulugbek 19, Murabbiylar str., Fergana, 150100, Uzbekistan E-mail: [email protected]

A method of studying the one valued solvability of the inverse problem for a two dimensional system of quasilinear partial differential equations of first order is proposed. In order to solve inverse problem, it is necessary to find the restored functions from nonlinear Volterra integral equation of the first kind.

Keywords: inverse problem, two dimensional system of quazilinear equations, integral transformation, method of compressing mapping.

В области рассматривается система квазилиней-

Определение. Решением обратной задачи (1)-(7)

вида

ных дифференциальных уравнений трех переменных называется четверка непрерывных функций

{и (t,х,у), 9(t,х,у); ст(X), п(X)}, удовлетворяющая

системе уравнений (1) и условиям (2)-(7).

Начальная задача (1)-(3) эквивалентна следующей системе:

д u u „ , д u

— + A1 (t, х, y, u, 9) — + B1 (t, x, y, u, -9)-=

д t д x д y

--fi (,x,y,u,9,a(-Со))

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

д- д- д-+ A2 (t,x,y,u,9)-+ B2 (t,x,y,u,9)-=

д t д x д y

= f2 (г1 ,x,y,u,9,n(t-Cо))

(1)

|u (t, x, y) = ©1 ( t, x, y; u, 9, a(t)), (t,x,y) = ©2( t,x,y; u,9,n(t)),

(8)

где

с начальными

u (t, x, y)| =ф i( x, y),

9 (t, x, y), =t о =ф 2 ( x, y)

и дополнительными условиями

x=x 0 = У l(t ) =

u (s, x, y)

9 (s, x, y)

x=x 0 y=y 0

=x 0 = У 2 (t ) =

x= x 0 y=y 0

a (t) = | 1 (t), t e Et0. П (t) = | 2 (t), t e Et .

(2)

(3)

(4)

(5)

(6) (7)

где

fг (е,х,у,и (9,х,у), 9 (9,х,у),ю (X0) )d9, i = 1,2.

X о

Используя условия (4) и (5), в силу условий (6) и (7) из системы (8) получаем два нелинейных интегральных уравнения Вольтерра первого рода относительно неизвестных функций ст (X), п^):

|h 1 (, ст(5-Со)) = яг(0, (9)

X о

X

I h 2 (5, п(5-С о) ) = ЫО, (10)

a, (t, x, y, u, 9) e C (d x R 2 ); Bt (t, x, y, u, 9) e C (D x R 2 ); Фг (x,y) e C (R2); у г (t) e C[ t();T ]; f, (t, x, y, u, 9, ю (t)) e C (D x R 2 x[ 100; T ]);

уi(t0) = фi (xо,y0); §i(t)eC(Et0); ' =1,2 D = [10;T]xR2; ю(t) = (a(t),n(t));

Et 0 =[10-C 0, t0 ]; 0 <z 0 =const < 1 0; 0 <t0 <T R =

где

h, (s, ra(s) )= fi ( s, x0,y0, У1 (s), у2 (s), ю (s)) , g, (1 ) =у i ( 1 )-

( t

x0 - j a, (s, x0,y0, yiO^ у 2 (s)) ds, y 0 -

- jb, (s, x0,у0, Уl(s), У 2 (s))ds

Кроме того, g i (t 0) = 0,

У i(10) = Фi (x0,У0), ' =1,2 .

/ так

как

0

Решетневские чтения. 2014

Уравнения (9) и (1о) с помощью неклассических Тогда нелинейное интегральное уравнение Воль-

методов сведем к интегральным уравнениям Вольтер- терра второго рода (11) имеет единственное решение

ра вт°р°го р°да: на отрезке [ Xо; Т ] .

ст (X) = ;ст) =Н!(X,ст(X),ст(Xо)) ехр(-ц (X))+ Теорема 2. Пусть выполняются следующие усло-

вия:

+jК(s)• exp(-ц (t, s) )-{я1 ( ,a(t),a(t-С0))- 1) h 2(t, n(t)) e Bnd(M02)nLip(l02(t),V

t0 (11)

-H1 (s,a(s),a(s-Z0) )}ds, ГДе 0 <M02 = const, 0 <L02(t) e C[Z0;T ] ;

где 2) p 02 = max{ P 2(1)• Q(1) }< 1,

tt H(t, s) = jK(0) d0, H (t, t0) = H (t), где P2(t) = 1 + ц(1) +jL02(s)ds .

Н1 (t, ст (t Ъ ст (t-с о) ) = Тогда нелинейное интегральное уравнение Воль-

терра второго рода (12) имеет единственное решение (X) + Я К (5 )ст(5) -h 1 (5, ст(5-Со))] ds + g !(Х), на отрезке [ Хо;Т ] .

Теорема 3. Пусть выполняются следующие усло-

t

= a "

10

0 < К (1) - произвольная функция такая, что

Л

is << 1 при t >10

V z0 J

вия:

exp

-j К (s) ds

1) Ф i ( x, У ) e Bnd (Ф 0i) П LiP (L1i|x, y ), Где 0 <Ф 0i :

L1i = const, i = 1,2;

где

П (t) = ¡2(t; П) = H 2 (, П (t), П(t-C 0) )exP (-H (t) )+ 2) f (x, y, u, 9, ю) e Bnd (f0i) n Lip (l 2 i]u 9), гд

+jK(s)• exp(-h (1, s))•{H2(t,n (1),n(1 -Z0))- 0< f0i, L2i = c0nst, '' = 1,2;

10 (12) 3) Ai ( x,y, u, 9) e Lip(L3i|u 9), где 0<L3i = const,

-H2(s,n (s),n(s-Z0))) i = 12;

H 2 (t, n (1), n(t-Z 0) )= 4) Bi ( x,y, u, 9) e LlP (L 4i|u, 9) , где 0 < L 4i = const,

i =1,2;

t

= n(t) +j[ К (s )n(s)-h 2 (s, n(s-Z0) ds +g 2(1). 5) P1 <1, где

10 Г 1

Теорема 1. Пусть выполняются следующие усло- p1 = max Г L11 • j (L 31(s) + L 41( s)) ds +

вия: 1 I 10

1) h 1 (t, a (1)) e Bnd (M 01) n Lip (l 01(1), a), 1

V '' +j (L21(s) + L22(s))ds +

где 0 < M 01 = шш^ 0 < L 01 (1) e C It 0;T I; 10

2) p 01 = max {P 1(1) • Q (1) }< 1,

где

P 1(1) = 1 + h(1) + j L01 (s)ds ,

10

Q (1) = exp(-h (1))1 + 2 jK(s)• exp( (s))dsI.

+L12 • j (l32(s) + L42(s)) dsl.

Тогда система нелинейных интегральных уравнений (8) имеет единственное решение в области Б.

t

0

Обратная задача для квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Юлдашев Т. К., Шабадиков К. Х.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Юлдашев Т. К., Шабадиков К. Х.

INVERSE PROBLEM FOR THE QUAZILINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF FIRST ORDER

Текст научной работы на тему «Обратная задача для квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка»