Об обратной задаче для системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

ОБ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Т.К. Юлдашев1

Предлагается методика изучения разрешимости обратной задачи для системы квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. С помощью нелинейного метода характеристик, основанного на введение дополнительного параметра, задача Коши сводится к изучению системы для нелинейных интегральных уравнений. Для решения обратной задачи восстанавливаемые функции находятся из системы нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода с помощью нелинейного интегрального преобразования.

Ключевые слова: обратная задача, система квазилинейных уравнений, дополнительный параметр, нелинейное интегральное преобразование, метод сжимающих отображений.

1. Постановка задачи. В области В рассматривается система квазилинейных дифференциальных уравнений вида

ГЦ- + А (/,Х, и, = / (^ Х, и,$,а(г)), и = и (г, х),

*ъ$ (1)

----+ А2 (г,х,и,$)— = /2 (г,х,и,$,)(г)), $ = $(1,х)

с начальными

и дополнительными условиями

где

А, (г, х, и ,$)е С (В х Я 2), / (г, х, и ,$М0 )е с (В х Я 2 х [г 0;Т ]),

и (г, х)|{=(о = рД х),

$ х)| {=0 = 0г( х)

и (, х)| х=х0 = У1( О,

$, х)|х=х0 =У2(г),

)е С(ВхЯ

ёх

ёх

— = 1,— = А1 (г, х, и ,$), — = 1,— = А2 (г, х, и ,$). т , = 1,2

ёт

а

(2)

(3)

(4)

(5)

ю(0 = (а (г ),))), (0,7(0е С[г0 ;Т ],

,£ Я , Я = (-¥; ¥ ).

ёт ёт ёт

В°[г0;Т]хЯ, 0< ^0 <Т<¥,

Системы уравнений вида (1) встречаются при решении многих задач механики. Стандартные методы позволяют найти точные (частные) решения квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка при конкретных случаях нелинейных функций, входящих в данное уравнение [1]. Для нахождения общих решений квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных с общими нелинейными функциями эффективным является метод, который позволяет заменить поставленную задачу эквивалентным ей нелинейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода.

В данной работе изучается обратная задача для системы нелинейных дифференциальных уравнений, где восстанавливаемые функции а (г), ) (0 находятся в нелинейной правой части данной системы уравнений. При решении обратной задачи (1)-(5) относительно восстанавливаемых функций получаем систему нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода, которую с помощью нелинейного интегрального преобразования сводим к специальному виду системы нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода.

1 Юлдашев Турсун Камалдинович - кандидат физико-математических наук, доцент, докторант, кафедра высшей математики, Сибирский государственный аэрокосмический университет, г. Красноярск.

Отметим, что изучению разрешимости обратных задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных посвящено большое количество работ. Библиография основных публикаций, посвященных теории линейных обратных задач, приведена в [2, 3].

Определение. Решением обратной задачи (1)-(5) называется четверка непрерывных функций { и (г, х), $(г, х); а (г), г/(г)}, удовлетворяющая систему уравнений (1) и условиям (2)-(5).

2. Сведение задачи Коши (1)-(3) к системе нелинейных интегральных уравнений

Рассмотрим параметрическое задание характеристик как решения систем:

Сґ л Сх . ,

— = 1, — = А, (ґ, х, и , ?),

Ст Ст 1 '

Сґ , Сх . ,

— = 1, — = А2 (ґ, х,и, ?) .

Ст Ст 2

Изменение переменной т перемещает точку с координатами ґ, х по характеристике. Интегрируя уравнения в (6) и (7) по т, получаем:

х = р 1 (т,ґ,х, - , ?), х = р2 (т,ґ,х, - , ?),

где р і (і = 1,2) определяются из следующих систем:

(6)

(7)

Рі'

(т, ґ,х, и, ?) = х -1А1 (^,р1, и , ?) Съ, р2 (т,ґ, х, и , ?) = х -1А2 (я,р2, и, ?) Съ;

и = и (т, ґ, х) = и (т,ґ,р1 (т,ґ,х,и, ?)), ? = ? (т, ґ,х) = ? (т,ґ,р2 (т,ґ, х, и , ?)) .

Отсюда очевидно, что Положим

и (т, ґ,х)|і=т=^ = р(х), ? (т, ґ, х)|ґ=т=ґ =02(х).

|Г=Т=Г0

/і ( ґ, х, и ,$Мґ) )| х= р1т ґ, х ,и-, ?) = / (т, ґ, рі , и , ?, "(ґ) ) ,і = 1,2.

Тогда имеем

С- Си Ст Ст

х=р1 (т, ґ, х, и , ?)

Эи Сґ + Эи Сх Зґ Ст Эх Ст

і Эи Эи . , ,ч

= I------1--------А, (ґ,х,и, ?)

1 Эґ Эх 11 ’

х=р1 (т,ґ, х,и , ?)

х=р1 (т, ґ, х, и , ?)

= У1 (т,ґ, р 1, и,?,а(ґ)),

С? С? Ст Ст

Э? Э?

х=р2(т,ґ,х,и,?)

Э ? Сґ + Э ? Сх Эґ Ст Эх Ст

= I------1------А2 (ґ, х,и,?)

1 Эґ Эх 21 ’ ’ ’ ’

х=р2(т,ґ,х,и,?)

= /2(т, ґ,р2, и,д,л(ґ))

х=р2(т,ґ,х ,и, ?)

т.е. мы получаем следующую систему уравнений:

с—

Ст

с?

Ст

= / (т, ґ,р1 (т,ґ,х, и,?), и ,?,а(ґ)) = /2( т, ґ,р2(т,ґ,х, -,?), - ,?,^(ґ))

с начальными условиями

- (т, ґ, х) |ґ=т=ґо = (Р1 (х),

? (т, ґ, х)| ґ=т=^ =р2 (х). Интегрируя (8) по т и используя начальные условия (9), получаем:

(8)

(9)

т

т

и (т, ґ, х) = 01 (т, ґ, х; и,?), ? (т,ґ,х) = 0 2 (т, ґ, х; -,?),

(10)

где

0г- (т,ґ,х;и,?) ° рі (рі(ґ0,ґ,х,и,?)) +1 /і (в, ґ,рі (в,ґ,х,и ,?), и ,?,ю(в))Св, і = 1,2.

При т = г из (10) получаем следующую систему нелинейных интегральных уравнений (СНИУ):

| и(г,х) = 0, (г,х; и,^),

\ (11)

I ^(г, х) = 0 2 (г, х; и ,^),

где

0 i (г, х; и ,$)°ф1 (рг. (г 0, г, х, и, г?)) + | / (5, х, и (5, х), г? (5, х ),«(■$•)) \ = 1,2.

* 0

Теперь покажем, что СНИУ (11) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений (1) и начальным условиям (2)-(3).

Действительно, функции

р (р (0,г,х, и ,$)), i = 1,2 (12)

являются первыми интегралами системы

Эи

Эи

-----+ А. (ґ,х,и, ?)— = 0 ,

Эґ 1 ^ ’ Эх

Э?

Э?

(13)

------+ А2 (ґ, х, и, ?)— = 0

Эґ Эх

и они постоянны вдоль решений системы (13). Производные решений системы (13) вдоль характеристик равны нулю и функции (12) удовлетворяют системе (13). В самом деле, любые достаточно гладкие функции Фг- (х), і = 1,2, постоянные вдоль характеристик системы (13), удовлетворяют ей.

СНИУ (11) удовлетворяет начальным условиям (2) и (3). Из этой СНИУ (11) получаем

С— = /1 (ґ,х, и,?,а(ґ)),

С?

— = /, (ґ,х, и,?л(ґ)).

С другой стороны, справедливо соотношение

Си= Эи + Э-Сх С? = Э?+Э?Сх

Сґ Эґ Эх Сґ Сґ Эґ Эх Сґ

Так как

Сх

Сх

— = А1 (ґ, х, и,?), — = А2(ґ, х, и,?),

то из последних четырех соотношений следует, что система уравнений (11) удовлетворяет системе уравнений (1).

Итак, мы доказали, что задача Коши (1)-(3) и система нелинейных интегральных уравнений (11) эквивалентны.

3. Сведение обратной задачи (1)-(5) к нелинейным интегральным уравнениям Вольтерра второго рода

Используя условия (4) и (5) из системы (11) получаем два нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода относительно неизвестных функций а (г), г (г):

і

0

J h i (5, s(s)) ds = g i(t),

10 t

J h 2 (s ,h(s)) ds = g 2(t),

(14)

(15)

где hi (s,^s)) = fi (sx0,¥\(s),¥2(s\ ^s)), gi (t) = У (t) - j

\

x о - J Ai (s, x o,yi(s),y2(s))i

Кроме того, gi (t0) = 0, так как y (t0) = j (x0), i = 1,2.

Уравнения (14) и (15) с помощью классических методов невозможно свести к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, к которому мы могли бы применять метод последовательных приближений и метод сжимающих отображений. Поэтому здесь применяем другую методику. Уравнение (14) запишем в виде

0 < M 01 = const, (16)

где 0 < L01(t) е C10 ;T J ; произвольная функция такая, что р01 = max{ P1 (t) • Q (t) }< 1 .

Применяя к (16) интегральное преобразование из [4, гл. 1], получаем

s (t) = Ir(t ;s) °

r(t) + j[K(s) s(s)-h j(s,s(s)) ]ds + gj(t)

г 0

xexp(-m(t)) + jK(s)• exp(-m(t, s)) • { s(t) - s (s) + g 1 (t) - g j(s) +

*0

t s

+ j[K(s)s(s) -h1 (s,s(s))]ds - j[K(0)s(0) -h1 (0,s(0))]d9

t0 t0

t

где m(t,s)=jk(q) dq, m(t, t0)=m(t).

s

Аналогичным путем из (15) приходим к следующему уравнению:

(17)

h (t)=12 (t;h) ° *

h(t) + j[ K(s )h(s) -h 2 (s,h(s)) ] ds + g 2 (t)

x

+

(18)

xexp (-m(t)) + j K (s) • exp (-m(t, s) ) • { h (t) - h (s) + g 2 (t) - g 2 (s) +

t0

s

-j[ K (s) h (s) - h 2 (s, h (s))] ds - j [ к (q)h(q) - h 2 (q, h(q)) ] dq t0 t0

Уравнения (14) и (17) являются эквивалентными. Аналогично уравнения (15) и (18) также являются эквивалентными.

4. Разрешимость нелинейных интегральных уравнений (14) и (15)

Сначала изучаем разрешимости уравнения (14). Рассмотрим следующий итерационный процесс:

(t 1

S0(t) = jh (s,0)ds + gj(t) • exp(-m(t)),

V г0 У

Sk+1(t) = k(t;Sk), k = 0,1,2,... .

(19)

0

0

t

0

Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:

1. h 1 (t, s(t))е Bnd(M01) nLip(L01(t) |s), где 0 <M01 = const, 0 < L01(t)е C10 ;T J ;

2. р01 = max{ P 1(t)• Q(t)} < 1, где

1(t) = 1 + m(t) + j Ln(s)ds, Q (t) = exp (-m(t) )•

1 + 2

j K (s) • exp (m(s)) ds

Тогда нелинейное интегральное уравнение Вольтерра первого рода (14) имеет единственное решение на отрезке [^Т].

Доказательство. Для произвольной непрерывной на отрезке г0;Т ^ функции а (г) примем

норму следующим образом: a (t) = max a (t) .

10 <t<T

Пусть

Тогда для разности

S(t) -S0(t) =

s0

(t)|| < (M01T+1 |g1 (t )||) • exp (-m(t)) < 1.

(20)

S0(t) + j [K(s) S0 (s) + h1(s ,0) - b\( s, S0 (s))] ds

exp (-m(t)) +

+

j K (s) exp (-m (t, s)) { S0 (t) - S0 (s) + j [K(s) S0 (s) + ЛДs ,0) - h (s, S0 (s)) ] ds -

- j [к(q) S0 (q)+h (q,0) - \ qq, S0 (q)) ] dq

в силу первого условия теоремы и оценки (20), получаем оценку

II s 1(t) - s 0 (t ) || < I s 0 (t) I P1 (t) Q (t) < max { P1 (t) • Q (t)} = P01 < 1

(21)

где P 1(t) = 1 + m(t) + jL01 (s)ds , Q(t) = exp(-m(t) )•

1 + 2 j K (s) • exp (m(s)) ds

Аналогично для произвольной разности приближения (19) имеем оценку

Is k+1(t) - s k(t) || < P011|s k(t) - s k-1(t) || <|| s k(t) - s k-1(t) I.

Отсюда и из (21) следует, что оператор в правой части (17) является сжимающим и, следовательно, уравнение (14) имеет единственное решение на отрезке [t0;T].

Из интегрального уравнения (18) аналогично можно доказать, что справедлива и следующая Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия:

1. h 2 (t,h(t))е Bnd(M02) nLip(L02(t)|h), где 0 <M02 = const, 0 < L02(t)е C10 ;T J ;

2. р02 = max { P 2(t) • Q (t) }< 1, где P2(t) = 1 + m(t) + j L 02(s) ds .

t Jt0i

Тогда нелинейное интегральное уравнение Вольтерра первого рода (15) имеет единственное решение на отрезке [t0;T].

Таким образом, мы определили функции s(t), h(t) в правой части системы уравнений (1) из нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода (14) и (15) соответственно.

5. Однозначная разрешимость системы нелинейных интегральных уравнений (11)

Так как уже определены функции s(t), h(t), то теперь мы можем приступить к изучению разрешимости системы уравнений (11).

t

0

0

0

t

t

0

0

0

0

0

Теорема 3. Пусть выполняются следующие условия:

1) j (x)е Bnd(j0i) nLip(L1i|M,tf), где 0 < j0i, L1i = const, i = 1,2;

2) fi (x, u, tf, w) е Bnd (f0 i) n Lip (l 2 ^ , где 0 < /0 i , L 2i = const, i = 1,2;

3) At ( x, u, tf)е Lip(L3i|u tf), где 0 < L 3i = const, i = 1,2;

4) p1 < 1 , где р1 = max

+ max

t

L12 • jL32(s)ds + jL22(s)ds

(22)

L11 • j L 31(s)ds + j L 21(s)ds

10 t0

Тогда система нелинейных интегральных уравнений (11) имеет единственное решение в области D.

Доказательство. Итерационный процесс Пикара для системы уравнений (14) определим следующим образом:

u 0 (t,x) = 0, uk+1 (t,x) = 01 (t,x; uk ,tfk ),

<

tf 0 (t,x) = 0, tfk+1 (t,x) = 02 (t,x; uk ,tfk ), k = 0,1,2,... .

Для произвольной функции w (t, x) в пространстве непрерывных функций норму определим следующим образом:

|| w (t, x) || = max |w (t, x) | ,

t 10 <t<T

где x играет роль параметра.

В силу первого условия теоремы для первого приближения из (22) имеем оценку

llu 1 -u0IL < j01 + f01 •T, (23)

tf1 tf0 L <j02 + f 02 • T .

(24)

С учетом (23) и (24), в силу условий теоремы, для второго приближения из (22) получаем оценку

|| и 2 - и Ц < Ь11 • | Ь 31(5)-(| и 1 - и 0 || +||^1 _^0| ) ^5 + | Ь 21(5)-(| и 1 - и 0 || +||^1 _^0| ) ^5 <

г 0 г 0

( г г ^

<(^01 +^02 + (/01 + /02 ) • Т )• Ь11 • { Ь 31(5) ё { Ь 21 (5) ё < ( ^01 +^02 + (/01 + /02) • Т ), (25)

ч 10 10 у

II ^2 ^1II { < Ь 12 • | Ь 3 2(5) • (| и 1 — и 0 || { + || А1 — А0 1^ ё | Ь 22(5) • (| и 1 — и 01 { + II А1 — А0 1^ ё <

<(^01 +^02 + (/01 + /02 ) • Т )• Ь12 • | Ь 32(5)ё5 + | Ь 22(5)ё5 <(^01 +^02 + ^./01 + /02) • Т ) . (26)

ч {0 {0 у

В силу условий теоремы для произвольного натурального числа к > 1 из (15) получим оцен-

ку

| uk+1 uk\\t <

L11 j L31(s) (| uk - uk-1 |L +|| tfk -tfk-1 |L ) ds + j L21 (s) (| uk - uk-1 |L +|| tfk -tfk-1 |L ) ds,

t0 t0

tt

tfk+1 -tfk||x < L12 j L32 (s) (|| uk - uk-1|t + || tfk - tfk-111 ) ds + j L22 (s) (| uk - uk-1 | +|| tfk -tfk-111 ) ds,

t0

Ilf/"" ■ -I “22'

t0

Отсюда получаем, что

0

0

I Wk+1 (t, х) - Wk (t, х) 11 < r II Wk (t, x) - Wk_! (t, x) || t <| Wk (t, x) - Wk_! (t, x) || t , (27)

где ||Wk_Wk_i\\x = max{|«k_«k_i||x;|\J_ Jk_i||x}>

Pi = max

t

t t La • I L3i(s) ds + I L21 (s) ds

0

0

+ max

t

tt Li2 • I L32(s) ds + I L22(s) dl.

t0 t0

В силу оценок (25)-(27) следует, что согласно принципу Шаудера оператор в правой части (11) имеет единственную неподвижную точку. Следовательно, система нелинейных интегральных уравнений (11) имеет единственное решение в области В.

Литература

1. Зайцев, В.Ф. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка // В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. - М.: Физматлит, 2003. - 416 с.

2. Денисов, А.М. Введение в теорию обратных задач // А.М. Денисов. - М.: МГУ, 1994. -285 с.

3. Романов, В.Г. Обратные задачи для математической физики // В.Г. Романов. - М.: Наука, 1984. - 264 с.

4. Юлдашев, Т.К. Нелинейные интегральные и интегро-дифференциальные уравнения // Т.К. Юлдашев. - Ош: ОшГЮИ, 2010. - 107 с.

Поступила в редакцию 28 октября 2011 г.

ON AN INVERSE PROBLEM FOR A SYSTEM OF QUAZILINEAR EQUATIONS IN PARTIAL DERIVATIVES OF THE FIRST ORDER

Т.К. Yuldashev1

A method of studying solubility of an inverse problem for the system of quasilinear differential equations in partial derivatives of the first order is offered. With the help of a nonlinear method of characteristics based on introduction of an additional parameter, a Cauchy problem is reduced to study the system of non-linear integral equations. For solution the inverse problem the restored functions are found from the system of Volterra non-linear integral equations of the first kind with the help of nonlinear integral transformation.

Keywords: inverse problem, system of quasilinear equations, additional parameter, nonlinear integral transformation, method of contracting mapping.

References

1. Zajjcev V.F., Poljanin A.D. Spravochnikpo differencial'nym uravnenijam s chastnymi proizvod-nymi pervogo porjadka (Handbook of differential equations with first-order partial). Moscow, Fizmatlit, 2003. 416 p. (in Russ.).

2. Denisov A.M. Vvedenie v teoriju obratnykh zadach (Introduction to the theory of inverse problems). Moscow, MGU, 1994. 285 p. (in Russ.).

3. Romanov V.G. Obratnye zadachi dlja matematicheskojj fiziki (Inverse problems in mathematical physics). Moscow, Nauka, 1984. 264 p. (in Russ.).

4. Juldashev T.K. Nelinejjnye integral'nye i integro-differencial'nye uravnenija (Non-linear integral and integro-differential equations). Osh: OshGJul, 2010. 107 p. (in Russ.).

1 Yuldashev Tursun Kamaldinovich is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Doctoral Candidate, Department of Higher Mathematics, Siberian state aerospace university, Krasnoyarsk.

_E-mail.tursunbay@rambler;ru________________________________________________________________________________________