CC BY
12Предположим, что для этого оптимального управления справедлива оценка
Р-(t,x) -PNk"(t,x)| < qNk(t)
lim qNk(t) = 0.
N ^ад k ^ад
(7)
Теорема 2. Пусть:
1) выполняются условия теоремы 1 и (7);
2) g(t,x,u,S) e С(DxR2)nLip{L1(t)|u ; l2 (t) |aj,
где
0 <JLm (t)dt < ад , m = 1,2;
< ад .
3) W (t,в2(T) Тогда справедливо следующее соотношение
= 0.
lim
N ^ад k ^ад
j [ p;]-j [ pinkw]
© Юлдашев Т. К., 2014
УДК 519. 635
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
Т. К. Юлдашев, А. О. Булов
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: [email protected]
Рассматриваются вопросы обобщенной разрешимости обратной задачи для одного нелинейного псевдогиперболического уравнения высокого порядка с интегральным условием переопределения. Методом разделения переменных обратная задача сводится к системе нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода. При этом нелинейные интегральные уравнения Вольтерра первого рода сводятся с помощью неклассического интегрального преобразования к нелинейным интегральным уравнениям Вольтерра второго рода. Далее применяется метод последовательных приближений в сочетании его с методом сжимающих отображений.
Ключевые слова: обратная задача, нелинейное псевдогиперболическое уравнение, интегральное условие переопределения, интегральное тождество, обобщенные производные.
AN INVERSE PROBLEM FOR A NONLINEAR PSEUDOHYPERBOLIC EQUATION
OF HIGHER ORDER
Т. К. Yuldashev, A. O. Bulov
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation E-mail: [email protected]
The questions of generalized solvability of the inverse problem for nonlinear pseudohyperbolic equation of higher order with restoring integral condition are considered. Due to the method of separating variable the inverse problem results in the system of nonlinear Volterra integral equations of first kind. In addition, the nonlinear Volterra integral equations of first kind results in the nonlinear Volterra integral equations of second kind due to nonclassical integral transformation. Further the method of successive approximation in combination with the method of compressing mapping is applied.
Keywords: inverse problem, nonlinear pseudohyperbolic equation, restoring integral condition, integral identity, generalized derivatives.
В области D рассматривается уравнение
д
It2
2 (
u (t, x) + (-1)n V
д 2 nu (t, x) ^
д x2 n
д4 n+1u (t, x) д4 nu (t, x)
д t д x4 n д x4 n
= f (t, x, u (t, x ), S (t-t) )
с начальными
д
u (t,x)|t=0 =Ф: (x), — u (t,x)|t=0 =ф2 (x)
д t
граничными
u (t, x)| x=0 = u (t, x)| x=l = uxx(t, x)| x=0 = uxx(t, x)| x=l =
(2)
(1)
д
4 n - 2
д x
4 n - 2
u (t ,x).
д
4 n-2
д x
4 n-2
u (t ,x), x=, = 0
Прикладная математика и механика
и дополнительными условиями
t
J K(t,5) u (5,x0) ds = у (t), 0 < x0 < l, (4)
10
S (t) = n (t), t e E0, (5)
где f (t,x,u,S) e С(DxR x U0); ф, (x) e C4n+1 (Dl);
Ф j (x)| x=0 =ф j "(x)| x=0 = ••• = ф j 4"-2)( x) x=0 =ф J (x)| x=l =
=ф, "(x) x=i =•••= ф r-2)(x)| x=i =0; j= K(t,s) e C1Ф2); у (t) e С1 (DT), у (t0) = 0;
U 0 - отрезок на действительной числовой оси;
D = Dt xDi; Dt = (t0, T); n(t) e C(E0);
E010-T ; 10]; Di = (0, l); 0 <l <«;
0 < 10 < T < да; 0 <t = const << T; n - натуральные числа; 0 <v , ц- малые параметры^
Используется модифицированная методика разделения переменных, основанная на поиске решения смешанной задачи (1)-(3) в виде предела:
u (t, x) = lim V at (t) • bt (x).
N i=1
b'(x)=i7sin x ix' К i = T'
(6)
10 0 V j=1 xP. (t,s) b i (у) dy ds,
(7)
где
1
v.(t) = exp <|-7 ю 1.(v, vO z
ф Ii COS ю 2. (v, Ц)7 +
ю 2 i (V > VO
( , ФИ /- Ol • /- \ t
Ф 2i +— ЮН (V> VO SinЮ 2i (V >
P (t, s) =
I - st - s I. _ ч t - s 2exP j- ю ii (v, V-)— [ Sinю 2i (v> V-) —
Ю 0i (v) [ю 2i (v> V) + ю 1 i(v, V) sinю 2i(v > V) s ]
ю 0i(v) =1+ К 2"v > юн(v> V) = ю 2 i (V > V) =
7 4n К i V
ю 0i (v)
к 2 n4 4 ю 0i (V)-К 4 nv 2
ю 0 г (v)
Подставляя решение СНИУ (7) в ряд (6), получаем формальное решение смешанной задачи (1)-(3):
u (t, x) = lim V
N ^м^ i =1
w
t l i N
(t) + jjf s,у, V (s)>
100 V j=1
bj (у), S (s -T)
xb i (у)P(t,s)dyds] •b i (x).
(8)
Теорема 2. Пусть выполняются условие теоремы 1 и
T l
1) j j I f (t,у, u , S)| dydt <м;
10 0
2) f (t, x, u , S) £ Lip{ H(t,x)|u } ,
t i
где
jj |h (t, у )| dyds <м;
t0 0
3) lim V| w. (t)|
< м.
'i =1
Тогда предел (8) сходится. Ряд (8) можно записать в виде
u (t, x) = u 0 (t, x) +
t l
+ jjQ (t, s, x >y) f (s.у> u(s>y). S(s"t)) dyds,
(9)
где
Теорема 1. Если X г4>2 - 4 X2п V- 4 < 0, то коэффициенты разложения а^ (/) формального решения
смешанной задачи (1)-(3) удовлетворяют следующей системе нелинейных интегральных уравнений (СНИУ):
11 ( N Л
аг (Г) = w1 (Г) + Ц / s,у, £ а] (• Ъ](у),9(^-т)
u0(t,x) = lim V wi (t) • bi (x),
N i=1
Q(t, s,x,y) = lim V p(t, s)b i (у) b t (x).
N ^вд
i =1
Уравнение (9) является нелинейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода относительно неизвестной функции и (/, х) и нелинейным интегральным уравнением Вольтерра первого рода относительно восстанавливаемой функции 9 (/).
Используем условие (4). Тогда интегральное уравнение (9) приобретает вид
г $ 1
IК (Г, $) Ц е ($, I, х 0, у) / (I, у, и (I, у),
г о г о о
9 (|-т)) dyd I ds = я (г),
(10)
где
g(t) =v(t) - j к(t,s) u 0(s,x0) ds;
z 0
N
u0(t,x0) = lim V wt (t) • bi (x0);
ß(t, 5,X0,y) = lim £ P(t, 5)b l (y) b г (Xо);
N ^ i=1
g (t 0) = 0.
Интегральные уравнения (9) и (10) составляют систему интегральных уравнений относительно пары неизвестных функций {u (t, x), 9 (t)} :
t0
0
i =1
и ($, х) = и 0(/, х) + где через © 1(/, х; и, 9) обозначен оператор в правой
' 1 части (9), а через © 2 (/; и, 9) - оператор в правой час-
, У) / (5, У, и (5, У), 9 С5--т)) ,
ти (12). Тео
t s 1 4 t s l
100 (11) Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 2 и
J K (t, s) jj Q (s, |, x0, y) f (%, y, u (%, y), 1) max j| K (t, s)| jj| Q (s, %, x, y)\f (%, y, u, S)|
10 10 0 (t,x)eD 10
10 t 0 '
S(%-t))dyd%ds = g(t). dyd%ds<Д<ад ;
Для разрешимости системы (11) методом последо- 2) f (t,x, u , S)e Lip(L 0(t,x)|u S), вательных приближений относительно неизвестной функции S (t) преобразуем уравнение (10). Рассмотрим произвольную функцию 0 < F (t) такую, что t0 0
t A t
t l
где 0 <JjL 0(s, y) dyds <ад;
exp
-J F (s) ds
V t0 J
<< 1 при t > 10 .
Уравнение (10) заменяем со следующим уравнением:
S(t) = H (i , s, u (s, x), S (s) )• exp (-ц (t) ) +
3) max J F (s) ^ g (t) - g (s)| • exp (-ц (t, s) )ds <р<ад;
4) p = 2 max<! max Mj(t); max M2(t) ><1,
I teDT teDT I
где
l
+J F (s) • exp (-ц (t, s) )•[ H (t, s, u (s, x), S (s))- M^t) = J| K (t, s)| JJ| Q (s, %, x, y)| • L 0(%, y) dyd %ds,
t0 (12)
- H (s, %, u (%, x), S(%))] ds,
t
где ц (t, s) = JF(9) d9, ц (t, 10) = ц (t).
t0 t0 0
( t A
M 2 (t) =
1+ J F (s) ds + Mj(t)
t0
• M 0(t)
M0(t) = exp(-ц (t)) + 2 JF(s) • exp(-ц (t,s))ds.
t0
Уравнение (12) эквивалентно уравнению (10) при начальном условии (5). Отсюда следует, что вместо
(11) получается новая система нелинейных инте- Тогда обратная задача (1)—(5) имеет единственное
гральных уравнений Вольтерра второго рода относи- обобщенное решение {и (/, х), 9(/)} в области Б.
тельно шры неизвестных функций { и , ^ 9 )}: Теорема 4. Пусть выполняются условия теоремы 3.
Тогда решение обратной задачи устойчиво относи-|и,х) = ©!(^,х; и,9), тельно функции у(/), заданной в (4).
[9 (/) = ©2(/; и,9),
© Юлдашев Т. К., Булов А. О., 2014
0
УДК 517. 95
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Т. К. Юлдашев, А. Г. Лоскутова
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: [email protected]
Изучается однозначная разрешимость линейной обратной задачи для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных производных первого порядка. Модифицируется метод вырожденного ядра интегрального уравнения Фредгольма второго рода для случая интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма в частных производных первого порядка. Задача сводится к решению системы дифференциально-алгебраических уравнений первого порядка. С помощью известных свойств определителей относительно функции восстановления получится неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Ключевые слова: обратная задача, уравнение в частных производных, уравнение с вырожденным ядром, неоднородное дифференциальное уравнение, однозначная разрешимость.
