CC BY
16u ($, х) = u 0 (V, x) + где через © 1(/, г; ы, 9) обозначен оператор в правой
' 1 части (9), а через © ; ы, 9) - оператор в правой час-
+Це а, ^, х , У) / (5, У, ы (5, У), 9 С5--т)) ,
ти (12). Тео]
t s 1 4 t s l
t °0 (11) Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 2 и
jK(t,s) jjQ(s,|,x°,y) f (%,y, u (%, y), 1) max j|K(t,s)| jj|Q(s,%,x,y)\f (%,y, u, Q)|
10 t ° 0 (t, x)Efl t°
l ° i 0
Q(%-т))dyd%ds = g(t). dyd%ds<Д<да ;
Для разрешимости системы (11) методом последо- 2) f (t,x, u , Q) e Lip(L °(t,x)|u Q), вательных приближений относительно неизвестной функции Q (t) преобразуем уравнение (10). Рассмотрим произвольную функцию 0 < F (t) такую, что t0 0
t A t
t 1
где 0 < jjL 0(s, y) dyds
exp
- j F (s) ds
V t0 J
<< 1 при t > 10 .
Уравнение (10) заменяем со следующим уравнением:
Q(t) = H (t, s, u (s, x), Q (s) )• exp (-ц (t) ) +
3) max j F (s) ^ g (t) - g (s)| • exp (-ц (t, s) )ds <р<да;
4) p = 2 max<! max Mj(t); max M2(t) ><1,
I teDT teDT I
где
l
+j F (s) • exp (-ц (t, s) )•[ H (t, s, u (s, x), Q (s))- M^t) = j| K (t, s)| jj| Q (s, %, x, y)| • L 0(%, y) dyd %ds,
t0 (12)
- H (s, %, u (%, x), Q(%)) ds,
t
где ц (t, s) = jF(9) d9, ц (t, 10) = ц (t).
t0 t0 0
( t A
M 2 (t) =
1 + j F (s) ds + Mj(t)
t0
• M 0(t)
M0(t) = exp(— ц (t)) + 2 jF(s) • exp(-ц (t,s))ds.
t0
Уравнение (12) эквивалентно уравнению (10) при начальном условии (5). Отсюда следует, что вместо
(11) получается новая система нелинейных инте- Тогда обратная задача (1)—(5) имеет единственное
гральных уравнений Вольтерра второго рода относи- обобщенное решение {ы (/, х), 9(/)} в области Б.
тельно шры неизвестных функций { ы (t, ^ 9 (t)}: Теорема 4. Пусть выполняются условия теоремы 3.
Тогда решение обратной задачи устойчиво относи-|ы(,х) = ©!^,х; ы,9), тельно функции у(V), заданной в (4).
"¡9 (V) = ©2(t; ы,9),
© Юлдашев Т. К., Булов А. О., 2014
0
УДК 517. 95
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Т. К. Юлдашев, А. Г. Лоскутова
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: [email protected]
Изучается однозначная разрешимость линейной обратной задачи для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных производных первого порядка. Модифицируется метод вырожденного ядра интегрального уравнения Фредгольма второго рода для случая интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма в частных производных первого порядка. Задача сводится к решению системы дифференциально-алгебраических уравнений первого порядка. С помощью известных свойств определителей относительно функции восстановления получится неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Ключевые слова: обратная задача, уравнение в частных производных, уравнение с вырожденным ядром, неоднородное дифференциальное уравнение, однозначная разрешимость.
Прикладная математика и механика
AN INVERSE PROBLEM FOR FREDHOLM PARTIAL INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION OF THE FIRST ORDER
^ K Yuldashev, A. G. Loskutova
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation E-mail: [email protected]
The one value solvability of the linear inverse problem for partial Fredholm integro-differential equations of the first order is researched. the method of degenerate kernel designed for Fredholm integral equations of the second kind is modified for the case ofpartial Fredholm integro-differential equations of the first order. The considered problem is reduced to solve a system of differential-algebraic equations of the first order. By the aid of the known determinant properties in solving the inverse problem with respect to the restore function the inhomogeneous differential equation of the first order is obtained.
Keywords: inverse problem, partial equation, equation with degenerate kernel, inhomogeneous differential equation, one valued solvability.
Рассматривается в области Q = QT xR интегро-дифференциальное уравнение
д u (t, x) dt
J K (t, 5)
д u (s, x) д x
Дифференцируем (7) по x :
Ux (t,x) = 9x (x) -j^c,-' (x)- q, (t) + tf'(x). (8)
ds = f (x)
с начальными условиями
u (0, x) = ф (x), x e R,
<(t,0) = ф(0) + f (0)t-j qt (t) Nt
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
i=1
Подставляя (8) в (6), имеем c,(x) =
= J bt (s)
Ф x (x) -j Cj '(x) - q j (s) + sf '(x)
j=1
d s.
(9)
1=1
и дополнительными условиями
и (/0 , х) = у(х), t0 е(0; Т) , х еЯ, / (0) = М,
где / (х) е С(1) (Я) - функция восстановления;
п
ф(х) е С1 (Я); К^,5) = £аг ^) Ьг (5); 0 < аг ^),
г=1
Ьг (5) е С (О Т); Ыг, М - заданные постоянные;
t
О Т = [ 0,Т ]; у (х) е С (Я); q1 (0 = | аг (5) d5.
0
Определение. Решением обратной задачи (1)-(5) называется пара непрерывных функций
Примем обозначение
Bi(x) = J bl (s) фx (x) ds + f '(x) J sbl (s) ds. (10)
0 0
T
Пусть Atj =J bt (s)qs (s)ds > 0. Тогда уравнение
(9) запишется в виде
c, (x) + j A,J - Cj'(x) = Bt (x), i = 1,n .
(11)
j=1
( и \ ft \ Тогда из (11) получа
{u (t,x) e С , (Q), f (x) e С (R)удовлетворяЮщая гебраических уравнений: уравнению (1) и условиям (2)-(5). С помощью обозначения
g (x) = (h(t 0,x)-у (x)) I jj q, (t 0)
Уравнение (11) решается при выполнении следующего условия:
ct'(x) = -X ct (x), 0 <X = const, i = 1, n . (12) Тогда из (11) получаем следующую систему ал-
Д21(X)
.t=1 Д (X) ,
уравнение (1) перепишется в следующем виде: д u (t, x)
t=1
(6)
с г (X)-х£ Аг] ■с] (х) = Бг (х), 1 = 1, п . (13)
]=1
Система алгебраических уравнений (13) однозначно разрешима, если
1 -X А,
д t
• = -jat (t)-c, (x) + f (x).
Д (X) =
Интегрирование по t и учет условия (2) в последнем равенстве дают
-X A12
X A 21 1 X A 22
-XAn1 -XAn2
-X A, n -X A 2,
1 -X A„
Ф 0. (14)
n Тогда решения системы алгебраических уравне-
i(t, x) = ф (x) -j ci (x) - qt (t) +tf (x). (7) ний (13) записываются в виде
t=1
Дi (X, x) -
ci (x) =-, i = 1, n,
Л' Д (X) ' ' '
(15)
где
Д (X, x) =
1-X A -X A,
11
-X A,
A1(i-1) Bi(x) X A1(i+1) -X A2(i-1) B2 (x) -X A2(i+1)
-X A -X A.
2 n
X Д, (X, x) — c, (x) = N,e ~X x + —--, i = 1,n .
г Д, (X)' '
Подставляя (16) в (7), имеем
u (t, x) = ф (x) + tf (x) -
(16)
-X 9, (t)
i=1
I X Д, (X, x) A Ne ~ x + Л '
Д, (X, x) = Д i (X, x) + f'(x) Д2 i (X),
где
-X An! ... -X A,(i-1) Bn (x) -X A,(i+1) ... 1-X An
Решая дифференциальное уравнение (12) при начальном условии (3) и учитывая (15), получаем, что решение дифференциально-алгебраической системы уравнений (11) имеет вид
1-X a
-X A21
-X A„
1-X A -X A,
Д1 i (X, x) = -X A1(i-1) B11(x) -X A1(i+1) -X A2(i-1) B1 2 (x) -X A2(i+1)
-X An(,-1) Bi n (x) -X Ai
n(i+1)
-X A -X a2
1-X A„
Д2 i (X) =
11
-X A
n1
X A1(i-1) B21 X A1(i+1) -X A2(i-1) B2 2 -X A2(i+1)
X An(i-1) B2 n X An(i+1)
-X A -X A
1n
2n
1-X A„
Тогда (17) приобретает вид
n Д (X) u (t, x) = h (t, x) + tf (x) - f '(x)X qt (t)-2^, (18)
где h (t, x) = ф (x) -X q, (t)
i=1
Примем обозначение
N, e - Xx +
Д (X)
X x . Д1, (X, x) A
I _
(17) g (x) = (h(t0 ,x)-y (x))l X 9, (t0)
Дг (X) ^
Выражение (10) запишем в следующем виде
Бг(х) = Б 1г(х) + /'(х) В2г,
Т т
где Б11 (х) = | (5) ф х (х) ds, Б21 = | (5) й5. 0 0
В этом случае, согласно свойству определителя имеем
Д (X)
Д2, (X) Д (X)
Пусть ю =t0
V (t ) Д2, (X) A X 9, (t0) "Дтрг
V i=i Д (X)
> 0. Тогда, ис-
пользуя условие (5), из (18) имеем дифференциальное уравнение
/'(х)-а /(х) = я(х). (19)
Решая уравнение (19) при условии (5), окончательно получаем
/(х) = Ме ах (у)е а(х-У>йу.
0
© Юлдашев Т. К., Лоскутова А. Г., 2014
УДК 517.95
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Т. К. Юлдашев1, К. Х. Шабадиков2
1 Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: [email protected]
2Ферганский государственный университет имени Улугбека Узбекистан, 150100, г. Фергана, ул. Мураббийлар, 19 E-mail: [email protected]
Предлагается методика изучения однозначной разрешимости обратной задачи для двумерной системы квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Для решения обратной задачи приходится находить восстанавливаемые функции из нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода.
Ключевые слова: обратная задача, двумерная система квазилинейных уравнений, интегральное преобразование, метод сжимающих отображений.
