Об одном интегро-дифференциальном уравнении типа Вольтерра с нелинейной правой частью Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Shan'ko Yu. V. Ob odnoy pereopredelennoy sisteme uravneniy dvizheniya sploshnoy sredy [About one overdetermined system of equations of motion of a continuous medium] // Reshetnevskie chteniya. 2013. Vol. 2, no. 17, pp. 122-123 (In Russ.).

4. Khabirov S. V. The plane isothermal motions of an ideal gas without expansions // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2014, Vol. 78, iss. 3, pp. 287-297, doi: 10.1016/j.jappmathmech.2014.09.012.

5. Shan'ko Yu. V. Ob odnoy pereopredelennoy sisteme uravneniy dvumernykh dvizheniy ideal'noy zhidkosti [On one overdetermined system of equations of two-dimensional motions of an ideal fluid] // Reshetnevskie chteniya. 2014. Vol. 2, no. 18, pp. 163— 164 (In Russ.).

© Шанько Ю. В., 2015

УДК 517.9

ОБ ОДНОМ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ ТИПА ВОЛЬТЕРРА С НЕЛИНЕЙНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

Т. К. Юлдашев, О. В. Солодова

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 Е-mail: [email protected], [email protected]

Рассмотрены вопросы об однозначной разрешимости для одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения типа Вольтерра с начальным условием. С помощью несложного интегрального преобразования задача сведена к нелинейному интегральному уравнению типа Вольтерра. Доказана теорема о существовании и единственности решения данной задачи на рассматриваемом отрезке.

Ключевые слова: интегро-дифференциальное уравнение, начальная задача, интегральное преобразование, нелинейное интегральное уравнение, однозначная разрешимость.

TO VOLTERRA TYPE INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION WITH NONLINEAR RIGHT-HAND SIDE

Т. К. Yuldashev, О. V. Solodova

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected], [email protected]

The questions of one-valued solvability for a nonlinear Volterra type integro-differential equation with initial value condition are considered. By the aid of uncomplicated integral transformation this problem is reduced to the nonlinear Volterra type integral equation. The theorem of existence and uniqueness of the solution of given initial value problem in considering segment are proved.

Keywords: integro-differential equation, initial value problem, integral transformation, nonlinear integral equation, one-valued solvability.

Рассматривается на отрезке DT интегро-дифференциальное уравнение Вольтерра вида

/ (t)-XjK (s)u (s) ds = f (t,u (t)) (1)

с начальным условием

u (t )| t =0 =ф,

(2)

где К (?) е С (ВТ), / (г, и) е С (В), X - параметр; В = ВТ х Я; ВТ =[ 0;Т ]; Я = (-ж; да).

Отметим, что для интегро-дифференциальных уравнений типа Фредгольма подобная методика разработана в работах [1-3]. Примем обозначение

S (t) = jK (s)u (s) ds.

(3)

Тогда уравнение (1) принимает вид

и'(0-Х3(0 = f(t,и (0). (4)

Интегрируя (4) по г, получаем

г г

и (?) = ф + Х 1^(5) ds + | f (5-,и (5-)) ds. (5) 0 0 Подставляя (5) в (3), имеем

г 5 г

9 (?) = Х| К( 5) |&(9) d6ds + фJ К(5) ds +

0 0 0

Прикладная математика

+ J K (5) J/(9, u (9)) d 9 ds. (6)

0 0

Из (6), используя формулу Дирихле, получаем

t

3(t) = X JH(t,s)S(s)ds + у(t) +

где

+JH (t,s)/(s,u (s)) ds,

0

tt у(t) = ф-|K(s)ds; H(t,s) =JK(9)d9.

где

g(t) =y(t) + Js(t,s;X)y(s)ds .

Подставляя (8) в (5), окончательно имеем следующее нелинейное интегральное уравнение типа Воль-терра:

u (t) = g(t) + Js(t,s;X) JH (s,9)/(9,u (9))d9ds +

0 0

t

+JH (t,s)/(s,u (s))ds, (9)

0

где Ж(t,s) = (t-s)Ж(t,s;X); H(t,s) = (t-s)H(t,s) + 1,

t

(7) g(t) = ф + |g(s)ds .

Применяя метод резольвенты к интегральному уравнению (7) с ядром Н (г, $), имеем

г $

9 (г) = g (г) (г, $; X) | Н ($, 9) / (9, и (9)) d 9 ds +

о о

г

+|Н (г,$)/($,и ($))ds, (8)

Теорема. Пусть выполняются следующие условия:

1) /(t,u) e Bnd(M)nLip{ L(t)|u },

t s

a = max J|S(t,s;X)| J H(s,9) |d9ds <«;

teDT 0 0

t

2) p = max N H (t, s) Ids ; II g (t)\\

teDT J 1 1 II II

1 0

t s

3) p = max (t, s; X) |J| H (s, 9) |L (9) d 9 ds +

+ max

teDT

J| H(t,s) |l(s)ds < 1.

Тогда существует единственное решение задачи Коши (1), (2) на отрезке DT .

Доказательство. Итерационный процесс Пикара для интегрального уравнения (9) определим следующим образом:

и о (г) = g (г), ик+! (г) = g (г) +

г

+ ]

^ о

Js(t,s;X) JH(s,9)/(9,uk (9))d9ds + JH(t,s)/(s,uk (s))ds,

(10)

k = 0,1,2 ...

В силу условий теоремы, из (10) получаем следующие оценки

u j(t) - u 0(t ) <

J Ж(t,s;X)JH(s,9)/(9,u0 (9))d9ds + JH(t,s)/(s,u0(s))ds

< M

Js (t, s; X) J H( s, 9) d 9 ds

+M

< M (a + P),

uk+1(t)-uk+1(t) < <

J H(t, s) d

0

t

Js(t,s;X) JH(s,9)/(9,uk (9))d9ds-JS(t,s;X) JH(s,9)/(9,uk-1 (9))d9ds

0 00

t t

JH(t,s)/(s,uk (s))ds -JH(t,s)/(s,uk-1 (s))ds

(11)

< max

teDT

L J

J|S (t, s; X) IJ H (s, 9) IL (9) || uk (9) - uk-1 (9) | |d 9 ds-

+ max

teDT

i

J H (t, s) IL (s) || uk (s) - uk - (s) 11 d s < p • |1 uk (t) - u k-1 (t) ||.

(12)

В силу последнего условия теоремы, из оценки (12) следует, что оператор в правой части (9) является сжимающим. Из оценок (11) и (12) заключаем, что для оператора (9) существует единственная неподвижная точка на отрезке БТ . Следовательно, задача Коши (1), (2) имеет единственное решение на отрезке Бт .

0

Библиографические ссылки

1. Юлдашев Т. К. Обратная задача для одного ин-тегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных производных третьего порядка // Вестник СамГТУ. Сер. «Физ.-мат. науки». 2014. № 1. С. 56-65.

2. Юлдашев Т. К. Об одном интегро-дифференциальном уравнении Фредгольма в частных производных третьего порядка // Изв. вузов. Математика. 2015. № 9. С. 74-79.

3. Yuldashev T. K. A double inverse problem for a partial Fredholm integro-differential equation of fourth order // Proc. of Jangjeon Math. Society. 2015. Vol. 18, No 3. P. 417-426.

References

1. Yuldashev T. K. [Inverse problem for a partial Fredholm integro-differential equations of third order] // Vestn. Samar. gos. tekhn. univ. Ser. Fiz.-mat. nauki. 2014. No. 1, рp. 56-65 (In Russ.).

2. Yuldashev T. K. A certain Fredholm partial integro-differential equation of the third order // Russian Mathematics. 2015. Vol. 59, no. 9, рp. 62-66.

3. Yuldashev T. K. A double inverse problem for a partial Fredholm integro-differential equation of fourth order // Proc. of Jangjeon Math. Society. 2015. Vol. 18, no. 3, рp. 417-426.

© ro^gameB T. K., CorogoBa O. B., 2015

УДК 517. 968

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ

Т. К. Юлдашев1, К. Х. Шабадиков2

1 Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: [email protected] 2Ферганский государственный университет имени Улугбека Узбекистан, 150100, г. Фергана, ул. Мураббийлар, 19 E-mail: [email protected]

Рассмотрены вопросы об однозначной разрешимости обратной задачи для одного нелинейного псевдопараболического интегро-дифференциального уравнения типа Фредгольма с вырожденным ядром. Разработан метод вырожденного ядра для случая рассматриваемого псевдопараболического интегро-дифференциального уравнения типа Фредгольма третьего порядка. Использован метод ряда Фурье разделения переменных. Применен метод последовательных приближений в сочетании его с методом сжимающих отображений.

Ключевые слова: обратная задача, интегро-дифференциальное уравнение, псевдопараболическое уравнение, вырожденное ядро, однозначная разрешимость.

INVERSE PROBLEM FOR A FREDHOLM PSEUDOPARABOLIC INTEGRO-DIFFERENTIAL

EQUATION WITH DEGENERATE KERNEL

T. K. Yuldashev1, K. H. Sabadikov2

1Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected] 2Fergana State University named after Ulugbek 19, Murabbiylar str., Fergana, 150100, Uzbekistan E-mail: [email protected]

The paper considers the questions of one value solvability of the double inverse problem for a nonlinear Fredholm type pseudoparabolic integro-differential equation with degenerate kernel. The method of degenerate kernel is developed to the case of considering Fredholm type pseudoparabolic integro-differential equation of the third order. The Fourier method of separation of variables is used. The method of successive approximations is proposed combining it with the method of compressing maps.

Keywords: inverse problem, integro-differential equation, pseudoparabolic equation, degenerate kernel, a valued solvability.