CC BY
15
УДК 519. 863
ОБ ОДНОЙ ПРОСТЕЙШЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ
Т. К. Юлдашев1, А. Н. Абдулложонова2
1Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
Е-mail: tursunbay@rambler.ru 2Ошский государственный университет Кыргызстан, 723500, г. Ош, ул. Масалиева, 80 Е-mail: aziza.abdullazhanova.81@mail.ru
Построена математическая модель управления производственным процессом малых предприятий, описывающая связь изменения объема производимой продукции с изменением ценообразования на рынке. Вопросы о существовании управления сводятся к существованию решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода.
Ключевые слова: математическая модель, управление, объем продукции, ценообразование, интегральное уравнение Фредгольма.
ON A SIMPLE MATHEMATICAL MODEL OF CONTROL
Т. К. Yuldashev1, A. N. Abdullozhonova2
1Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: tursunbay@rambler.ru 2Osh State University 80, Masaliev Str., Osh, 723500, Kyrgyzstan Е-mail: aziza.abdullazhanova.81@mail.ru
Is constructed a mathematical model of control on the production process of small enterprises, which describes the relationship between the change in the volume of products and the change in market pricing. The questions of the existence of control are reduced to the existence of a solution of the Fredholm integral equation of the first kind.
Keywords: Mathematical model, control, volume of products, market pricing, Fredholm integral equation.
Рыночные условия хозяйствования предполагают полную самостоятельность предприятия в выборе варианта производственно-коммерческой деятельности, в выборе поставщиков ресурсов и потребителей готовой продукции. При этом стратегические и тактические решения принимаются в условиях функционирования рыночных регуляторов. Математические методы управления производством являются составной частью методов экономической науки. Использование математического моделирования открывает новые возможности для экономической теории и практики. А развитие математической теории управления связано с ростом требований к быстродействию и точности систем регулирования. Но, сложность задач математической теории управления потребовала более широкой математической базы для ее построения. Здесь используются вариационное исчисление и теории дифференциальных и интегральных уравнений. Приближенные методы решения задач оптимального управления рассматривались в работах многих авторов, в частности в [1-10].
Рассмотрим производственный процесс малого предприятия в условиях рыночных отношений. Пусть u (t) - объем продукции предприятия, реализованной к моменту времени t. Его доход к данному моменту времени t составит
Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2017. Том 2
у (г) = Р(г)и (г), (1)
где р (г) - рыночная цена реализации продукции производимой предприятием в момент времени г.
Из (1) видно, что если цена реализации продукции возрастает, то и доход предприятия тоже возрастает. Но, повышение цены может отрицательно отражаться в скорости реализации товара, производимой предприятием. Путем дифференцирования формулы (1) по времени г находим скорость реализации продукции
у (г) = р (г) и (г) + р (г) и (г), (2)
рр (г) - тенденция формирования ценообразования.
Нас интересует случай, когда у (г) > 0, т. е. с каждым днем больше продукции реализуются. Из формулы (2) видно, что это зависит от тенденции формирования ценообразования р (г) и скорости выпуска продукции и (г). Но, р (г) определяется из равновесия спроса и предложения на рынке к моменту времени г.
Скорость выпуска продукции определяется из следующего соотношения
и (г) = а (г) г (г), (3)
где г (г) - функция инвестиций, направленных на расширение производства, а (г) - коэффициент эффективности использования инвестиций, 0 < а (г) < 1. Величина инвестиций г (г) является частью дохода
г (г) = я (г) у (г), (4)
где я (г) - доля прибыли в составе дохода, 0 < я (г) < 1. Подставляя (4) в (3), получаем
и (г) = а (г) я (г) у (г). (5)
Из формулы (5) следует, что величина скорости выпуска продукции и (г) взаимосвязана с величиной функции я (г). Подстановка (5) в (2) дает нам следующее дифференциальное уравнение
у (г) = р (г) и (г) + р(г) у (г). (6)
где 0 <Р( г) <1,0 <Р( г) <1, у (г) - у (г) - неизвестная функция; и (г) - функция управления.
В уравнении (6) учтем фактор внешнего воздействия. Если не учтем малых и случайных внешних факторов, то дифференциальное уравнение (6) приобретает вид
у (г) = у (г) и (г) + р (г) у (г) + / (г), (7)
где у (г) = р ( г).
Решение уравнения (7) при начальном условии у ( г0 ) = у 0 запишем в виде
I
|р (5) й
| ехр Лр (9) ¿е[[у (5) • и (5) + / (5) ]. (8)
у(г) = у0 ехр< При г = Т из (8) получаем
Т (Т 1 Т (Т 1
| ехрНр(9)йеку(5)• и(5) + /(5)]].| ехр1|р(9)йе[[у(5)• и(5) + /(5)]]. (9)
г0 15 J г0
Примем обозначение
ц = у0 ехр
|Р (5 ) й;
г0
I ехр| |р(9)йе[/(5)й5.
г0
Отметим, что число ц является состоянием уравнения (7) в момент времени £ = Т, в которое она переводится с помощью нулевого управления и (£) = 0 . Тогда формула (9) приобретает вид
т Гт 1
у(Т) = ц + | ехр\ |р(9)йе1у(5) и(5)й*. (10)
£о I * ]
Пусть задано некоторое число у (Т) = ут и поставлен вопрос о существовании управления,
переводящего объект (7) в состояние ут. Тогда вопрос о существовании управления сводится к существованию решения следующего интегрального уравнения Фредгольма первого рода
т Гт 1
I ехрНр(е)йе1у(*)• и(*)й* = у, (11)
£ о I * ]
где у = ут -ц является известным числом. Управляющую функцию и (£) мы рассматриваем в классе непрерывно-дифференцируемых функций на отрезке [ £ 0 ; т ^ . В силу непрерывности функции у (£), уравнение (11) имеет решение на отрезке [ £ 0 ; т ^ .
Библиографические ссылки
1. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М. : Наука, 1982. 432 с.
2. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М. : Наука, 1973. 448 с.
3. Срочко В. А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М. : Физ-матлит, 2000. 160 с.
4. Тятюшкин А. И. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем. Новосибирск : СО «Наука», 1992. 193 с.
5. Юлдашев Т. К. Приближенное решение нелинейного параболического и обыкновенного дифференциального уравнений и приближенный расчет функционала качества при известных управляющих воздействиях // Проблемы управления. 2014. № 4. С. 2-8.
6. Юлдашев Т. К. О построении приближений для оптимального управления в квазилинейных уравнениях с частными производными первого порядка // Матем. теория игр и её приложения. 2014. Том 6. № 3. С. 105-119.
7. Юлдашев Т. К. Приближенное решение точечной подвижной задачи оптимального управления для нелинейного гиперболического уравнения // Моделирование и анализ информационных систем. 2014. Т. 21. № 3. С. 106-120.
8. Юлдашев Т. К. Нелинейная точечная задача оптимального управления для псевдопараболического уравнения // Вестник ВоронежГУ. Сер. Системный анализ и информационные технологии. 2014. № 3. С. 9-16.
9. Юлдашев Т. К. Приближенное решение системы нелинейных интегральных уравнений Вольтерра с максимумами и приближенное вычисление функционала качества // Вестник Воро-нежГУ. Сер. Системный анализ и информационные технологии,. 2015. № 2. С. 13-20.
10. Юлдашев Т. К. Нелинейная задача оптимального управления для одной системы с параболическим уравнением при наличии нескольких подвижных источников // Вестник СибГАУ. 2016. Т.17. № 1. С. 103-109.
© Юлдашев Т. К., Абдулложонова А. Н., 2017
