8Zamonaviy ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologiyalarning dolzarb muammolari va yutuqlari
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti
УЧБУРЧАК ТЕНГСИЗЛИГИ БАЖАРИЛМАЙДИГАН ЯНГИ
ГЕОМЕТРИК ФАЗО
Р. М Мадрахимов
Узбекистон Миллий университети
Фаннинг хамма сохасида хам абадий узгармас хакикатлар булмайди. Билишнинг турли воситалари узлуксиз ва жадал ривожлана бориши бизни аввал равшан булган ходисаларга бошкача карашга ва унинг янги, аввалгидан мутлок фаркли мохиятини куришга олиб келади.Математика фани хам шулар жумласидан. Масофа, норма тушунчаси йигирманчи асрнинг бошларида киритилган. У Банах ва унинг шогирдлари тамонидан ривожлантирилди. 1961 йилда инсоният тарихида улуг вокеа содир булди, яъни Юрий Гагарин космик фазога парвоз килди.Уша йили ёзда математикларнинг IV бутуниттифок съезди булиб утди. Съездга уч ярим мингдан зиёд олимлар катнашди, жумладан, Тошкентдан 39 нафар олим катнашди. Съездда жуда катта муаммолар уртага ташланди. Муаммо куйганлардан бири XX асрнинг энг гигант математикларидан бири Израил Моисович Гельфанддир.У нормал фазолар таърифида аксиоматик етишмавчилик бор эканлигини тушкин кайфиятда баён килди. Бу фикрлар таникли математикларнинг назаридан четда колмади. Бу хакда муаллифлари Н.Я.Великин, Е.А.Горин, А.Г.Костюченко, М.А.Маслов, Б.С.Митягин, Ю.И.Петунин, Я.Б.Рушицский, В.И.Соболев, В.Я.Стеценко, Л.Д.Фадиеев, Э.С.Цитла-надзе шулардан иборат булган, С.Г.Крейн тахрири остида 1964 йилда чиккан, "Функциональный анализ" (каранг[3]) китобида айтиб утилган. Бу китоб редакторининг суз бошисида эътибор Израил Моисович Гельфанднинг муаммосига каратилган. Хдкикатан, Израил Моисович Гельфанднинг фикрларини асослашга киришамиз. Куйидаги f(W) = Ш-1 , Ш£ С[п X п] матрицавий функцияни караймиз. Агар п= 1 га тенг булса, ||Ш|| > 0 да берилган функция аницланган. Юкоридаги функциянинг битта Ш = 0 махсус нуктаси бор. Агар п> 1 булса вазият умуман бошкача булади. ||Ш|| >
0 да берилган функция аникланмаган булади. Бунда махсуслик ёе1 Ш = 0, бу эса гиперсиртдир. С[п X п] да ихтиёрий нормани олганимизда хам юкоридаги вазият руй беради. Демак нормал фазо аксиомалари оркали юкоридаги матрица аргументли функцияларнинг хоссаларини урганиб булмайди. Биз шундай норма топишимиз керакки, унда |||Ш||| > 0 ^ det Ш ф 0 булиши керак.
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | CSPI CONFERENCE 3 | 2021
Zamonaviy ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologiyalarning dolzarb muammolari va yutuqlari
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti
1-теорема. We C[nxn] булсин. У холда det W ^ 0 ^ WW* > 0. Ушбу маколада ана шу масаланинг ечими булган нормалланган фазонинг мутлако янги тарифи берилади. Таърифда матрицавий псевдонорманинг киймати матрица булади, бунинг учун учбурчак тенгсизлигининг бажарилмаслиги Нельсол мисоли оркали тушунтирилади. У олдинги нормалардан марицалар уртасидаги ноъмафий (мусбат) аникланганлик, псевдоучбурчак тенгсизлиги аксиомаси, псевдохалкавий хоссаси хамда матрицавий псевдонорманинг идеал шакланганлиги билан фарк килади,яъни барча detA ^ 0лар учун |||A|||2|||A-1|||2 = I тенглик уринли
булади.Матрицавий псевдонорма М+ = {AA* Ae C[n x n] элементлари комплекс сонлардан иборат хамма матрицалар}.
1-таъриф.Элементлари комплекс сонлардан иборат булган хамма матрицаларда аникданган |||.||| ^ М+ акслантиришга матрицавий псевдонорма дейилади, агарда у куйидаги аксиомаларни канотлантирса:
а) || |A| || > 0, || |A| || = 0 шу холда ва факат шу холдаки, А = 0.
б) || |PA| || = |в| x |||A| || ихтиёрий в комплекс сон учун
в) 2(|||A|||2 + |||B|||2) — |||A + B|||2 > 0 псевдо учбурчак тенгсизлиги
г) 2(|||A11|2 x |||B|И2) — М|AB|И2 > 0 псевдохалкавий хоссаси
2-таъриф. С[пХ п]даги хамма матрицалар учун матрицавий псевдонорма аникланса бунга псевдофазо дейилади.
мисол. Ae С[п x п] хамма матрицалар учун матрицавий псевдонормани
AA*+A*A
I—-— тенглик оркали аниклаимиз.
(каранг[6], [7], [8])
Бу псевдонорма учун одатдаги учбурчак тенгсизлиги бажарилмайди.
2-мисол (Э.Нельсон, к[5], 241бет, 16 масала )
B=(° _°i) 'C = (1 _°i) бУлса'У *олда
y|B + I|y+y|C-I|y-y|(B + I) + (C-I)|y £0
2-теорема. Агар detA ф °, у холда |||А|||2|||А-1|||2 = I яъни, матрицавий псевдонорма идеал шаклланган.
Чизикли тенгламалар системасини ечиш жараёнидаги хатоларни априор бахолаш муаммоси сонли чизикли алгебранинг марказий муаммоларидан биридир. Бу хакида биз [1] нинг 411 бетида берилган. Бу муаммонинг
1
Zamonaviy ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologiyalarning dolzarb muammolari va yutuqlari
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti
куйилганига хам деярли эллик йил булаяпди. (царанг [2]). Таникди россиялик математик А.Р.Алимов (царанг [4]) хам бу муаммога тухталиб чизикли тенгламалар системасини ечим узгаришини бахолаш усули мавжуд эмаслиги хакида гапиради. У ёмон шаклланган марицаларда норма ёрдамидаги бахолашни коррект булмаган масала деб атайди. Хдкикатда хам шундай. У норманинг танланишига ва матрицанинг танланишига боглик булиб колади. Биз бу ерда юкоридаги гояларнинг татбиги сифатида сонли чизикли алгебранинг марказий муаммоларидан бирининг мутлако янги усул билан ечимини берамиз, яъни чизикли тенгламалар системаси ечимини аник априор бахолашда фойдаланса булади. BX =D, B, DG С[п X п] система берилган булсин, аммо
хато натижасида ёки бошлангич фактларнинг ноаниклигига кура куйидаги системалар ечилади (B+E)X=D, B,D, E, X G С[п X n] X — X хатолик тугрисида нима дейиш мумкин.Агар ||EB-1 Н < 1 булса, у холда »X- X|| l|X||
< L(B) ЛЕЯ бу ерда
< ||E|k MRU бу ерда
1—L(B)(|jE||) НВН
и fR4_(||B||||B 1|,агар B хосмас булса
( ) { го, агар B хос булса. Биз ||EB—1|| < 1 лар учун куйидаги матрицавий псевдонорма оркали бахолашларни хосил киламиз
ll|x— Xlll =
^(—1)k(EB—1)kX
fc=i
< |||(EB 1)(I + EB ) X|||
< V2||(EB—1)(I + EB-1)-1 2V2|||E||||||B—1||||||(I + EB-1)-1
<
Агар det X^ 0 булса, у холда |||X— X|»П|X|П-1 < 2V2|||E||||||B-1
-1 -1
+ EB-1)
Юкордаги бахолаш факат матрицанинг бошлангич кийматлари узгаришларига боглик.
REFERENCES
1.Р.Хорн, Ч.Джонсон.// Матричный анализ. Москва. Мир. 1989. 2.Stewavt G.W.// Introduction to Matrix Computations-Academle Press,New Yoyk,1973.
CO
Zamonaviy ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologiyalarning dolzarb muammolari va yutuqlari
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti
3.Н.Я.Виленкин и др.// Функциональный анализ. Под редакцией С.Г.Крейна.Издательство «Наука»1964
4.А.Р.Алимов.// Нормы матрицы.Элементы теория возмущений. интернет.РВБ.
5.М.Рид, Б.Саймон // Методы современной математической физики.1.Функциональный анализ. М.:Издательство. Мир. 1977.
6 Мадрахимов.Р.М.// Илм сарчашмалари. 2008 №3. С.3-7.
7.Мадрахимов.Р.М.// Илм сарчашмалари. 2021 №9. С.16-19.
8.Мадрахимов.Р.М.// Илм сарчашмалари. 2021 №10.
