CC BY
4 2022
UIF-2022: 8.2 SCIENCE AND INNOVATION
ISSN: 2181-3337 INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL №4
УЧ УЛЧОВЛИ СО^АНИ ДИСКРЕТЛАШ МАСАЛАСИ ВА ^АЛ ЦИЛУВЧИ ТЕНГЛАМАЛАР СИСТЕМАСИНИ ЕЧИШ Нуркулов Жалолиддин Алишер ^ли
Гулистон давлат университети Ахборот технологиялари факультети Амалий математика
ва информатика йуналиши талабаси https://doi.org/10.5281/zenodo.6891742
Аннотация. Мацолада уч улчовли со^ани дискретлаш масаласи ва %ал цилувчи тенгламалар системасини ечиш масаласи царалган.Каралаётган масала учун уал цилувчи тенгламалар системаси чизицли алгебраик тенгламалар системасининг хусусиятларидан келиб чициб, мавжуд ечиш усулларини такомиллаштириш орцали ечилган. Бу цисмда куриб чицилган визуаллаштириш модели бирор текисликдаги сиртни ундаги аницланган тугун нуцталар цийматлари асосида чизицли акс эттиришга асосланган.
Калит сузлар: композицион, конструкция, термоэластик, иссицлик утказувчанлик, деформация, математик модел, динамик, тензор, квадрат пластина.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ТРЕХМЕРНОЙ СФЕРЫ И СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ ИХ РЕШЕНИЯ
Аннотация. В статье рассматривается проблема дискретизации трехмерной сферы и проблема решения системы решающих уравнений.Система решающих уравнений для рассматриваемой задачи решалась на основе характеристик системы дифференциально-алгебраических уравнений и путем усовершенствования существующих методов решения.Рассматриваемая в этой части модель визуализации основана на детальном отражении поверхности любой плоскости на основе значений выявленных в ней узлов.
Ключевые слова: композицион, конструкция, термоупругость, теплопроводность, деформация, математическая модель, динамика, тензор, квадратная пластина.
SOLVING THE PROBLEM OF DISCRETIZATION OF A THREE-DIMENSIONAL SPHERE AND THE SYSTEM OF EQUATIONS FOR THEIR SOLUTION
Abstract: The article deals with the problem of discretization of the three-dimensional sphere and the problem of solving the system of solving equations.The system of solving equations for the considered problem was solved based on the characteristics of the system of differential algebraic equations and by improving the existing solution methods.The visualization model considered in this part is based on the detailed reflection of the surface of any plane based on the values of the identified nodes in it.
Keywords: composition, construction, thermoelastic, thermal conductivity, deformation, mathematical model, dynamic, tensor, square plate.
КИРИШ
Муайян сохдни чекли элементларга ажратиш жараёни дискретлаш деб аталади. Жисмнинг дискрет модели деганда биз куйидаги тупламни фараз киламиз:
Q = {N, M, MK, MN } ,
бунда:
N - дискрет моделдаги тугун нукталар сони;
M - чекли элементлар сони;
2022
UIF-2022: 8.2 SCIENCE AND INNOVATION
ISSN: 2181-3337 INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL №4
MK - тугун нукталари координаталаридан ташкил килинган массив;
MN - чекли элементларни ташкил киладиган тугун нукталар номерларидан тузилган массив.
Дискрет моделдаги тугун нукталардан иборат булган массивнинг улчами MK[1..N,1..V], бунда V - соханинг улчами. Дискрет моделдаги чекли элементларни ташкил киладиган тугун нукталар номерларидан тузилган массив улчами ММ[1..М,1..Т], бунда Т - чекли элементдаги тугун нукталар сони.
Агар соха мураккаб булса, у холда куйидаги амаллар бажарилади. Аввало мураккаб соха бир неча элементар сохд остига ажратилади. Элементар соха ости деганда биз дискретлаш жараёнини автоматлаштириш имкони мавжуд булган сохага айтамиз.
У холда куйидаги муносабат уринли,
бунда г - элементар сохалар сони; е - соханинг тартиб номери; Ое - e - чи соханинг дискрет модели булиб куйидаги куринишга эга:
Ое = {ме, Ме, МКе, мке}
Бунда
N0 - e - элементар сохадаги тугун нукталар сони;
ММе - чекли элементлар сони;
МКе - тугун нукталари координаталаридан ташкил килинган массив;
МКе - чекли элементларни ташкил киладиган тугун нукталар номерларидан тузилган массив.
Ягона, яъни бошлангич каралаётган соханинг дискрет моделини куриш жараёни куйидагича. Аввало икки элементар сохани уланиш шартини келтирамиз. Агар икки соха бир - бири билан умумий юзага эга булса, шу билан бирга юзалар томонлари билан умумий булса ва томонларидаги тугун нукталар устма - уст тушса, у холда курилаётган икки сохани бир бирига улаш мумкин.
Фараз килайлик курилаётган элементар сохалар бу шартни каноатлантиради. Унда куйидаги алгоритм буйича бу сохалар бирлаштирилади:
a) бошлангич маълумот сифатида биринчи - О дискрет модел элементлари олинади ;
b) навбатдаги О2 дискрет моделдаги МК2 - тугун нукталар координаталаридан иборат булган массив элементлари МК массив координаталари билан куйидаги шарт буйича солиштирилади: X1 - X;2| <а & У^ - 7;2| <а & 2) - 2 <е . Агар бу шарт бажарилса ,
у холда икки солиштирилган нукта устма уст тушади дейилади, бундай нукталарнинг сонини К деб аниклайлик. Умумий МК - массив элементларига иккинчи сохадаги устма - уст тушмаган тугун нукталарга ягона тартиб буйича дастлабки номер берилади;
c) мос равишда ММ - даги тугун нукталар номерлари узгартирилади ва умумий ММ чекли элементлар буйича хосил буладиган массивга кушилади ;
^ N = N1 + N2 - К ; М = М1 + М2 ;
e
2022
UIF-2022: 8.2 SCIENCE AND INNOVATION
ISSN: 2181-3337 INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL №4
e) дастлабки соха сифатида иккита соха йигиндисидан иборат булган дискрет модел олиниб, жараён бошидан давом этиб, охирги элементар соха бирлашгунча давом этади.
Шу алгоритм асосида дастлабки берилган уч улчовли мураккаб соханинг дискрет модели яратилади.
Жисмнинг дискрет моделини яратиш , яъни уни чекли элементларга ажратиш куйилган масалани ечишнинг биринчи кадами хисобланади ва назарий асосга эга эмас.
Шунинг учун иложи борича курилаётган жисмни хар томонлама урганиб уни чекли элементлар ёрдамида ифодалаш керак. Х,ар бир хусусий холда бу жараёнга индивидуал ёндашиш керак ва чекли элементлар ёрдамида кераклича майдалаган холда жисмни тулдириш керак. Жисмни чекли элементларга ажратиш уч боскичдан иборат:
Биринчи боскичда хар хил элементар сохаларни дискретлаш алгоритмлари тузилади, иккинчи боскичда шу элементар сохалар ёрдамида бошлангич соха хосил килинади (бир бирига ёндашган сохалар узаро уланади) ва якуний боскичда жисмнинг дискрет моделидаги тугун нукталар номерлари оптимал равишда тайинланади.
Уч улчовли мураккаб сохада хам дискретлаш жараёнини автоматлаштириш мумкин.
Чекли элементлар усулининг чизикли алгебраик тенгламаси коэффициентларининг куп кисми ноллардан иборат булади ва жисмни хосил килувчи чекли элементлар ва тугун нукталарини номерлаш жараёнига катта ахамият бериш керак. Чунки бу жараён тенгламалар системасини ечиш вактини ошириб юборади. Шунинг учун тугун нукталар ва чекли элементларни шундай оптимал номерлаш керак-ки, пировард натижада тенгламалар системасининг тузилиши ленталик куринишига эга булиши керак. Бунда нолга тенг булмаган коэффициентлар лентасиниг узунлиги иложи борича кичик булиши керак. Бунинг учун биз жисмнинг дискрет моделини тузиш учун "фронтал" усулни куллаймиз [2]. Бу усулни куллаш натижасида бошлангич холдаги дискрет моделидаги тугун нукталар ва чекли элементлар кайтатдан номерланади. Шунинг натижасида жисмнинг оптимал дискрет модели тузилади. Одатда, уч улчовли жисмларни дискретлаш учун тетраэдрлар ва туртбурчакли призмалар фойдаланилади. Лекин кулайлироги албатта туртбурчакли призмалардир, чунки улардан дискрет модел хосил килиш анча енгилрокдир ва жараённи визуаллаштириш равон тасаввур килинади.
ТАДЦЩОТ МАТЕРИАЛЛАРИ ВА МЕТОДОЛОГИЯСИ
Амалий масалаларни ечиш жараёнида Ах=В юкори тартибли чизикли тенгламалар системасини ечиш талаб килинади.Аксарият тенгламалар системасининг ечиш методи бир биридан унча фарк килмай, уларнинг амалга оширилиши тулалигича хисоблаш системасининг техник имкониятларидан келиб чикади.Натижавий тенгламалар системасининг икки хусусияти: симметрик-лентасимон тузилиши ва матрицанинг мусбат аникланганлиги уни идеал тарзда ифодалайди.Лентасимон симметриянинг мавжудлиги матрицанинг нолга тенг булмаган хадларининг ярмини хисобга олмаса хам булишини англатади.Мусбат аникланганлиги эса бош диагоналдан иборат коэффициент мусбат эканини ва киймат жихатидан мос каторларнинг ихтиёрий бошка коэффициентидан куп марта катта эканлигини билдиради.Мазкур хусусиятнинг мавжудлиги хисоблашлар хажмини камайтириб, яхлитлашлардаги катта хатоликларни бартараф килишга имкон яратади.
2022
UIF-2022: 8.2 SCIENCE AND INNOVATION
ISSN: 2181-3337 INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL №4
Квадрат илдизлар методи - симметрик лентасимон матрицали юкори тартибли алгебраик чизикли системани ечиш тугри ва энг киска методларидан бири булиб, у арифметик жихдтдан хам, оператив хотирадан фойдаланиш жихдтидан х,ам кулай х,исобланади.Методнинг мох,ияти куйидагилардан иборат, [А] матрица иккита узаро транспонирланган учбурчак матрицаларнинг купайтмаси шаклида ифодаланади
[А] = [Т]'[Т], бу ерда
tn t12 . •• t1n
T = 0 •• t2n
0 0 • •• tnn
[T] матрицанинг элементлари куйидаги формулалардан аникланади:
tu л/а
41
а
tij (j > 1); tii \aü- XtM,(1 < i < n);
i-1
L11
k=1
i-1
a
ij
X, tki tk
t,j
ki kj - (i < j).
tii ;
i > j да tij = 0.
[A] (X) = (B) тенгламалар системаси куйидагича ифодаланади:
[T](Y) = (B) va [T] (X) = (Y).
(Y) ва (X) векторлар кийматлари куйидаги формулалардан топилади:
А t11
yi =
i-1
bi- X tkiyk k=1
tii
(i > 1);
xn
tnn
xi =
yi- X tik xk
k=1
tu
(i < n) .
ТАДЦЩОТ НАТИЖАЛАРИ
Квадрат илдизлар методининг тескари юришидаги топилган вектор (Х)= бир масаланинг ечими булиб, куриб утилаётган жисмнинг модели дискрет бугинларининг кучишлари кийматларидан иборат.
Квадрат илдизлар методи бошка методларга нисбатан вактдан катта ютук бериб, бажариладиган арифметик операциялар микдори деярли икки марта кискариб, ундан ташкари метод х,исоблашларни бошкариш учун содда услубни беради.
Чекли элементлар усулидан фойдаланиш чизикли алгебраик тенгламалар системасига олиб келади.Тенгламалар системасини ечиш учун квадрат илдизлар методининг коэффициентлар матрицасининг симметрик лентасимон тузилмаси учун модификациясидан фойдаланилади [12].Х,ар бир якуний элемент чекли сондаги бошка
n
2022
UIF-2022: 8.2 SCIENCE AND INNOVATION
ISSN: 2181-3337 INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL №4
элементлар билан боглик булиб, бу тенгламалар системасининг матрицаси кам тулдирилган холатда хосил булади.Матрицадаги коэффициентлар жойлашуви жисмдаги бугинларнинг номерланиши билан узвий боглик.
Тасодифий тартибда номерлашда матрицадаги ноллар хам тартибсиз жойлашиб, бу эса ечиш вактини ортиб кетишига олиб келади. Шу сабабли нол булмаган элементлар матрицанинг бош диагонали атрофига жойлашадиган тартибда, яъни йулакча (лента) хосил киладиган шаклда номерлаш керак булади. Дискрет моделдаги бугинлар ракамларининг тартибланиши ечим тенгламалар системасини нол булмаган коэффициентлари лентасининг кенглигини кискартиришга ёрдам беради. Ечим тенгламалар системаси матрицасининг коэффициентлари ва якуний элементлар метрицаси коэффициентлар симметрик булиб, тенгламалар системасини ечиш боскичида факатгина диагонал ва ундан пастда жойлашган коэффициентларни яъни пастки учбурчакни матрицани олиниши керак булади. Бундаги элементлар хам лентасимон тузилмага эга булади. Квадрат илдизлар методидаги алмаштиришларда асосан матрицани векторга купайтириш амали кулланилиб, у холда факатгина матрицанинг пастки учбурчаги коэффициентлари учун матрицани векторга купайтириш алгоритмини ишлаб чикиш керак булади. Агар бу коэффициентларни каторларга жойлаштирилса, тугри бурчакли матрица Sij хосил булиб, унинг улчамлари nxl булиб, бу ерда n- тенгламалар системаси тартиби, l -нол булмаган элементларининг диагоналлари билан биргаликдаги лентаси ярим кенглиги. Бунда квадрат матрицанинг диагонал элементлари Sij матриссанинг l - устунида жойлашади.
МУ^ОКАМА
Алмаштиришларни тасвирлаш учун n=9 ва 1=4 булсин. Бу холда куйи учбурчак матрица ва Sij тугри бурчакли матрицанинг коэффициентлари куйидаги куринишда булади:
'n ' 0 0 0 S14
12i 122 0 0 S23 S 24
13i 'з2 'зз 0 S32 S33 S34
14i 142 143 144 S41 S42 S43 S 44
0 '52 '53 '54 '55 S = S51 S52 S53 S54
0 0 ' 63 ' 64 ' 65 '66 S61 S62 S63 S64
0 0 0 174 175 ^76 ' 77 S71 S72 S73 S74
0 0 0 0 '85 '86 '87 '88 S81 S82 S83 S84
0 0 0 0 0 '96 '97 '98 '99 _ _ S91 S92 S93 S94
Sij матриссани xj векторга купайтириш жараёнини шакллантириш матрицанинг диагоналларида жойлашган, алмаштирилган элементларидан фойдаланган холда куйидаги муносабатларга олиб келинади:
i—1 i+1—1
yi = S si,1+j-ixj + S sj,i +1—jxj , бунда 1 < i < /;
J=1 j=i
2022
UIF-2022: 8.2 SCIENCE AND INNOVATION
ISSN: 2181-3337 INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL №4
1-1 i+1-1
= 2 si, jxi-l+j + 2 Sj,i+1- Л , бунда l+1 < i < n-l+1;
j=1 j=i
l-1 и
tt = ^^ ^i, jxi-I+j + ^^ ^j ,i+1 - jxj , бунда n-l+2 < i < n.
j=1 j=i
ХУЛОСА
Хулоса килиб айтганда юкорида келтирилган муносабатлар квадрат илдизлар методида нол кийматли ва юкори учбурчак коэффициентларидан фойдаланмай куйи учбурчакнинг мос симметрик коэффициентларини куллашга имконият яратади.Келгуси маколаларимизда боглик масалаларга кушимча ташки таъсирлар оркали унинг х,олатини узгаришини, уларни сонли ечиш усулларини урганиш ва бу масалаларнинг дастурий таьминотини яратиш билан давом эттирамиз.
REFERENCES
1. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности.-М.: МГУ, 1996. - 343 с.
2. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач. М.: Высшая школа, 1974. С. - 200 с.
3. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. - М.: Мир, 1975. - 541 с.
4. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов: Пер. с англ. - М.: Мир, 1987. -374 с.
5. Полатов А.М. Математическая модель и программное обеспечение для расчета процесса упругого деформирования трехмерного анизотропного тела со сферической полостью. //Труды IV Всероссийской научной конференции с международным участием. «Математическое моделирование и краевые задачи». Часть 1. - Самара: СГТУ, 2007 г., с. 185-187.
6. Халджигитов А.А., Каландаров А.А., Абдураимов Д.Э. Численное решение динамической краевой задачи теории упругости для ортотропных тел // Инновацион ва замонавий ахборот технологияларини таълим, фан ва бошкарув сохдларида куллаш истикболлари халкаро конференцияси материаллари 2020 йил 14-15 май, 548-551 бетлар.
7. Абдураимов, Достонбек Эгамназар Угли, Малика Норкуловна Норматова, and Рената Фидановна Монасипова. "ЛИБМАН ТИПИДАГИ ИТЕРАЦИН УСУЛНИ ЭЛАСТИКЛИК НАЗАРИЯСИ МАСАЛАСИГА ^УЛЛАШНИНГ МАТЕМАТИК МОДЕЛИ." Science and Education 2.1 (2021): 15-20.
8. Абдураимов Д. Э. У., Адилов А. Н., Турдиев А. П. У. АНИЗОТРОП ВА ИЗОТРОП ЖИСМЛАР УЧУН ТЕРМОЭЛАСТИК БОГЛЩ МАСАЛАНИНГ ИККИ УЛЧОВЛИ ХЩАТДАГИ МАТЕМАТИК МОДЕЛИ //Scientific progress. - 2021. - Т. 1. - №. 5. - С. 449-453.
2022
UIF-2022: 8.2 SCIENCE AND INNOVATION
ISSN: 2181-3337 INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL №4
Нуркулов Ж. А. У. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ ПО ПРОТОКОЛАМ В КОРПОРАТИВНОЙ СЕТИ //Science and innovation. - 2022. - Т. 1. -№. A3. - С.
