CC BY
6Медицина, естественные и технические науки
ПАРЛБОЛАЛАШГАН ТЕНГЛАМАЛАР СИСТЕМАСИ АСОСИДА ИЧКИ О^ИМНИ
УРГАНИШ
С. Ходжиев1, Д.Б. Содибов2 А.Н. Тагоев3, З.З. Рахимова4
асЁ: 10.15350/24103586.2022.2.1
Аппо1а1Б1уа
Кувурларда иссиклик утказувчанлик хусусиятига эга булган ёпишкрк газларни таркалишини сонли урганиш матаматик модели келтирилган. Кундаланг кесими буйланма узунлигидан бир неча марта кичик булган кувурларда деярли бутун соха ёпишкок булганда дам оким даракати конунларини етарли даражада очиб берадиган "тор канал" якинлашиш математик модели тадлиллар билан келтирилган. Ясси симметрик кувурларда о;им таркалишини урганиш учун бошлангич дамда чегаравий шартлар келтирилган ва тенгламалар системасини сонли ечиш ;улайлиги учун уни улчовсиз долга дамда сохани квадрат сохага келтириш учун координат алмаштиришлар бажарилган.
Тенгламалар системасини ёпи; ;илиш учун кувур кесимида массани са;ланиш интеграл муносабати олинган ва ундан босимни топиб сунг буйланма тезликни топиш усулидан фойдаланилган. Кенгайиб борувчи ва сопло шаклидаги кувурларда о;им таркалиши дар хил Рейнольдс сонларида сонли урганиш натижалари келтирилган.
Калит сузлар: ички оким, газ о;ими, канал, параболик, модел, даво, босим градиенти.
Амалда ёпишкок о;имларни сонли моделлаштиришда о;им бирор йуналишда устивор (буйланма тезлик кундаланг тезликдан бир неча бор катта и >> V) булган долларда параболалашган ёки кисман параболалашган Навье Стокс тенгламалар системаси ишлатилади [1; 2] .
Ушбу тенгламалар системаси тула Навье - Стокс [3] тенгламалар системасидан бир катор фаразлар натижасида олинади.
Албатта бундай моделларда тула Навье - Стокс тенгламалар системасидан жараёнларни урганишдагидек умумийлик булмасада, айрим долларда бир катор мухим масалаларни ечишда самарали ва етарли даражада урганиш имконини беради. Хамда бу тенгламалар системасида жараёнларни урганиш ЭХМ дан катта дажмдаги хотира талаб килинмайди.
Асосий фаразлардан бири оким йуналишида моликуляр утказувчанлик эффекти етарли даражада кичик деб каралади.
Шундай моделлардан бири "тор канал" якинлашиш моделидир. Бундай модел "катлам" масаласидан фаркли деярли факат ички окимларни ифодалашда кулланилади.
Бу моделнинг уз номидан куриниб турибдики канал геометрик характери асосида оким даракати тадлили курилади. Тор канал деганда шундай каналлар
1Ходжиев Сафар - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, Бухарский государственный университет, Узбекистан.
2Сощбов Дилшод Бекназарович - преподаватель, Бухарский педагогический институт, Узбекистан.
3Тагаев Алишер Нарзикулович - магистрант, Бухарский государственный университет, Узбекистан.
4Рахимова Зилола Завкиддиновна - магистрант, Бухарский государственный университет, Узбекистан.
тушуниладики, оким йуналишидаги канал узунлиги кундаланг кесимидан бир неча марта ката каналлар тушунилади, яъни [/Ь « 1 ( [ - канал кириш кисми баландлиги, Ь - кувур буйланма узунлиги.)
Бундан ташкари кувур девори оким йуналиши буйича огиш мадаллий тангенси дам деярли кичик (Ьда = 0 (е) ) деб фараз килинади, дамда оким бошлангич параметрлари асосида дисобланган Рейнольде сони етарли даржада бирдан ката ( Яе » 1) деб каралади.
Ушбу фаразлар асосида олинган тенгламалар системаси куриниш жидатдан "катлам" тенгламалар системаси билан бир хил. Аммо куриниш жидатдан бир хил булса дам улар принципиал фаркларга эга [2^5].
Кувур бутун кундаланг кесимини ёки деярли куп кисмини ёпиш;о; содаси эгаллаганда, "катлам" модел тенгламалари оркали о;имни урганиш имкони деярли йук булади. Аксинча "тор канал" модели асосида бундай о;имларни урганиш мумкин [4, 5, 6].
О;им икки улчовли ва ясси кувурга таркалаяпти деб ;араймиз. Келтирилган фаразлар асосида ёпиш;о; газ о;имини кувурда таркалишини ушбу хусусий досилали ночизи;ли иккинчи тартибли дифференциал тенгламалр тенгламалар системаси оркали ифодалаб урганиш мумкин.
Узлуксизлик тенгламаси
дри + др^=^ (1)
дх ду
Харакат тенгламаси
ди ди йр д / ди\ (2)
дх ^ ду <Лх ду\ду)'
Энергия тенгламаси
дк дк йр д / ^ дк\ {^Щ2 (3)
дх ^ ду и <Лх ду \Рг ду) ^ \ду) '
Холат тенгламаси
Р = (4)
р м'
Бу тенгламаларда х, у - буйланма (оким йуналиши) ва кундаланг (тик) кесим буйича координаталар, и,р — шу йуналишлар буйича тезликлар, р — зичлик, Р — босим, к — энталпия, Ср — узгармас босимдаги исси;лик сотими, Т — температура, И — универсал газ узгармаси, М — молекуляр огирлик, ^ ва Я -ёпиш;о;лик коэффициенти ва исси;лик утказувчанлик, Рг = ^Ср/А - Прандтл сони.
Кувур ясси ва ундаги даво о;ими буйланма координата (ох) у;и буйича симметрик деб фараз килинади. Шу сабабли урганилаётган сода ю;оридан кувур девори ва пастдан симметрия у;и билан чегараланган содада каралади (у = 0). х = 0 кесим кувур кириш ва х = Ь (Ь - кувур узунлиги) чикиш кисми ва у = [(х) кувур шакли.
Тенгламалар системаси (1 + 4) ушбу чегаравий шартларда ечилди: кувур симметрия укида ушбу симметрия шарти куйилди
ди_дЪ _
ду=ду=0' (5)
Кувур деворида ёпишкоклик ва сизиб чикмаслик и = 0; V = 0 шартлари ва кш — энталпия ёки иссиклик окими — = берилди (ж — кувур деворини
билдирувчи индекс). Кувур кириш кисмида (х = 0) оким газодинамик узгарувчилар киймати берилди:
х = 0: Р = Р0 и = и0, к = к0ш (к0 = СрТ0). (6)
Тенгламалар системаси (1 + 4), (5) ва (6) чегаравий ва бошлангич шартлар билан ёпик эмас, яъни тенгламалар номаълумлар сонидан кам, чунки йр/йх босим градиенти учун тенглама йук. Бу номаълум учун дар бир кесимда сарф (масса) узгармаслик шарти кулланилади:
f(x)
J pudy = Q = const. (7)
0
Босим градиентини дисоблаш учун маълум усуллардан [4,5] фаркли ва тежамли метод таклиф килинди [6]. Тенгламалар системасини (1 + 4) ни сонли ечиш ва масалани модел масалага айлантириш учун координаталар ва физик параметрлар улчовсиз долга дамда сода бирлик содага келтирилди.
Улчовли ва улчовсиз параметрлар орасидаги богли;лик ушбу куринишда олинди:
х у и _ v _ р Т
х = —; У = ~г', и =—; v = —; р=—; Т = -
fo' fo' ио' ио' Ро' u20/(R/M)'
_ р и _ h __L
Р=fi = ^—; h = —-, Ср = Cp/(R/M);
Роио РоГоЩ ио Jo
(8)
Бунда f0 — кувур кириш ;исми баландлиги.
Х,осил булган сода ушбу координата алмаштириш билан
S L' 1 fix)
квадрат содага утказилди. f(x) — кувур улчовсиз формаси. Куникма учун (%'; Л) узгарувчиларни (х; у) узгарувчи сифатида караймиз ва физик параметрлар устидаги чизи;чани ташлаб (1 + 4) тенгламалар системасини куйидаги куринишга келтирамиз.
Узлуксизлик тенгламаси
+ (10)
L дх ду
Харакат тенгламаси
иди tdu dF 10/ ди\
PL~dx + pV ~ду = —Ldx + f2(x)dy\^dy). Енергия тенгламаси
dh ,dh_ dP 1 д /pdh\ p iди\2 (12)
Холат тенгламаси
P = pT (13)
Бу тенгламаларда v* = (v — uyf^)/f(x) хвауянги узгарувчиларда
0 <х <1, 0 <у <1 булиб, (7) тенглик куйидаги куринишга келади.
i
иди tdu dP 1 д ( ди\ (11)
f(x) J pudy = Q = const. (14)
Улчовсиз (10 +14) тенгламалар системаси куйидаги бошлангич ва чегаравий шартларда ечилди:
х = 0; 0 < у < 1; и = 1, v = 0, h = СрТ, р = p0j р = 1.
у = 1; 0 < х < L; и = 0; v = 0, h = CpTw, (15)
ди dh
у = 0; 0 <x<L; — = — = 0.
ду ду
о
Келтирилган тенгламалар системасини сонли ечиш учун [6] ишда келтирилган самарали метод кулланилди. Ушбу метод асосида универсал дастур тузилди, яъни бошлангич кийматларни бериш ва кувур формаси ва улчовларини бериш, чегаравий шартларни узгартириш учун дисоблаш дастурига узгартириш киритиш талаб килинмайди. Дастур асосида координата уклари буйича дар хил дисоблаш нукталар сонида, турли Рейнольдс сонларида f(x) = х + 1 кенгаювчан кувурда ва f(x) = 2х2 — 2х + 1 формали сопло учун дисоблашлар утказилди.
Келтирилган тенгламалар системаси ва тула Навье - Стокс тенгламалари билан олинган натижалар та;к;осланди. х,ар хил дисоблаш ну;таларида олинган натижалар шуни курсатдики 21х21 турда олинган ва 31х31, 31х41 дисоблаш ну;таларида олинган натижалар фар;и 3-5% дан ошмади. Рейнольдс сони 34 < Re < 729 узгартириб олинган натижалар шуни курсатдики кичик Re сонларида олинган сода деярли ёпиш;о; ва бу натижалар [7] билан мос келади.
Сонли урганишлардан маълум булдики, Рейнольдс сони катта ва L/f0 > 10 булган долларда параболалашган тенгламалар системаси ор;али кесими кичик кувурларда дисоблаш ишларини бажариш етарли.
Фойдаланилган адабиётлар:
1. S. G. Rubin. Global relaxation procedures for a redused form of the Navier - Stokes equation // Lecture notes in physics. 1985. Vol. 218.
2. Ю. В. Лапин, М. Х. Стрелец. Внутренние течения газовых смесей. - М.: Наука. Гл. ред. физ - мат. лит. 1980 - 368 с.
3. Л. Г. Лойцянский. Механика жидкости и газа. - М: Наука, 1987 - 840 с.
4. Ш. Вильямс. Течения вязкого сжимаемого и несжимаемого газа в узких каналах. Ракетная техника и космонавтика. 1963., № 1, стр. 215 - 224.
5. Л. М. Симуни. Движение вязкой несжимаемой жидкости в плоской трубе. Ж. вычислит. Матем. и матем. физики. Том 5, № 6, 1966, стр. 138 - 140.
6. В. А. Поспелов, С. Ходжиев. Методика расчёта стационарного течения вязкого газа в сопле Лаваля в приближении "узкого канала". Движение многофазных смесей. Сб. ст. Ташкент: Фан. 1986, стр. 70 - 77.
7. С. Ходжиев, Ш. З. Жумаев, О. О. Ёдгоров. Численный расчёт внутренних течений сжимаемого газа по неявнофакторизованной разностной схеме. Изв. АН УзССР. Серия техн. наук. № 2, 1990, стр. 28 - 34.
© С. Ходжиев, Д.Б Содибов, А.Н Тагоев, З.З Рахимова, 2022.
INVESTIGATION OF INTERNAL FLOWS USING PARABOLIZED SYSTEMS OF
EQUATIONS
S. Khodjiev, D.B. Sohibov, A.N. Tagaev, Z.Z. Rakhimova
Abstract. In this paper, a mathematical model describing the internal flows of a heat-conducting viscous gas flow is presented and some aspects of the numerical solution of parabolized Novier-Stokes equations for internal flows are considered. As an example, the air flow in flat narrow expanding and wedge-shaped nozzles is considered, the dimensions of which in the main direction of the flow are much larger than its dimensions in sections perpendicular to this direction. To describe such flows, the "narrow channel approximation" model is used. To close the system of equations, the conservation of the flow rate in each section of the channel was used and from this ratio the pressure gradient was found. A number of numerical results of studying the air flow in an expanding channel and into a Laval nozzle at different values of the Reynolds number are presented.
Key words: Internal flows, gas flow, channel, parabolic, model, air, pressure gradient.
© S. Khodjiev, D.B. Sohibov, A.N. Tagaev, Z.Z. Rakhimova, 2022.
