CC BY
5ЩТИСОДИЁТДА ИНТЕРВАЛ ХИСОБЛАШЛАРНИ ТАШКИЛ КДЛИШ
d https://doi.org/10.24412/2181-1784-2022-23-1080-1086
Турапова Азиза Усмановна
Тошкент Давлат Иктисодиёт Университети "Умумий ва аник фанлар" кафедраси математика фани укитувчиси
Email: turapova au.@gmail.com
АННОТАЦИЯ
Мацолада интервал алгоритмлар учун уисоблаш дастурларини яратиш муаммолари тадциц цилинган. Бунда интервал уисоблашларни ташкил цилишнинг узига хос жщатлари, соуада мавжуд дастурий маусулотларнинг имкониятлари асосан иккита йуналишда, яъни интервал уисоблашлар учун яратилган махсус дастурлаш тиллари ва мавжуд дастурлаш мууитлари учун интервал кутубхоналар яратиш соуасида урганилди. Шунингдек, чизицли интервал тенгламалар системаларининг мумкин булган ечимлар тупламини 3D уамда 2D визуаллаштириш дастурий таъминоти имкониятлари аниц мисолларда курсатиб берилди.
Калит сузлар: интервал алгоритмлар, интервал тип, яхтилаш хатолиги, ечим туплам, интервал арифметика, интервал кутубхона, дастурлаш тиллари.
АННОТАЦИЯ
В статье исследуется проблемы создания вычислительных программ для интервальных алгоритмов. При этом изучались особенности организации интервальных вычислений, возможности существующих программных продуктов, созданных в области интервального анализа, в основном по двум направлениям: специальные языки программирования, разработанные для интервальных вычислений и интервальные библиотеки для существующих программных сред. Также, показаны возможности программных продуктов для 3D и 2D визуализации допусковых множеств решений интервальных линейных систем уравнений в конкретных примерах.
Ключевые слова: интервальные алгоритмы, интервальный тип, ошибки округлений, множество решений, интервальная арифметика, интервальная библиотека, языки программирования.
ABSTRACT
The article examines the problems of creating computational programs for interval algorithms. At the same time, the features of the organization of interval
calculations, the possibilities of existing software products created in the field of interval analysis were studied, mainly in two directions: special programming languages developed for interval calculations and interval libraries for existing software environments. Also, the possibilities of software products for 3D and 2D visualization of tolerance sets of solutions of interval linear systems of equations in specific examples are shown.
Keywords: interval algorithms, interval type, rounding errors, solution set, interval arithmetic, interval library, programming languages.
КИРИШ
Маълумки, куп холларда реал табиий жараёнларни математик моделлаштиришда хисобга олинадиган параметрларнинг кийматлари детерминалланмаган хусусиятга эга эканлигини кузатамиз. Хрзирги кунда бундай масалаларни ечишда эхтимоллар назарияси ва статистик моделлаштириш, норавшан тупламлар назарияси ва интервал анализ усуллари кенг кулланилиб келинмокда. Айникса, кийматлари маълум амплитудада тебраниб турувчи катталикларни интервал усуллар асосида моделлаштириш кафолатли ечимлар олиш имконини беради. Интервал анализ илмий йуналиш сифатида ажралиб чикканига куп вакт булмаган булсада, жуда куплаб амалий масалаларни ечишда уз тадбикини топди. "Масалан, хозирги кунгача квант физикаси, механика масалалари, динамик ва электроэнергетик тизимларни моделлаштиришда, робототехникада, гидрологик ва геофизик томография, компьютер графикаси ва бошка куплаб сохаларда кафолатли ечимларни олишда фойдаланиб келинмокда" [1;3]. У дастлаб электрон хисоблаш машиналари (ЭХМ)да хисоблаш жараёнини, яъни яхлитлаш хатолигини автоматик назорат килувчи восита сифатида намоён булган булса, кейинги пайтларда аникмасликларни хисобга олувчи, топилган такрибий ечимларнинг аник ечимларга канчалик якинлигининг кафолатли бахоларини олиш каби катъий математик таъминотга эга.
АСОСИЙ КИСМ
Маълумки, интервал анализда интервал [a,b] = {х\% е R, а < х < Ь} мустакил бутун объект сифатида каралади ва ЭХМда хисоблашларни бажариш жараёнида табиийки, алохида тип сифатида киритилади (масалан, INTERVAL), яъни стандарт типлар хисобланган REAL ёки INTEGER типларига аналог тип хосил килинади. "Соха олимларининг формал булмаган келишувига асосан, интервал катталиклар адабиётларда калин (русча «жирный» ёки инглизча
"Bold") шрифтларда ёзилади, бошка типли катталикларни ёзишда эса алохида ажратилмайди" [2;10.]. Шунингдек, интервал сондан иборат ечим "Интервал ечим", хакикий сондан иборат ечимлар "Нуктали ечим" (русчасига "точечное решение") терминлари ишлатилади. Интервал типли катталиклар устида бажариладиган арифметик амаллар куйидаги коидаларга буйсунади: a+b=[a,fz] + [bjf] = [а+ b,a + b\, (1)
а
■b= ^.Ti - b.b = ■ ■ b.^i ■ b.^i ■ b\. ^a/v ■ ^ ■ b.^i ■ b.^i ■ b\ . (3)
a/b
M
= fei] ■
1 1 Ъ'ь
, бухолда0<£b. (4)
Биламизки, ЭХМда тасвирлаш мумкин булган, фиксирланган аникликдаги ихтиёрий REAL типли машина сонлари туплами, математикада урганиладиган хакикий сонлар туплами билан мос келмайди. Шу сабабли, арифметик (мантилий) амалларни ЭХМда бажарганда куп холларда амаллар натижаларини машинада тасвирлаш мумкин булган сонларга алмаштириш зарурати пайдо булади. Айнан шу холатда ЭХМда яхлитлаш хатолиги юзага келади. Замонавий компьютерларда яхлитлаш одатда компьютерда тасвирлаш мумкин булган энг якин сонга алмаштириш оркали амалга оширилади, аммо агар керак булса, бу яхлитлаш усули хисоблаш тизими буйруклари ва созламалари ёрдамида узгартирилиши мумкин. Бунда куйидаги савол пайдо булади: Арифметик амаллар натижаларини интерваллар чегаралари билан кандай яхлитлаш мумкин? Биринчи навбатда, бу ечилаётган масаланинг характерига ва унинг ечимларига куйилган талабга боглик. Маълумки, ЭХМда хисоблаш жараёни элементар хисоблаш амалларининг аник кетма-кетлигини бажаришдан иборат булади. Сонли натижа берадиган уша амалларни куриб чикамиз. Бу холда хар бир амал куйидаги иккита боскичда бажарилади деб хисоблаш мумкин:
• амалларнинг "аниц натижа " си топилади;
• топилган сон яхлитланади.
"Аник натижа" - ЭХМ нинг архитектураси ва математик таъминоти билан аникланадиган назарий кийматнинг кандайдир сонли аппроксимацияси. "Уз навбатида яхлитлаш холати ЭХМ архитектураси ва машина арифметикасининг ташкилий тамойиллари билан аникланади. B bvБунда хисоблаш натижаси машина сонидан иборат булиб, аппроксимация хатолигини
турли усуллар билан камайтириш мумкин: масалан, хисоблаш тизимида икки каррали ёки куп каррали аникликни ташкил этиш, самарали хисоблаш алгоритмларини танлаш ва х.к." [7;8]
Агар кирувчи интервал аникмасликлар, яъни интервал кенглиги катта булган ва натижанинг охирги ракамлари ишончлилиги ахамиятсиз булган холларда, ЭХМ нинг яхлитлаш муаммосини шунчаки эътиборсиз колдириш мумкин.
Интервал анализ сохасидаги дастурий махсулотлар серияси утган асрнинг 60-йилларида Германиянинг Карлсруэ университетида ишлаб чикила бошлаган. Ушбу университет профессори У.Кулиш рахбарлигида "real interval - хакикий интервал" типига эга булган хамда бу типдаги объектлар билан интервал арифметик амалларни бажаришга мулжалланган ALGOLTRIMPLEX алгоритмик тили яратилди. Бу алгоритмик тил ALGOL-60 тилининг кенгайтирилган варианти эди. Кейинчалик шу олимлар жамоаси томонидан XSC - "eXtention for Scientific Computing" авлод дастурлаш тиллари яратилди ва у "илмий хисоблашларни кенгайтириш учун" каби маънони англатади. Бу тоифадаги дастурлаш тилларига: Pascal-XSC [5], Fortran-XSC ва C-XSC [6] лар киради.
ТАДКЩОТ МЕТОДОЛОГИЯСИ.
Компьютерли хисоблашларда хатоликлар таркалишининг мухим тавсифий жихатлардан бири сонни тасвирлаш шакли хисобланади. Маълумки хакикий сонлар компьютерда фиксирланган ёки сузувчи нуктали (floating point numbers) сонлар шаклида тасвирланади. Фиксирланган нуктали холатда яхлитлаш хатолигининг манбаси факат купайтириш ва булиш амаллари хисобланади. Сузувчи нуктали холатда эса яхлитлаш хатолиги факат амални аник бажаришни хисобга олувчи системали восита ишга туширилган холатларда пайдо булади.
Сузувчи нуктали сонларнинг асосий камчилиги куйидагилардан иборат:
> хакикий сонларнинг купчилигини мантисса узунлиги чекли булганлиги сабабли сузувчи нуктали сон ёрдамида аник ифодалаб булмайди;
> сузувчи нуктали сонлар устида бажариладиган арифметик амаллар хоссалари хакикий сонлар устида бажариладиган идеал математик амаллар хоссаларидан (кутулиб булмайдиган яхлитлаш туфайли) фарк килади;
> сузувчи нуктали форматдаги сон, у тасвирлаётган катталикнинг аник эканлиги хакидаги хеч кандай маълумотни бермайди.
Демак, сузувчи нуктали мавжуд хисоблаш модели сонни аник тасвирлай олмайди ва хисоблаш хатолигини хам назорат килолмайди. Шунинг учун хам сузувчи нуктали купгина хисоблашларда натижа аниклиги тахлилини бермайди. Бундай хисоблашлар мухим критик карорлар кабул килишда катта таваккалчиликка олиб келади. Бундай холатга А^Ш нинг 1991 йил 25 февралдаги "Пэтриот" зенит ракетасининг Дхаран (Саудия арабистони) даги халокатини мисол килиб келтириш мумкин. У аслида Америка харбий объектларини химоя килиш максадида Ирокнинг "Скад" ракетасини йук килиш учун учирилган эди, сузувчи нуктали форматда бажарилган хисоблашларда яхлитлаш хатолигининг хисобга олинмагани натижасида ракета нишондан 700 метрга адашган. "Шунингдек, 1996 йил 4 июнда Гвианада учирилган "Ариан-5" номли француз космик ракетасининг портлашига хам компьютердаги хисоблаш хатолиги сабаб булган" [3;7]. Интервал анализ усуллари компьютер хисоблашларида содир буладиган барча турдаги хатоликларни назорат килиш имкониятига эга. Бунга мисол сифатида Швециянинг Упсал университети профессори В.Тукернинг динамик тизим параметрлари учун Лоренц аттракторининг катъий исботини топганлигини келтириш мумкин. Бу муаммо динамик тизим моделлари билан шугулланадиган мутахассислар хамжамиятида янги минг йиллик учун куйилган катта масала эди. В. Тукер ушбу муаммо ечимини исботлашда куп улчовли интервал арифметика ёрдамида олинган, катъий кафолатланган, компьютерда олинган бахоларни куллайди [4;5].
Интервал арифметик амаллар натижасини икки томонлама камраб олиш учун, натижавий интервални ташки интервалга корректировка килиш зарурати тугилади. Бу куйидагича амалга оширилади: интевал арифметик амал бажарилгандан кейин натижавий интервалнинг чап чегараси (1 — £Af) га, унг чегараси эса (1+£т) га купайтирилади, бунда ем - дастурлаш тили воситасида тасвирлаш мумкин булган энг кичик мусбат сон.
Дастурлаш тилларида арифметиканинг ихтиёрий (ёки чекли талаб килинган) аникликка эришиш доим назарда тутилишини таъкидлаш лозим. Ушбу турдаги арифметикалар жуда киймати баланд, аммо улардан фойдаланиш баъзи замонавий сонли алгоритмларнинг критик нукталарида жуда зарур хисобланади (ва якин келажак учун керак булади). Гап шундаки, интервал арифметиканинг узи натижа аниклигини оширувчи восита булолмайди. Уни хисоблаш жараёнида яхлитлаш хатолигини шунчаки назорат килиш воситаси сифатида караш мумкин, лекин яхлитлаш хатолигининг пайдо булишига таъсир килолмайди. ^исоблаш ва якуний натижалар аниклигини ошириш учун
яхлитлаш хатоликларига карши фаол воситалар керак, яъни оралик маълумотлар ва улар билан хисоблашларнинг аниклигини ошириш, хеч булмаганда алгоритмларнинг танланган жойларида, алгоритмларнинг узларини кайта тузиш ва х.к.
Интервал арифметик амалларнинг зарурий компоненти булган сузувчи нукталар арифметикаси учун яхлитлаш режимини доимий равишда жорий этиш - интервал хисоблашларнинг секинлашишига олиб келади ва умумий ишлаш курсаткичларини сезиларли даражада пасайтиради. Кейинги кадам аппарат таъминотини йулга куйиш - интервал арифметикага оид курсатмаларнинг тулик тупламини ташкил килиш, бу оддий нуктали ва интервал амалларда компютерлар тезлигидаги узилишни минимал даражага туширишга имкон яратади.
Интервал дастурлаш тилларини ривожлантириш истикболлари хакида суз юритганимизда шуни таъкидлаш керакки, улар яхлитлаш режимини тулик назорат килишлари лозим, яъни фойдаланувчининг хохишига кура турли хил амалларда керакли режимни ёкиш, учириш ва тайинлаш, шунингдек, арифметик амалларнинг йуналтирилган яхлитлашсиз вариантини киритиш хам мумкин булиши керак. Хусусан, бизга "кандай керак булса" шундай яхлитлайдиган махсус Input/Output форматлари зарур булади.
Интервал арифметик амалларнинг асосий кутубхоналарини ташкил килиш унчалик кийинчилик тугдирмайди ва бу ишни ихтиёрий юкори даражали дастурлаш тилларида (PASCAL, Fortran, C, C++ ва б.) сузувчи нуктали машина арифметикаси хусусиятлари билан таниш булган уртача тажрибага эга дастурчилар амалга ошириши мумкин. "C++ дастурлаш тили буйича бундай курсатма, масалан, [8] китобнинг "Узинг бажар" («Do it yourself») бобида берилган".[8;23]
Муайян турдаги процессорлар ва компьютер архитектуралари учун интервал арифметиканинг ишлашини оптималлаштириш, шунингдек, элементар функцияларнинг интервал кенгайтмаларини (функцияларнинг энг яхши якинлашиш математик муаммоси билан чамбарчас боглик) амалга ошириш анча кийин масала хисобланади.
ХУЛОСА
Интервал анализ сохасида яратилган хисоблаш дастурий махсулотлари хилма-хилдир. Интервал анализ йуналишининг пайдо булишига хам айнан масалаларни ЭХМда ечиш жараёни туртки булган дейиш мумкин. Демак, интервал анализ сохасининг ривожланиши бевосита компьютер
технологиялари ва уларнинг дастурий таъминоти билан узвий богликдир. Сохада яратилган дастурий махсулотлар хакидаги маълумотларни манбалардан олиш мумкин. Бу манбаларда келтирилган интервал дастурий махсулотлар руйхати доимо янгиланиб ва тулдирилиб борилмокда. Айникса, А^Ш нинг Эль-Пасо даги Техас университети профессори В.Крейнович томонидан ташкил этилган "Interval Computations" сайтидан интервал хисоблашларга мулжалланган оддий калькулятордан тортиб, то ихтисослаштирилган дастурлаш тилларгача маълумотлар олиш мумкин.
REFERENCES
1. Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ. ИВТ СО РАН -Новосибирск: Издательство «XYZ», 2019, http: //www.nsc.ru/interval/?page=Library/InteBooks.
2. Kearfott R.B., Nakao M.T., Neumaier A., Rump S.M., Shary S.P., Hentenryck P. Standardized notation in interval analysis. // Computational technologies. 2010. -Т.15. - №1. - С. 7-13.
3. Новосибирск давлат университети "Математик моделлаштириш" кафедраси профессори С.П.Шарый ва унинг шогирдлари томонидан яратилган "Интервальный анализ и его приложения" номли вебсайт http: //www. nsc. ru/interval.
4. Ибрагимов А.А. Интервально-аналитические методы в математическом моделировании: Дис. ... канд. физ.-мат. наук.- Ташкент:
5. Klatte R., Kulish U., Neaga M., Ratz D. and Ullrich C. Pascal-XSC - Language References with Examples, -New-York: Springer-Verlag, 1992.
6. Klatte R., Kulish U., Wieth A., Lawo C. and Rauch M. C-XSC: A C++ Class Library For Extended Scientific Computing. -Berlin, Germany: SpringerVerlag, 1993.
7. V.Kreynovich website of the "Interval Computations" http: //www.cs. utep.edu/interval-comp/intsoft.html and http: //www.cs.utep.edu/interval-comp/intlang .html.
8. С++ дастурлаш тилида IEEE 1788 стандарти асосида ишлаб чикилган интервал кутубхона сайти https://github.com/nehmeier/libieeep1788.
